Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§1 ПОВТОРЕННЯ ТА РОЗШИРЕННЯ ВІДОМОСТЕЙ ПРО МНОЖИНИ ТА ФУНКЦІЇ

ГОЛОВНЕ В ПАРАГРАФI 1

Підмножина

Множину В називають підмножиною множини А, якщо кожний елемент множини В є елементом множини А.

Якщо В ⊂ А і В ≠ А, то множину В називають власного підмножиною множини А.

Операції над множинами

Перерізом множин А і В називають множину, яка складається з усіх елементів, що належать і множині А, і множині В. Об’єднанням множин А і В називають множину, яка складається з усіх елементів, що належать хоча б одній із цих множин: або множині А, або множині В.

Різницею множин А і В називають множину, яка складається з усіх елементів, які належать множині А, але не належать множині В. У випадку, коли множина В є підмножиною множини А, різницю А \ В називають доповненням множини В у множині А.

Функція

Нехай X — множина значень незалежної змінної, Y — множина значень залежної змінної. Функція — це правило, за допомогою якого за кожним значенням незалежної змінної з множини X можна знайти єдине значення залежної змінної з множини Y.

Найбільше і найменше значення функції

Число f (х0) називають найбільшим значенням функції f на множині М ⊂ D(f), якщо існує таке число х0 ∈ М, що для всіх х ∈ М виконується нерівність f(х0) ≥ f(x).

Число f (х0) називають найменшим значенням функції f на множині М ⊂ D(f), якщо існує таке число х0∈ М, що для всіх х ∈ М виконується нерівність f(х0) ≤ f(x).

Парні і непарні функції

Функцію f називають парною, якщо для будь-якого х із області визначення виконується рівність f (-х) = f (х).

Функцію f називають непарною, якщо для будь-якого х із області визначення виконується рівність f (-х) = -f (х).

Область визначення парної (непарної) функції є симетричною відносно початку координат.

Вісь ординат є віссю симетрії графіка парної функції.

Початок координат є центром симетрії графіка непарної функції.

Перетворення графіків функцій

Графік функції у = f (kx) можна отримати з графіка функції у = f (х) у результаті стискання в k разів до осі ординат, якщо k > 1, або в результаті розтягнення в раза від осі ординат, якщо 0 < k < 1.

Графік функції у = f (-х) можна отримати, відобразивши графік функції у = f (х) симетрично відносно осі ординат.

Оборотна функція

Функцію у = f (х) називають оборотною, якщо для будь-якого y0 ∈ E(f) існує єдине х0∈ D(f) таке, що y0 = f(x0).

Якщо функція є зростаючою (спадною), то вона є оборотною.

Взаємно обернені функції

Функції fig називають взаємно оберненими, якщо:

1) D(f) = E(g) i E(f) = D(g);

2) для будь-якого х0∈ D(f) із рівності f(х0) = y0 випливає, що g(y0) = х0, тобто g(f (х0)) = х0.

Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = х.

Якщо функція є зростаючою (спадною), то обернена до неї функція є також зростаючою (спадною).

Ділення многочленів

Говорять, що многочлен А (х) ділиться націло на тотожно не рівний нулю многочлен В (х), якщо існує такий многочлен Q (х), що для будь-якого х ∈ ℝ виконується рівність А (х) = В (х) ∙ Q (х). Многочлен А (х) називають діленим, многочлен В (х) — дільником, многочлен Q (х) — часткою.

Для будь-якого многочлена А (х) і ненульового многочлена В (х) існує єдина пара многочленів Q (х) і R (х) таких, що А(х) = В (х) ∙ Q (х) + R (х), де степінь многочлена R (х) менший від степеня многочлена В (х) або R (х) — нульовий многочлен. У цій рівності многочлен Q (х) називають неповною часткою, а многочлен R (х) — остачею.

Корінь многочлена

Число а називають коренем многочлена А (х), якщо А (а) = 0.

Властивості коренів многочлена

Число а є коренем многочлена А (х) тоді й тільки тоді, коли многочлен А (х) ділиться наділо на двочлен х - а.

Якщо {a1, а2, ..., an} — множина коренів многочлена А (х), то А (х) = (х - a1) (х - а2) ∙... ∙ (х - аn) ∙ Q (х), де Q (х) — деякий многочлен.

Множина коренів многочлена степеня m містить не більше ніж n елементів.

Якщо множина коренів многочлена аnхn + аn-1хn-1 + ... + a1х + а0 містить більше ніж n елементів, то аn = аn-1 = ...= а1 = а0 = 0, тобто цей многочлен тотожно дорівнює нулю.

Якщо ціле раціональне рівняння із цілими коефіцієнтами має цілий корінь, то він є дільником вільного члена.

Теорема Везу

Остача від ділення многочлена А (х) на двочлен х - а дорівнює А (а).

Метод математичної індукції

Нехай потрібно довести, що деяке твердження є правильним для будь-якого натурального значення пn.

Доведення цього факту методом математичної індукції складається з двох частин (теорем):

1) База індукції. Доводять (перевіряють) справедливість твердження для n = 1.

2) Індуктивний перехід. Роблять припущення, що твердження є правильним для n = k, k ∈ N, і на підставі цього доводять, що воно є правильним для n = k + 1.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.