ФІЗИКА

Частина 1 МЕХАНІКА

 

Розділ З ОСНОВИ МЕХАНІКИ СУЦІЛЬНОГО СЕРЕДОВИЩА

 

3.2. Гідродинаміка ідеальної рідини

 

Завдання гідродинаміки полягає в тому, щоб знайти співвідношення, які дають можливість за числовими значеннями сил описати стан руху рідини або за станом руху рідини знайти діючі сили.

Рух рідини або газу можна вивчати двома методами. За допомогою першого методу вивчають рух кожної частинки окремо. Він потребує визначення кінетичних характеристик руху (переміщення, швидкість, прискорення) частинок рідини при переміщеннях їх у просторі й часі. Такий метод вивчення стану руху рідини запропонував французький математик і механік Ж. Лагранж (1736—1813), тому його називають методом Лагранжа. Одержання законів руху рідини за методом Лагранжа пов’язане зі значними математичними труднощами, тому на практиці користуються іншим методом. Спостерігають не за рухом кожної частинки рідини, а в потоці рідини виділяють фіксований елементарний об’єм і вивчають, що відбувається з часом у кожній точці виділеного об’єму. Такий метод вивчення стану руху рідини розробив видатний математик і фізик Л. Ейлер (1707—1783). Його називають методом Ейлера. За цим методом аналізують не швидкості й прискорення частинок рідини, а швидкості й прискорення потоку рідини.

Вивчаючи рух рідини, користуються ідеалізованим об’єктом або рідиною, яку називають ідеальною, тобто рідиною, яка абсолютно нестислива і повністю позбавлена внутрішнього тертя.

Потік рідини або газу називають стаціонарним, якщо його швидкість в усіх точках простору з часом не змінюється.

Для полегшення аналізу руху рідини або газу користуються лініями і трубками течії. Під лінією течії розуміють лінію, дотична до якої в кожній точці збігається з вектором швидкості (рис. 3.3).

 

Рис. 3.3

 

Лінія течії і траєкторія руху частинки в загальному випадку не збігаються. Траєкторія показує шлях тієї самої частинки за весь час її руху. Лінія течії характеризує напрям руху нескінченної множини частинок, які у певний момент часу розміщуються на лінії. Тільки при стаціонарному потоці рідини або газу лінії течії збігаються з траєкторіями руху частинок. Для нестаціонарних потоків такого збігу немає.

Частину рідини, обмежену лініями течії, називають трубкою течії. Всі частинки, що містяться всередині трубки течії, не виходять за межі трубки, і жодна з частинок, які залишаються за межами трубки течії, не проникає в неї. Трубка течії має вигляд трубки з жорсткою бічною поверхнею, по якій протікає рідина. Якщо поперечний переріз трубки течії малий, то можна вважати, що швидкість рідини для всіх точок заданого перерізу однакова.

Течію рідини називають усталеною (або стаціонарною), якщо форма і розміщення ліній течії, а також значення швидкостей у кожній точці поперечного перерізу з часом не змінюються.

Розглянемо будь-яку трубку течії. Виберемо два її перерізи s1 і s2 (рис. 3.4). За час Δt через довільний переріз s пройде об’єм рідини sυΔt; отже, за 1 с через s1 пройде об’єм рідини s1υ1, де υ1 — швидкість течії рідини в перерізі s1. Через s2 за 1 с пройде об’єм рідини s2υ2, де υ2 — швидкість течії рідини в перерізі s2. Якщо рідина нестислива, то через переріз s1 пройде такий самий об’єм рідини, як і через переріз s2, тобто

Отже, добуток швидкості течії нестисливої рідини на площу поперечного перерізу трубки течії є величиною сталою для цієї трубки течії.

Рис. 3.4

 

Співвідношення (3.4) називають рівнянням нерозривності для нестисливої рідини. Його можна застосувати не тільки до реальних рідин, а й до газів.

Виділимо в ідеальній рідині, що рухається стаціонарно, трубку течії малого перерізу. Розглянемо об’єм, обмежений перерізами s1 та s2 і стінками трубки течії. За досить малий час Δt цей об’єм зміститься вздовж трубки течії, причому переріз s1 займе положення s1’, пройшовши шлях Δl1 = υ1Δt, а переріз s2 займе положення s2’, пройшовши шлях Δl2 = υ2Δt.

Завдяки нерозривності струменя заштриховані об’єми матимуть однаковий розмір (рис. 3.5):

Енергія кожної частинки рідини складається з її кінетичної енергії й потенціальної енергії в полі сил тяжіння. Внаслідок стаціонарності течії частинка, що знаходиться через час Δt у будь-якій із точок незаштрихованої частини цього об’єму, має таку саму швидкість, яку мала частинка, що була в тій самій точці в початковий момент часу. Тому приріст енергії можна визначити як різницю енергій заштрихованих об’ємів ΔV1 і ΔV2.

 

 

Рис. 3.5

 

Візьмемо переріз трубки течії в і відрізок Δl настільки малими, щоб усім точкам кожного із заштрихованих об’ємів можна було надати одне і те саме значення швидкості υ, тиску р і висоти h. Тоді приріст енергії

Оскільки маси заштрихованих об’ємів однакові

де ρ — густина рідини,

В ідеальній рідині сил тертя немає. Тому приріст енергії ΔЕ має дорівнювати роботі, яку виконують сили тиску над виділеними об’ємами. Сили тиску на бокову поверхню перпендикулярні в кожній точці до напряму переміщення частинок, до яких вони прикладені, внаслідок чого вони роботи не виконують. Відмінна від нуля лише робота сил F1 = р1s1 і F2 = -р2s2, прикладених до перерізів s1 і s2. Сумарна робота дорівнює

Порівнявши вирази (3.5) і (3.6) і зробивши деякі перетворення, дістанемо

Оскільки перерізи s1 і s2 взято довільно, то для будь-якого перерізу трубки течії виконується умова

Рівняння (3.7) одержав Д. Бернуллі (1700—1782). Його називають рівнянням Бернуллі для стаціонарного потоку ідеальної рідини. Це рівняння є математичним виразом закону збереження енергії щодо усталеної течії ідеальної рідини. Експериментально доведено, що рівняння Бернуллі (3.7) можна застосовувати і для реальних рідин, в’язкість яких невелика, а також для газів, швидкість руху яких значно менша від швидкості поширення в них звуку. Величину р у формулі (3.7) називають статичним тиском, величину - динамічним тиском, а величину ρgh — гідростатичним тиском.

Для горизонтальної трубки течії (h1 = h2) вираз (3.7) набирає вигляду

Суму називають повним тиском, або повним напором. Тиск виявляється меншим у тих точках, де швидкість більша. Отже, при течії рідини по горизонтальній трубі, що має різні перерізи, швидкість рідини, згідно з рівнянням нерозривності, в місцях звуження більша, а статичний тиск менший, в більш широких місцях труби — навпаки. Це можна продемонструвати, встановивши вздовж труби ряд манометрів (рис. 3.6). Повний тиск вимірюють трубкою Літо. Вона має вигляд зігнутої манометричної трубки, яку розміщують у рухомій рідині так, що її відкритий кінець повернутий назустріч течії рідини.

Рис. 3.6

 

Досвід засвідчує, що в манометричній трубці, прикріпленій до вузької частини труби в точці В, рівень рідини нижчий, ніж в манометричних трубках, прикріплених до широкої частини труби в точках А і С.

Зменшення статичного тиску в точках, де швидкість потоку більша, покладено в основу роботи водоструминного насоса (рис. 3.7). Струмінь води подається в конусоподібну трубку, відкриту в атмосферу так, що тиск на виході із трубки дорівнює атмосферному. В місці звуження трубки вода тече з більшою швидкістю. В цьому місці тиск менший від атмосферного. Цей тиск установлюється також у відкачаній посудині, зв’язаній з трубкою через отвір у вузькій частині трубки. Повітря підхоплюється водою, що витікає з вузького кінця трубки з великою швидкістю. У такий спосіб можна відкачати повітря із посудини до досить низьких тисків.

 

 

Рис. 3.7





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити