Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

9. Степенева функція із цілим показником

Функцію, яку можна задати формулою у = хn, де n ∈ ℤ, називають степеневою функцією із цілим показником.

Властивості цієї функції для натурального показника було розглянуто в попередньому пункті. Тут ми розглянемо випадки, коли показник n є цілим від’ємним числом або нулем.

Областю визначення функції у = х0 є множина (-∞; 0) U (0; +∞),

областю значень — одноелементна множина {1}. Графік цієї функції зображено на рисунку 9.1.

Розглянемо функцію у = х-n, де n ∈ ℕ. Окремий випадок цієї функції, коли n = 1, тобто функція у = , відомий вам з курсу алгебри 8 класу.

Запишемо функцію у = х-n у вигляді

Тоді стає зрозуміло, що областю визначення функції у = х-n, n ∈ ℕ, є множина (-∞; 0) U (0; +∞). Очевидно, що ця функція нулів не має.

Подальші дослідження властивостей функції у = х-n, де n ∈ ℕ, проведемо для двох випадків: n — парне натуральне число i n — непарне натуральне число.

• Перший випадок: n = 2k, k ∈ ℕ.

Маємо:

Оскільки вираз набуває тільки додатних

значень, то до області значень розглядуваної функції не входять ні від’ємні числа, ні число 0.

Можна показати, що для будь-якого а > 0 існує таке значення аргументу х, що x-2k = а.

Сказане означає, що областю значень функції у = х-n, де n — парне натуральне число, є множина (0; +∞).

Очевидно, що проміжки (-∞; 0) і (0; +∞) є проміжками знакосталості функції у = х-n, де n — парне натуральне число. Функція у = х-n, де n — парне натуральне число, є парною. Справді, для будь-якого х із області визначення виконуються рівності

Рис 9.1

Розглянемо довільні числа х1 і х2 такі, що х1∈ (-∞; 0), х2∈ (-∞; 0) і х1 < х2. Тоді -х1 > -х2 > 0. Скориставшись властивостями числових нерівностей, отримуємо:

Звідси

Отже, функція у = х-n, де n — парне натуральне число, зростає на проміжку (-∞; 0).

Аналогічно можна показати, що функція у = х-n, де n — парне натуральне число, спадає на проміжку (0; +∞).

Зауважимо, що зі збільшенням модуля х значення виразу k ∈ ℕ, стають усе меншими й меншими. Через це відстань від точки графіка функції k ∈ ℕ, до осі абсцис зменшується зі збільшенням модуля абсциси точки та може стати як завгодно малою, але ніколи не дорівнюватиме нулю.

Також можна встановити, що зі збільшенням модуля ординати відстань від точки графіка функції до осі ординат зменшується та може стати як завгодно малою, але ніколи не дорівнюватиме нулю.

Отримані властивості дають змогу схематично зобразити графік функції у = х-n, де n — парне натуральне число (рис. 9.2). Зокрема, графік функції зображено на рисунку 9.3.

Рис. 9.2

Рис. 9.3

• Другий випадок: n = 2k — 1, k ∈ ℕ.

Можна показати, що для будь-якого а ≠ 0 існує таке значення аргументу х, що x-(2k-1) = а.

Сказане означає, що областю значень функції у = х-n, де n — непарне натуральне число, є множина (-∞; 0) U (0; +∞).

Якщо х < 0, то якщо х > 0, то

Отже, проміжки (-∞; 0) і (0; +∞) є проміжками знакосталості функції у = х-n, де n — непарне натуральне число.

Функція у = х-n, де n — непарне натуральне число, є непарною. Справді, для будь-якого х із області визначення виконуютьсярівності

Розглянемо довільні числа х1 і х2 такі, що х1∈ (-∞; 0), х2∈ (-∞; 0) і x1 < х2. Тоді -x1 > -х2 > 0. Скориставшись властивостями числових нерівностей, отримуємо:

Отже, розглядувана функція спадає

на проміжку (-∞; 0). Аналогічно можна показати, що ця функція спадає і на проміжку (0; +∞).

Отже, функція у = х-n, де n — непарне натуральне число, спадає на кожному з проміжків (-∞; 0) і (0; +∞).

Отримані властивості дають змогу схематично зобразити графік функції у = х-n, де n — непарне натуральне число (рис. 9.4). Зокрема, графік функції зображено на рисунку 9.5.

Рис. 9.4

Рис. 9.5

У таблиці наведено властивості функції у = х-n, n ∈ ℕ, вивчені в цьому пункті.

Властивість

n — парне натуральне число

n — непарне натуральне число

Область визначення

(-∞; 0) U (0; -∞)

(-∞; 0) U (0; -∞)

Область значень

(0; +∞)

(-∞; 0) U (0; -∞)

Нулі функції

Проміжки знакосталості

у > 0 на кожному з проміжків (-∞; 0) і (0; +∞)

y < 0

на проміжку (-∞; 0),

y > 0

на проміжку (0; +∞)

Парність

Парна

Непарна

Зростання / спадання

Зростає

на проміжку (-∞; 0), спадає

на проміжку (0; +∞)

Спадає на кожному з проміжків (-∞; 0) і (0; +∞)

?

1. Яку функцію називають степеневою функцією із цілим показником?

2. Сформулюйте властивості функції у = -n, де n — парне натуральне число.

3. Сформулюйте властивості функції у = хn, де n — непарне натуральне число.

ВПРАВИ

9.1. Дано функцію f (х) = х-25. Порівняйте:

1) f (18) і f(16); 2) f(-42) і f(2,5); 3) f (-32) і f (-28).

9.2. Функцію задано формулою f (х) = х-40. Порівняйте:

1) f (-1,6) і f(-1,7); 3) f (-8) і f(6).

2) f(24) і f(-24);

9.3. Знайдіть область визначення функції:

1) у = (x- 1)-1; 2) у = ((х - 2) 2)-2.

9.4. Побудуйте графік функції:

9.5. Побудуйте графік рівняння:

1) (у + 2)0 = х - 2; 2) (у - 2)0 = (х + 1)0.

9.6. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f (х) = х-6 на проміжку:

9.7. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f (х) = х-3 на проміжку:

9.8. Визначте графічно кількість розв’язків системи рівнянь:

9.9. Визначте графічно кількість розв’язків системи рівнянь:

9.10. Парним або непарним є натуральне число п у показнику степеня функції f (х) = х-n, якщо:

1) f (-2) < f (1); 2) f (-2) < f (-1); 3) f (2) < f (1)?

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

9.11. Знайдіть значення виразу:

9.12. Розв’яжіть рівняння:

1) х2 = 25; 2) х2 = 0,49; 3) х2 = 3; 4) х2 = -25.

9.13. При яких значеннях х має зміст вираз:






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.