Частина I НАВЧАЛЬНИЙ ДОВІДНИК — З ПРИКЛАДАМИ ТА ЗАВДАННЯМИ

МЕХАНІКА

3. ЗАКОНИ ЗБЕРЕЖЕННЯ В МЕХАНІЦІ

3.2. ЕНЕРГІЯ. ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ЕНЕРГІЇ

3.2.1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА ЕНЕРГІЇ

Енергія - це єдина міра різних форм руху та взаємодії матерії.

♦ Одиниця енергії в СІ — джоуль (Дж).

Джоуль — робота постійної сили в 1 Н при переміщенні тіла на відстань 1 м у напрямку дії сили:

1Дж = 1Н м.

♦ Енергія — одна з характерних властивостей матерії. На практиці механічна енергія частково чи повністю перетворюється в інші види — внутрішню, електромагнітного поля.

♦ Енергія характеризує рух системи, а також взаємодію тіл чи частинок у системі.

♦ Енергія — функція стану системи, а робота — функція процесу переходу системи з одного стану в інший.

Закон збереження енергії: енергія не виникає і не зникає, вона тільки перетворюється із одного виду в інший і передається від одного тіла до іншого.

Види енергії

1. Механічна енергія тіла (потенціальна і кінетична).

2. Внутрішня.

3. Електромагнітна (електрична + магнітна).

4. Хімічна.

5. Світлова.

6. Ядерна, або атомна.

Повна енергія тіла:

Е = mс².

3.2.2. ВИДИ МЕХАНІЧНОЇ ЕНЕРГІЇ

Кінетична і потенціальна енергія становлять механічну енергію. Вона характеризує механічний рух.

Кінетична енергія — це енергія рухомого тіла. Кінетична енергія поступального руху тіла визначається за формулою:

W_п = ,

де v — швидкість руху тіла, m — маса тіла.

♦ Оскільки швидкість руху тіла є величиною відносною, тобто залежить від вибору системи відліку, то й кінетична енергія відносна.

♦ Кінетична енергія завжди додатна.

Потенціальна енергія — це енергія, обумовлена взаємодією тіл або частинок тіла.

У механіці розрізняють:

а) потенціальну енергію тіла, піднятого над Землею:

W_п = mgh,

де h — висота над рівнем, на якому потенціальна енергія системи «Земля — тіло» приймається за нуль (нульовий рівень потенціальної енергії); m — маса тіла.

б) потенціальну енергію пружно деформованого тіла:

W_п = ,

де k — жорсткість тіла (пружини); х — видовження.

в) потенціальну енергію гравітаційної взаємодії двох матеріальних точок з масами m₁ і m₂, що перебувають на відстані r одна від одної:

W_п = .

♦ Кінетична і потенціальна енергія — функції стану системи, тобто можуть бути точно визначеними, якщо відомі координати і швидкості руху всіх тіл системи, а також система відліку.

Повна механічна енергія системи — сума кінетичної і потенціальної енергій всіх тіл системи:

W = W_к + W_п.

«Закон збереження повної механічної енергії: у замкненій системі тіл, які взаємодіють лише силами пружності та силами тяжіння, повна механічна енергія залишається незмінною (зберігається):

W = const, або W_к0 + W_п0 = W_к + W_п.

♦ У випадку коли на систему діють зовнішні сили (сила тертя, сила опору, архімедова сила та ін.), повна механічна енергія системи змінюється. Зміна енергії дорівнює роботі зовнішніх сил: A = W - W₀.

3.2.3. МЕХАНІЧНИЙ УДАР

Удар (зіткнення) — це короткочасна взаємодія тіл, у ході якої вони безпосередньо торкаються одне одного (рис. 3.1, а, б).

Рис. 3.1

Пружний удар — зіткнення тіл, за якого деформація тіл виявляється оборотною, тобто повністю зникає після припинення взаємодії (див. рис. 3.1, а; рис. 3.2).

Рис. 3.2

♦ Під час пружного удару зберігається сумарний імпульс та сумарна кінетична енергія тіл:

m₁ + m₂ = m₁ + m₂,

+ = + .

Абсолютно непружний удар — зіткнення тіл, у результаті якого тіла рухаються як єдине ціле (див. рис. 3.1, б; рис. 3.3).

Рис. 3.3

♦ Після непружного удару обидва тіла рухаються у напрямку руху тіла, яке до зіткнення мало більший імпульс.

♦ Закон збереження імпульсу має вигляд:

m₁ + m₂ = (m₁ + m₂)_заг

♦ При непружному співударі частина механічної енергії переходить у внутрішню. Якщо зміна внутрішньої енергії пов'язана тільки зі зміною температури тіла або його агрегатного стану, то:

+ = + ∆U,

∆U = Q.

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬ

1. Хлопчик кинув м'яч у горизонтальному напрямку. Опором повітря знехтуйте. Укажіть правильне твердження.

Л Імпульс м'яча перед ударом об землю напрямлений вертикально.

Б Імпульс м'яча під час його руху не змінюється за напрямком.

В Сума потенціальної і кінетичної енергії під час руху м'яча залишається незмінною.

Г Кінетична енергія м'яча під час його руху не змінюється.

Обґрунтування вибору відповіді

□ Твердження А є неправильним. М'яч бере участь у двох рухах: рівномірному по горизонталі й рівноприскореному по вертикалі. Отже, швидкість руху м'яча в будь-який момент, крім початкового, напрямлена під кутом до горизонту. А імпульс м'яча напрямлений так само, як і швидкість його руху.

□ Твердження Б є неправильним. Як відомо, тіло, кинуте горизонтально, рухається по параболі, вершина якої розташована в початковій точці руху. Швидкість у будь-якій точці траєкторії напрямлена по дотичній до неї. Відповідно змінюється напрямок швидкості руху м'яча під час падіння.

Отже, імпульс м'яча змінюється за напрямком.

□ Твердження В є правильним. Якщо між тілами замкненої системи діють тільки сили тяжіння та сили пружності, то механічна енергія системи зберігається: W_п = W_к = const. Нехтуючи опором повітря, можна вважати, що на м'яч діє тільки сила тяжіння. А в цьому випадку сума потенціальної і кінетичної енергії залишається незмінною.

□ Твердження Г є неправильним. Оскільки швидкість м'яча під час руху збільшується, то збільшується і його кінетична енергія.

Відповідь: В.

2. Камінь падає без початкової швидкості. Опором повітря знехтуйте. Укажіть правильне твердження.

А Імпульс каменя збільшується.

Б Потенціальна енергія каменя збільшується.

В Кінетична енергія каменя зменшується.

Г Повна механічна енергія збільшується.

Обґрунтування вибору відповіді

□ Твердження А є правильним. Як відомо, імпульсом тіла називається векторна величина, яка дорівнює добутку маси тіла і швидкості його руху: = m. Коли тіло взаємодіє з іншими тілами, то рухається з прискоренням, тобто швидкість його руху, а отже, і його імпульс змінюються.

Оскільки імпульс m пропорційний швидкості руху тіла, а під час падіння каменя швидкість його руху збільшується, то збільшується й імпульс каменя.

□ Твердження Б є неправильним. Частина механічної енергії, що визначається взаємодією тіл, називається потенціальною енергією. З визначення потенціальної енергії випливає, що це поняття можна застосувати тільки до системи тіл, які взаємодіють.

Наприклад, «потенціальна енергія піднятого вантажу» — це насправді потенціальна енергія системи тіл, які взаємодіють, «вантаж + Земля», а потенціальна енергія деформованої пружини — потенціальна енергія взаємодії атомів металу.

Якщо вважати нульовим рівень потенціальної енергії в такому стані системи, коли вантаж перебуває на поверхні Землі, то потенціальну енергію системи тіл, які взаємодіють, «вантаж + Земля» можна записати у вигляді формули W_п = mgh.

Отже, зі зменшенням висоти потенціальна енергія каменя зменшується.

□ Твердження В є неправильним. Частина механічної енергії, яка визначається рухом тіла, називається кінетичною енергією.

Кінетичну енергію тіла обчислюють за формулою W_к = , де m — маса тіла, v — швидкість його руху. Кінетична енергія тіла тим більша, чим більша швидкість руху тіла, а в разі падіння каменя швидкість його руху збільшується.

□ Твердження Г є неправильним. На камінь діє лише сила тяжіння (опір повітря відсутній), тому повна механічна енергія каменя лишається незмінною.

Відповідь: А.

3. Камінь і м'яч розташовані на висоті 5 м. Імпульс і кінетична енергія каменя 8 кг м/с і 16 Дж відповідно, а імпульс і кінетична енергія м'яча 8 кг м/с і 32 Дж відповідно. Опором повітря знехтуйте. Укажіть правильне твердження.

А Маса м'яча є більшою, ніж маса каменя.

Б У початковий момент швидкість руху каменя більша, ніж м'яча.

В У початковий момент потенціальна енергія каменя у 2 рази більша, ніж потенціальна енергія м'яча.

Г В момент падіння на землю швидкість руху м'яча менша, ніж каменя.

Обґрунтування вибору відповіді

□ Твердження А є неправильним. Запишемо систему рівнянь. Для каменя: mv = 8, = 16; для м'яча: mv = 8, = 32. Для обох тіл m = .

Підставляючи значення для маси у формулу для кінетичної енергії, знаходимо масу каменя та м'яча: m_к = 2 кг, m_м = 1 кг.

□ Твердження Б є неправильним. Знаючи масу каменя та м'яча (m_к = 2 кг, m_м = 1 кг), можна знайти початкові швидкості їхнього руху: v_0к = 4 м/с і v_0м = 8 м/с.

□ Твердження В є правильним. Як відомо, частина механічної енергії, що визначається взаємодією тіл, називається потенціальною енергією. Якщо вважати нульовим рівень потенціальної енергії в такому стані системи, коли вантаж перебуває на поверхні Землі, то потенціальну енергію системи тіл «вантаж + Земля» можна записати у вигляді формули W_п = mgh. Тому потенціальна енергія каменя дорівнює 100 Дж, а м'яча — 50 Дж. Як бачимо, потенціальна енергія каменя у 2 рази більша, ніж потенціальна енергія м'яча.

□ Твердження Г є неправильним. Оцінімо швидкість руху каменя та швидкість руху м'яча в момент падіння на землю. Для цього скористаймося законом збереження енергії (якщо між тілами замкненої системи діють тільки сили тяжіння та пружності, механічна енергія системи збері

гається, W_п + W_к = const): mgh + = , де v — швидкість руху тіла в момент падіння на землю. Тоді mgh = = = (v² - ), звідки v = .

Для каменя одержуємо v_к = = , а для м'яча — v_м = = .

Таким чином, в момент падіння на землю швидкість руху м'яча більша за швидкість руху каменя.

Відповідь: В.

4. М'яч масою 0,5 кг рухається горизонтально зі швидкістю 10 м/с, налітає на стіну й відскакує зі швидкістю 8 м/с. Вважаючи, що початкова швидкість руху м'яча перпендикулярна до стіни, укажіть правильне твердження.

А Зіткнення м'яча зі стіною було пружним.

Б Зміна імпульсу м'яча за модулем дорівнює 9 кг ∙ м/с.

В Імпульс сили, що діє на стіну під час удару, менший за 8 Н ∙ с.

Г У ході взаємодії м'яча зі стіною виділилася кількість теплоти більша за 10 Дж.

Обґрунтування вибору відповіді

□ Твердження А є неправильним. З'ясуємо, що відбувається внаслідок пружного зіткнення м'яча з плоскою стіною. Оскільки масу стіни (порівняно з масою м'яча) можна вважати нескінченно великою, то швидкість її руху унаслідок удару не змінюється й залишається нульовою. Закон збереження енергії в цьому випадку зводиться до збереження кінетичної енергії м'яча, який налітає на стіну:

= .

Звідси випливає, що v₀ = v. Це означає, що м'яч відіб'ється від стіни зі збереженою за модулем швидкістю. Оскільки швидкість руху м'яча до удару 10 м/с, а після удару 8 м/с, то удар непружний.

□ Твердження Б є правильним. Зміна імпульсу м'яча ∆ = m - , де — швидкість руху руху м'яча після удару об стіну, швидкість м'яча до удару. Спрямуємо вісь ОХ перпендикулярно до стіни вздовж напрямку руху м'яча.

Запишемо рівняння в проекції на цю вісь:

∆р_х= mv_x - (-mv_0x) = m(v_x + v_0x).

Звідси одержуємо:

∆р_х = 0,5 ∙ (8 + 10) = 9 (кг м/с).

□ Твердження В є неправильним. За другим законом Ньютона в імпульсному вигляді імпульс сили дорівнює зміні імпульса тіла:

Ft = ∆р = 9 кг

(див. обґрунтування твердження Б).

Отже, імпульс сили, яка діє на стіну під час удару, дорівнює 9 Н с.

□ Твердження Г є неправильним. Як відомо, у разі недружного удару відбувається втрата кінетичної енергії. У результаті цього механічна енергія системи зменшується, переходячи у внутрішню енергію тіл, які стикаються; вони при цьому нагріваються, тобто

∆W_к = Q або = = Q.

Звідси одержуємо: Q = (100 - 64) = 9 (Дж).

Таким чином, у ході взаємодії м'яча зі стіною виділилося 9 Дж теплоти.

Відповідь: Б.

5. Камінь кинули вертикально вгору з початковою швидкістю 10 м/с. На якій висоті кінетична енергія каменя дорівнює його потенціальній енергії?

Розв'язання

Відповідно до закону збереження енергії W_к0 + W_п0 = W_к1 + W_п1, звідси з огляду на те що W_к1 = W_п1, одержуємо + 0 = mgh + mgh = 2mgh.

Тоді h = .

Перевіряємо одиниці величин:

[h] = = м.

Обчислюємо висоту: h = ≈ 2,5 (м).

Відповідь: 2,5 м.

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ'ЯЗАННЯ

1. Кулька масою 100 г рухається в повітрі. У момент коли кулька знаходилася на висоті 12 м над поверхнею землі, швидкість її руху дорівнювала 8 м/с. Установіть відповідність між фізичними величинами, які характеризують стан кульки, та числовим значенням цієї величини в одиницях СІ.

1. Імпульс	А 0,8
2. Кінетична енергія	Б 1,0 В 3,2
3. Потенціальна енергія	Г 12,0
4. Повна механічна енергія	Д 15,2

2. Кулька масою m, яка рухається горизонтально зі швидкістю v , зіштовхується з нерухомою кулькою такої самої маси. Вважаючи удар центральним, укажіть неправильне твердження. Поясніть, чому інші твердження є правильними.

А Якщо удар абсолютно непружний, то після удару кульки рухатимуться з однаковою швидкістю у напрямку руху першої кульки.

Б Якщо удар абсолютно непружний, то під час удару виділиться кількість теплоти Q =

В Якщо удар абсолютно пружний, то після удару перша кулька зупиниться, а друга кулька рухатиметься зі швидкістю v у напрямку руху першої кульки.

Г Якщо удар абсолютно непружний, то під час удару теплота не виділяється Q = 0 .

3. Тіло вільно падає без початкової швидкості.

Установіть відповідність між фізичними величинами, які характеризують стан тіла, та графіками залежності цих величин від висоти h тіла

над поверхнею землі.

1 Імпульс

2 Кінетична енергія

3 Потенціальна енергія

4 Повна механічна енергія