Частина I НАВЧАЛЬНИЙ ДОВІДНИК — З ПРИКЛАДАМИ ТА ЗАВДАННЯМИ

МЕХАНІКА

1. ОСНОВИ КІНЕМАТИКИ

1.6. КРИВОЛІНІЙНИЙ РУХ

Рух тіла називають криволінійним, якщо траєкторія руху — крива лінія.

У разі криволінійного руху миттєва швидкість руху напрямлена но дотичній до траєкторії руху тіла (рис. 1.18).

Рис. 1.18

1.6.1. РУХ ТІЛА, КИНУТОГО ГОРИЗОНТАЛЬНО. ПІД КУТОМ ДО ГОРИЗОНТУ

♦ Траєкторія руху — парабола.

На рис. 1.19, а зображено графік траєкторії руху тіла, кинутого горизонтально. На рис. 1.19, б зображено графік траєкторії руху тіла, кинутого під кутом до горизонту.

Рис. 1.19

• Якщо опір повітря відсутній, то такий рух можна розглядати як результат додавання двох простих рухів:

• рівномірного — уздовж горизонтальної осі ОХ (оскільки проекція сили тяжіння дорівнює нулю). Такий рух описується рівняннями:

v_x = v_0x,

x = x₀ + v_0xt;

• рівноприскореного (із прискоренням ) — уздовж вертикальної осі OY. Такий рух описується рівняннями:

v_y = v_0y + g_yt,

y = y0 + v0yt + t².

♦ На максимальній висоті проекція швидкості руху на вісь OY дорівнює нулю:

v_y = 0 v_0y + g_yt = 0.

♦ Модуль швидкості руху в даний момент часу визначається за теоремою Піфагора:

v = .

1.6.2. РІВНОМІРНИЙ РУХ ПО КОЛУ

Рівномірний рух по колу — криволінійний рух, при якому траєкторією руху тіла є коло і за будь-які рівні інтервали часу тіло проходить однакові шляхи.

♦ Рівномірний рух по колу — це періодичний рух, оскільки він повторюється через однакові інтервали часу.

Період обертання Т — фізична величина, яка дорівнює інтервалу часу, за який тіло, що рівномірно рухається по колу, здійснює один повний оберт:

T = ,

де t — час спостереження; N — кількість повних обертів, зроблених за цей час.

♦ Одиниця періоду обертання в СІ — секунда (с). Якщо період обертання тіла дорівнює 1 с, то тіло за одну секунду здійснює один повний оберт.

Обертова частота n — фізична величина, яка чисельно дорівнює кількості обертів за одиницю часу:

n = .

♦ Одиниця обертової частоти в СІ — оберт на секунду (об/с, або 1/с).

♦ Обертова частота обернено пропорційна періоду обертання: n = .

Миттєва швидкість — швидкість руху в даній точці траєкторії.

♦ Напрямлена по дотичній до кола, отже, перпендикулярна до радіуса кола (рис. 1.20, а). Напрямок миттєвої швидкості весь час змінюється, а її модуль залишається незмінним.

♦ Модуль швидкості руху:

v = ,

де l — шлях, який пройшло тіло (довжина дуги), t — час, за який цей шлях пройдено.

Лінійна швидкість v — скалярна фізична величина, значення якої дорівнює модулю миттєвої швидкості.

♦ За час, що дорівнює одному періоду (t = Т), тіло проходить шлях, який дорівнює довжині кола (l = 2R , де R — радіус кола), тому лінійну швидкість можна обчислити за формулами

v =

v = 2Rn.

Кутова швидкість — фізична величина, яка чисельно дорівнює куту повороту радіуса за одиницю часу: = (див. рис. 1.20, а).

♦ Одиниця кутової швидкості в СІ — радіан на секунду (рад/с, або с^-1).

♦ За час, що дорівнює одному періоду t = T, радіус повертається на 360° ( = 2), тому кутову швидкість можна обчислити за формулою

= = 2n.

♦ Кутова та лінійна швидкості пов'язані співвідношенням:

v = R.

Доцентрове прискорення

♦ У разі рівномірного руху тіла по колу прискорення напрямлено до центра кола (рис. 1.20, б).

♦ Доцентрове прискорення розраховується за формулою:

a_доц = = ²R.

Рис. 1.20

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬ

1. Хлопчик, розігнавшись до швидкості 4 м/с у горизонтальному напрямку, стрибнув із крутого берега заввишки 5 м у воду. Вважайте, що g = 10 м/с², опором повітря знехтуйте. Укажіть правильне твердження. Поясніть, чому інші твердження є неправильними.

А Хлопчик рухався у повітрі 0,5 с.

Б Дальність стрибка хлопчика становить 4 м.

В Модуль переміщення хлопчика під час стрибка дорівнює 5 м.

Г Хлопчик досяг поверхні води, рухаючись зі швидкістю близько 6 м/с.

Обґрунтування вибору відповіді

□ Твердження А є неправильним. Початкова швидкість руху хлопчику напрямлена горизонтально, тому v_0x = v_o, v_0у = 0 (див. рисунок).

Рух уздовж вертикальної осі OY рівноприскорений із прискоренням , тому рівняння руху має вигляд:

у = у₀ + v_0yt + t².

Враховуючи, що y = h, у₀ = 0 ,v_0y = 0, g_y = g, маємо:

h = t² t = = = 1(c).

□ Твердження Б є правильним. Рух вздовж горизонтальної осі ОХ є рівномірним, тому x = x₀ + v_0xt. Тут х = l, x₀ = 0, v_0x = v₀ = 4м/с (див. рисунок), t = 1 с — час падіння. Звідси маємо: l = 0 + 4 ∙ 1 = 4 (м).

□ Твердження В є неправильним. Модуль переміщення s можна знайти за теоремою Піфагора:

s² = l² + h² s = = > 5(м).

□ Твердження Г є неправильним. Модуль швидкості руху хлопчика можна знайти за теоремою Піфагора: v = , де v_0x = v₀ = 4 м/с, а v_y = v_0у + g_yt. Оскільки v_0у = 0 , g_y= g = 10 м/с², a t = 1 с, то v_y = 0 + 10 ∙ 1 = 10 м/с.

Отже, v = = = = 11 (м/с).

2. Тіло кинули під кутом 30° до горизонту зі швидкістю 20 м/с. Вважайте, що g = 10 м/с², опором повітря знехтуйте. Установіть відповідність між фізичною величиною та її числовим значенням в СІ.

1	Час підняття тіла	А	1
2	Час руху тіла	Б	2
3	Найбільша висота, на яку підніметься тіло	В	8,75
4	Висота, на якій знаходитиметься тіло через 0,5 с руху	Г	10
		Д	15

Обґрунтування вибору відповіді

1. Pyx уздовж веpтикальної осі OY pівноприскорений із прискоренням , тому v_y = v_0y + g_yt.

На максимальній висоті проекція швидкості руху тіла на вісь OY дорівнює нулю: v_y = 0 v_0y + g_yt = 0.

Тут v_0y = v₀ sin а = 20 sin 30° = 10 (м/с) (див. рисунок), g_y = -g = -10 м/с², тому маємо: 20 - 10t = 0 t = 1 с. (А)

2. Час руху тіла вдвічі більший за час підняття тіла, тому t_заг = 2 ∙ 1 = 2 с. (Б)

3. Тіло досягне найбільшої висоти через 1 с після початку руху. Враховуючи, що у = у₀ + v_0yt + t², де у₀ = 0, v_0y = 20 м/с, g = -g = -10 м/с².

Отже, h_max = y = 20 ∙ 1 – 10 = 20 ∙ 5 = 15 м.(Д)

4. Через 0,5 с після початку руху h = у = 20 ∙ 0,5 – 10 ∙ = 10 - 1,25 = 8,75м. (В)

3. Точка A, яка розташована на ободі колеса, рухається зі швидкістю v. Лінійна швидкість руху точки В, що розташована на відстані R від центра колеса, вдвічі менша від швидкості точки А. Укажіть правильне твердження. Поясніть, чому інші твердження є неправильними.

А Кутова швидкість руху точки А більша за кутову швидкість руху точки В.

Б Радіус колеса 0,5 R.

В За відсутності проковзування за час, що дорівнює одному періоду, колесо подолає відстань 4.

Г Доцентрове прискорення руху точки А менше від доцентрового прискорення руху точки В у 2 рази.

Обґрунтування вибору відповіді

□ Твердження А є неправильним. Будь-які точки колеса за заданий інтервал часу повертаються на однакові кути , тому й кутові швидкості руху всіх точок колеса однакові: _А= _В .

□ Твердження Б є неправильним. Точка А розташована на ободі колеса, тому радіус траєкторії її руху — радіус колеса. Враховуючи, що = , а _А = _В , отримуємо:

= = = = 2.

Отже, R_A = 2R .

О Твердження В є правильним. За відсутності проковзування швидкість руху колеса дорівнює швидкості руху точки на ободі колеса. За час, що дорівнює одному періоду, точка на ободі колеса подолає відстань l = 2 R_А = 4 R . Колесо подолає таку саму відстань.

□ Твердження Г є неправильним.

a_доц = = ²R, тому = = = 2.

Доцентрове прискорення руху точки А у 2 рази більше за доцентрове прискорення руху точки В.

Відповідь: В.

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ'ЯЗАННЯ

1. Камінь, який кинули горизонтально з вікна шостого поверху, впав на землю через 2 с на відстані 15 м від стіни будинку. Вважайте, що g = 10 м/с², опором повітря знехтуйте. Укажіть правильне твердження. Поясніть, чому інші твердження є неправильними.

А Камінь впав із висоти 20 м.

Б Модуль переміщення каменя 26 м.

В Початкова швидкість руху каменя 10 м/с.

Г Швидкість руху каменя у момент падіння більша за 25 м/с.

2. Швидкість руху диска «болгарки» у точці дотику з поверхнею, яку обробляють, дорівнює 80 м/с. Діаметр диска 160 мм. Укажіть правильне твердження. Поясніть, чому інші твердження є неправильними.

А Обертова частота диска 25 об/с.

Б Кутова швидкість обертання диска 1000 рад/с.

В Доцентрове прискорення точки на краю диска 40 м/с².

Г Період обертання диска 4 с.

3. Чотири шестірні скріплені зубцями, як показано на рисунку. Шестірня 1 має 20 зубців, шестірня 2 — 30 зубців. Шестерні 3 і 4 — 10 і 40 зубців відповідно.

Установіть відповідність між номером шестірні та періодом її обертання, якщо обертова частота шестірні 1 дорівнює 2,5 об/с.

А 0,1с

Б 0,2 с

В 0,4 с

Г 0,6 с

Д 0,8 с