Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

8. Степенева функція з натуральним показником

9. Степенева функція із цілим показником

10. Означення кореня n-го степеня. Функція у =

11. Властивості кореня n-го степеня

12. Степінь з раціональним показником та його властивості

13. Ірраціональні рівняння

14. Різні прийоми розв'язування ірраціональних рівнянь та їхніх систем

15. Ірраціональні нерівності

• У цьому параграфі ви дізнаєтеся, яку функцію називають степеневою функцією із цілим показником, які властивості має ця функція; що називають коренем n-го степеня, які властивості має корінь n-го степеня; що називають степенем з раціональним показником

і які його властивості; які рівняння називають ірраціональними.

• Bи навчитеся добувати корені n-го степеня, виконувати піднесення до степеня з раціональним показником; перетворювати які містять степені з раціональним показником і корені n-го степеня; розв'язувати ірраціональні рівняння.

8. Степенева функція з натуральним показником

Властивості та графіки функцій у = х і у = х2 добре відомі вам з курсу математики попередніх класів. Ці функції є окремими випадками функції у = хn, n ∈ ℕ, яку називають степеневою функцією з натуральним показником.

Оскільки вираз хn, n ∈ ℕ, має зміст при будь-якому х, то областю визначення степеневої функції з натуральним показником є множина М.

Очевидно, що розглядувана функція має єдиний нуль х = 0. Подальше дослідження властивостей функції у = хn, n ∈ ℕ, проведемо для двох випадків: n — парне натуральне число i n — непарне натуральне число.

• Перший випадок: n = 2k, k ∈ ℕ.

Зазначимо, що при k = 1 отримуємо функцію у = х2, властивості та графік якої було розглянуто в курсі алгебри 8 класу.

Оскільки при будь-якому х вираз х2k набуває тільки невід’ємних значень, то область значень розглядуваної функції не містить жодного від’ємного числа.

Можна показати, що для будь-якого а > 0 існує таке значення аргументу х, що х2k = а.

Сказане означає, що областю значень функції у = хn де n — парне натуральне число, є множина [0; +∞).

Якщо х ≠ 0, то x2k > 0.

Отже, проміжки (-∞; 0) і (0; +∞) є проміжками знакосталості функції у = хn, де n — парне натуральне число.

Функція у = хn, де n — парне натуральне число, є парною. Справді, для будь-якого х із області визначення виконується рівність (-x)2k = x2k.

Розглянемо довільні числа х1 і х2 такі, що х, є (-∞; 0], х2∈ (-∞; 0] і x1 < х2. Тоді -х1 > -х2 > 0. Скориставшись властивістю числових

нерівностей, отримуємо: (-х1)2k > (-х2)2k. Звідси х1k2 > x2k2.

Отже, функція у = хn, де n — парне натуральне число, спадає на проміжку (-∞; 0]. Аналогічно можна показати, що ця функція зростає на проміжку [0; +∞).

Отримані властивості дають змогу схематично зобразити графік функції у = хn, де n — парне натуральне число (рис. 8.1). Зокрема, графік функції у = х4 зображено на рисунку 8.2.

Рис. 8.1

Рис. 8.2

• Другий випадок: n = 2k + 1, k ∈ ℕ або k = 0.

Зазначимо, що при n = 1 отримуємо функцію у = х, властивості та графік якої було розглянуто в курсі алгебри 7 класу.

Тепер нехай n = 2k + 1, k ∈ ℕ.

Можна показати, що для будь-якого а існує таке значення аргументу х, що х2k + 1 = а.

Сказане означає, що областю значень функції у = хn, де n — непарне натуральне число, є множина ℝ.

Якщо х < 0, то х2k + 1 < 0; якщо х > 0, то х2k + 1 > 0.

Отже, проміжки (-∞; 0) і (0; +∞) є проміжками знакосталості функції у = хn, де n — непарне натуральне число.

Функція у = хn, де n — непарне натуральне число, є непарною. Справді, для будь-якого х із області визначення виконується рівність (-х)2k + 1 = -х2k + 1.

Розглянемо довільні числа х1 і х2 такі, що х1 < х2. Скориставшись властивістю числових нерівностей, отримуємо:

Отже, функція у = хn, де n — непарне натуральне число, є зростаючою.

Отримані властивості дають змогу схематично зобразити графік функції у = хn, де n — непарне натуральне число, n > 1 (рис. 8.3). Зокрема, графік функції у = х5 зображено на рисунку 8.4.

Рис. 8.3

Рис. 8.4

У таблиці наведено властивості функції у = хп, n ∈ ℕ, установлені в цьому пункті.

Властивість

n — парне натуральне число

n — непарне натуральне число

Область визначення

Область значень

[0; +∞)

Нулі функції

х = 0

х = 0

Проміжки знакосталості

y > 0

на кожному з проміжків (-∞; 0) i (0; +∞)

y < 0

на проміжку (-∞; 0),

y > 0

на проміжку (0; +∞)

Парність

Парна

Непарна

Зростання / спадання

Спадає

на проміжку (-∞; 0], зростає

на проміжку [0; +∞)

Зростаюча

?

1. Яку функцію називають степеневою функцією з натуральним показником?

2. Сформулюйте властивості функції у = хn, де n — парне натуральне число.

3. Сформулюйте властивості функції у = хn, де n — непарне натуральне число.

ВПРАВИ

8.1. Функцію задано формулою f (х) = х19. Порівняйте:

1) f(-7,6) і f(-8,5); 2) f(-6,9) і f(6,9); 3) f (0,2) і f (-12).

8.2. Функцію задано формулою f (х) = х50. Порівняйте:

1) f (-1,1) і f(-1,2); 2) f(19) і f(-19); 3) f (-7) і f(9).

8.3. Чи випливає з нерівності хn1 > хn2, що х1 > х2, якщо: 1) n — парне; 2) n — непарне?

8.4. Чи випливає з нерівності х1 > х2, що хn1 > хn2, якщо: 1) n — парне; 2) n — непарне?

8.5. Побудуйте графік функції:

1) у = | х | х4; 2) у = | х | х4 + х5.

8.6. Побудуйте графік функції:

1) у = | х | х3; 2) y = | х | х4 - х5.

8.7. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f (х) = х8 на проміжку:

1) [0; 2]; 2) [-2; -1]; 3) [-1; 1]; 4) (-∞; -2]; 5) (-2; 1).

8.8. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f (х) = х6 на проміжку:

1) [-13; -1]; 2) [-2; 1]; 3) [1; +∞); 4) (1; +∞).

8.9. Парним чи непарним натуральним числом є показник степеня п функції f (х) = хn, якщо:

1) f (-4) < f (2); 2) f (-4) > f (2); 3) f (4) > f (-2)?

8.10. Розв’яжіть рівняння:

1) х11 + х3 = 2; 2) 2х4 + х10 = 3.

8.11. Розв’яжіть рівняння:

1)4х3 + х7 = -5; 2)х6 + 3х8 = 4.

8.12. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f (х) = х8 на проміжку [-1; а], де а > -1.

8.13. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f (х) = х6 на проміжку [а; 2], де а < 2.

8.14. Розв’яжіть рівняння 5х17 - Зх8 = 2.

8.15. Розв’яжіть рівняння 11х15 + 2х4 = -9.

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

8.16. Подайте степінь у вигляді дробу:

1) 3-8; 3)a-9; 5) 12-1; 7) (а - b)-2;

2) 5-6; 4) d-3; 6) m-1; 8) (2х - 3у)-4.

8.17. Обчисліть значення виразу:

8.18. Подайте у вигляді дробу вираз:

1) а-2 + а-3; 3) (с-1 – d-1) (с - d)-2;

2) mn-4 + m-4n; 4) (х-2 + у-2) (х2 + y2)-1.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.