Частина I НАВЧАЛЬНИЙ ДОВІДНИК — З ПРИКЛАДАМИ ТА ЗАВДАННЯМИ

КВАНТОВА ФІЗИКА. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ВІДНОСНОСТІ

1. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ВІДНОСНОСТІ

1.3. ВИСНОВКИ СПЕЦІАЛЬНОЇ ТЕОРІЇ ВІДНОСНОСТІ

1.3.1. ВІДНОСНІСТЬ ДОВЖИНИ (ВІДСТАНЕЙ)

Лоренцієве скорочення довжини — зменшення довжини в напрямку руху:

l = l₀,

де l — довжина тіла в СВ, відносно якої тіло рухається зі швидкістю v, l₀ — власна довжина тіла, тобто довжина тіла в СВ, відносно якої тіло перебуває в спокої, с — швидкість поширення світла у вакуумі.

♦ При v с маємо l = l₀ — класична механіка.

1.3.2. ВІДНОСНІСТЬ ІНТЕРВАЛУ ЧАСУ

Релятивістське уповільнення часу — час у рухомій СВ уповільнюється:

= ,

де — інтервал часу між двома подіями у СВ, відносно якої тіло рухається зі швидкістю v, ₀ — інтервал часу між двома подіями у СВ, відносно якої тіло перебуває у спокої.

Релятивістське уповільнення часу експериментально підтверджено.

♦ Якщо v с, то = ₀ —класична механіка.

1.3.3. ВІДНОСНІСТЬ ОДНОЧАСНОСТІ

Події, одночасні в одній інерціальній системі відліку, не одночасні в інших інерціальних системах, рухомих відносно першої.

Розрізняють події просторово-часові і причинно-наслідкові.

♦ Якщо подія причинно-наслідкова, то неможлива система відліку, в якій наслідкова подія випередила б подію причинову.

1.3.4. РЕЛЯТИВІСТСЬКИЙ ЗАКОН ДОДАВАННЯ ШВИДКОСТЕЙ

Релятивістський закон додавання паралельних швидкостей:

v = ,

де v — швидкість руху тіла відносно нерухомої СВ, — швидкість руху тіла відносно рухомої СВ, v₂ — швидкість рухомої СВ відносно нерухомої.

♦ Якщо v₁ с і v₂ с , то релятивістський закон додавання швидкостей набуває вигляду класичного: v = v₁ + v₂.

♦ Якщо v₁ = c і v₂ = c, то v = c — у випадку переходу від однієї інерціальної СВ до іншої швидкість поширення світла не змінюється.

Швидкість поширення світла у вакуумі (с) — гранична швидкість у нашому Всесвіті.

1.3.5. ІМПУЛЬС ТІЛА В СТВ. ДРУГИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА В СТВ

Імпульс тіла у спеціальній теорії відносності розраховується за формулою

= ,

де m — маса тіла.

♦ Жодна частинка (тіло) з масою m, відмінною від нуля, не може рухатися зі швидкістю, яка дорівнює чи перевищує швидкість поширення світла у вакуумі (тільки менше с).

♦ Другий закон Ньютона в імпульсній формі такий самий, як у класичній механіці:

∆t = ∆.

1.3.6. ЗАКОН ВЗАЄМОЗВ'ЯЗКУ МАСИ ТА ЕНЕРГІЇ

Закон взаємозв'язку маси та енергії:

E = ,

де E — повна енергія тіла масою m, яке рухається зі швидкістю v.

♦ Будь-яка частинка, що має масу, несе у собі запас енергії:

Е₀ = mс².

Масі спокою в 1а. о. м. (атомну одиницю маси) відповідає енергія 931,5 МеВ.

♦ Зміні енергії тіла відповідає зміна маси тіла, і навпаки:

∆Е = ∆mс², ∆m = ,

Наприклад, при зміні температури тіла змінюється його внутрішня енергія, відповідно змінюється і його маса.

♦ У релятивістській фізиці енергія тіла складається з енергії спокою і кінетичної енергії:

Е = mс² + Ек.

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬ

1. Установіть відповідність між зміною стану 3 кг льоду та зміною його маси. Питома теплоємність льоду 2,1 кДж/(кг ∙ К), питома теплота плавлення льоду 330 кДж/кг. Вважайте, що g = 10 м/с².

1 Розплавили за температури плавлення

2 Охолодили па 200 К

3 Опустили на 1,8 км

4 Надали швидкості 300 м/с

А Збільшилася на 7 ∙ 10^-14 кг

В Зменшилася на 6 ∙ 10^-13 кг

В Зменшилася на 1,4 ∙ 10^-11 кг

Г Збільшилася на 1,5 ∙ 10^-12 кг

Д Збільшилася на 1,1 ∙ 10^-11 кг

Обгрунтування вибору відповіді

1. Якщо лід розплавити за температури плавлення, то його внутрішня енергія збільшується на ∆Е = Q = m. Збільшення енергії тіла відповідає збільшенню його маси:

∆m =

∆m = = = = 1,1 ∙ 10^-11 (кг).(Д)

2. Під час охолодження льоду його внутрішня енергія зменшується на ∆Е = Q = c_льодуm∆t. Зменшення енергії тіла відповідає зменшенню його маси:

∆m =

∆m = = = = 1,4 ∙ 10^-11 (кг). (В)

3. Якщо тіло опускають з певної висоти, то його потенціальна енергія зменшується на ∆Е = mgh. Зменшення енергії тіла відповідає зменшенню його маси:

∆m =

∆m = = = = 6 ∙ 10^-13 (кг).(В)

4. Якщо тілу надати певної швидкості, то його кінетична енергія збільшиться на

∆m =

Збільшення енергії тіла відповідає збільшенню його маси:

∆m =

∆m = = = = 1,5 ∙ 10^-2 (кг). (Г)

Відповідь: 1—Д, 2—В, З—Б, 4—Г.

2. Космічний корабель завдовжки 300 м віддаляється від нерухомого спостерігача зі швидкістю 0,8с, де с — швидкість поширення світла у вакуумі. Установіть правильне твердження. Обґрунтуйте, чому інші твердження є неправильними.

А Довжина корабля відносно спостерігача становить 500 м.

Б Hа носу й кормі корабля одночасно відбулися дві події. Й космонавт, що летить у ракеті, й нерухомий спостерігач встановлять, що події відбулися одночасно.

В Якщо за підрахунками нерухомого спостерігача пройде 20 років, то космонавт, що летить у ракеті, постаріє лише на 12 років.

Г Якщо нерухомий спостерігач відправить на ракету світловий сигнал, то сигнал буде наближатися до ракети зі швидкістю 0,2с.

Обґрунтування вибору відповіді

□ Твердження А є неправильним. Відповідно до одного з висновків СТВ, довжина тіла в напрямку його руху зменшується:

l = l₀.

Якщо власна довжина корабля становить l₀ = 300 м, то у СВ, яка пов'язана із нерухомим спостерігачем, l = 300 l = l₀ = 300 l₀ = 300 ∙ 0,6 = 180 (м).

□ Твердження Б є неправильним. Події, одночасні в одній інерціальній СВ, не є одночасними в СВ, що рухається відносно першої з певною швидкістю. Взагалі, говорити про одночасність подій, не вказуючи на СВ, не має сенсу, зокрема якщо швидкість руху набагато менша від швидкості поширення світла у вакуумі.

□ Твердження В є правильним. Час у рухомій СВ уповільнюється: = , тому = = 20 = = 20 ∙ 0,6 = 12 (років).

□ Твердження Г є неправильним. Швидкість поширення світла у вакуумі однакова у будь-якій інерціальній СВ, тому світовий сигнал рухатиметься відносно ракети зі швидкістю с . Це можна підтвердити, спираючись на релятивістський закон додавання швидкостей:

v =

Враховуючи, що v = с — швидкість поширення світлового сигналу відносно нерухомого спостерігача, а v₂ = 0,8с — швидкість рухомої СВ (корабля) відносно нерухомої, отримаємо: с = c ∙ (1 + ) = v₁ + 0,8с.

Отже, с + 0,8v₁ = v₁ + 0,8с v₁ = с .

Відповідь: В.

3. 1 г води, взятої при 0 °С, перетворили в стоградусну пару. На скільки маса пари більша за масу води? Питома теплоємність води 4200 Дж/кг ∙ К, питома теплота пароутворення 2,3 ∙ 106 Дж/кг.

Розв'язання

Коли воду нагрівають, її маса збільшується, бо зростає повна енергія води на величину

∆Е = ∆m ∙ с², що дорівнює кількості теплоти, одержаної водою: Q = mс₂ (t₁ - t₂) + mL.

Тому ∆mс² = mс₂(t₁ - t₂) + mL, звідки ∆m = .

Остаточно маємо:

∆m = 3 ∙ 10^-14 кг.

Відповідь: 3 ∙ 10^-14 кг.

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ'ЯЗАННЯ

1. Від поверхні Землі у протилежних напрямках протягом інтервалу часу рухаються дві ракети завдовжки l₀ = с кожна. Одна ракета рухається зі швидкістю 0,8 с , інша — зі швидкістю 0,6 с , де с — швидкість поширення світла у вакуумі. Установіть відповідність між фізичною величиною та виразом для її визначення.

1	Швидкість руху першої ракети відносно другої.	А 0,96 с
2	Довжина першої ракети від	Б 0,6 с
	носно спостерігача на Землі.	В 0,8 с
3	Довжина другої ракети відносно спостерігача на Землі.	Г 0,96 с
4	Відстань між ракетами в СВ, яка пов'язана із Землею	Д 1,4 с

2. 1 кг води, що мала температуру 0 °С, нагріли до кипіння та перетворили на пару. Питома теплоємність води 4,2 кДж/(кг ∙ К), питома теплота пароутворення води 2300 кДж/кг. Установіть правильне твердження. Обґрунтуйте, чому інші твердження є неправильними.

А Вода мала енергію 3 ∙ 10⁸ Дж.

В Енергія води збільшилася більш, ніж на 2,8 МДж.

В Маса пари перевищує масу води на 3 ∙ 10^-9%.

Г Якщо воду охолоджувати, то її маса не змінюватиметься.

3. Власний час життя нестабільної частинки у 10 разів відрізняється від часу її життя за нерухомим годинником. З якою швидкістю рухається частинка?