Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

11. Властивості кореня n-го степеня

Розглянемо теореми, які виражають властивості кореня n-го степеня.

Теорема 11.1 (перша теорема про корінь із степеня). Для будь-якого а ∈ ℝ і k ∈ ℕ виконуються рівності:

Доведення. Щоб довести рівність = y, достатньо показати, що y2k+1 = х. Для першої рівності, що доводиться, х = a2k+1, а у = а. Звідси рівність y2k+1 = х є очевидною.

Щоб довести рівність = y, достатньо показати, що у ≥ 0 і у2k = х. Для другої рівності, що доводиться, маємо: | а | ≥ 0 і (| а |)2k = а2k.

Теорема 11.2 (корінь із добутку). Якщо а ≥ 0 і b ≥ 0, n ∈ ℕ, n > 1, то

Доведення. Для того щоб довести рівність де х ≥ 0, достатньо показати, що у ≥ 0 і уn = х.

Маємо:

Тоді

Крім того,

Із теореми 11.2 випливає, що коли а ≤ 0 і b ≤ 0, n ∈ ℕ, n > 1, то

Теорема 11.3 (корінь із частки) Якщо а ≥ 0 i b > 0, n ∈ ℕ, n > 1, то

Доведіть цю теорему самостійно.

Із теореми 11.3 випливає, що коли а ≤ 0 i b < 0, n ∈ ℕ, n > 1, то

Теорема 11.4 (степінь кореня). Якщо а > 0, n ∈ ℕ, k ∈ ℕ, n > 1, то

Доведення. Якщо k = 1, то рівність, що доводиться, є очевидною.

Нехай k > 1.

Маємо:

Теорема 11.5 (корінь із кореня). Якщо а > 0, n ∈ ℕ, k ∈ ℕ, n > 1, k > 1, то

Доведення. Маємо:

Крім того,

Теорема 11.6 (друга теорема про корінь із степеня). Якщо а > 0, n ∈ ℕ, k ∈ ℕ, n > 1, то

Доведення. Якщо k = 1, то рівність, що доводиться, є очевидною.

Нехай k > 1. Маємо:

ПРИКЛАД 1 Спростіть вираз:

якщо х ≥ 0 і у ≤ 0.

Розв’язання. Застосуємо теореми 11.5 і 11.1.

ПРИКЛАД 2 Винесіть множник з-під знака кореня:

якщо а < 0.

Розв’язання. 1) 3 умови випливає, що b > 0.

Тоді

2) 3 умови випливає, що b ≤ 0.

Тоді

3) 3 умови випливає, що b ≥ 0.

Тоді

ПРИКЛАД 3 Внесіть множник під знак кореня:

Розв’язання.

2) Якщо якщо а < 0, то

3) 3 умови випливає, що с ≥ 0. Тоді

4) 3 умови випливає, що b ≤ 0. Тоді

ПРИКЛАД 4 Скоротіть дріб

Розв’язання. Розклавши чисельник даного дробу на множники, отримуємо:

ПРИКЛАД 5 Скоротіть дріб

Розв’язання. З умови випливає, що числа а і b однакового знака. Розглянемо два випадки.

Перший випадок: а > 0 і b > 0. Маємо:

Другий випадок: а < 0, b < 0.

Маємо:

ПРИКЛАД 6 Доведіть, що

Розв’язання. Нехай

Скористаємося тим, що (а + b)3 = а3 + b3 + 3ab (а + b).

Маємо:

Звідси х3 = 18 + 3х; х3 - 3х - 18 = 0.

Розглянувши дільники числа 18, нескладно установити, що х = 3 є коренем даного рівняння. Поділивши многочлен х3 - 3х - 18 на двочлен х - 3, отримуємо х2 + 3х + 6.

Маємо: (х - 3) (х2 + 3х + 6) = 0.

Це рівняння має єдиний корінь х = 3.

?

1. Сформулюйте першу теорему про корінь із степеня.

2. Сформулюйте другу теорему про корінь із степеня.

3. Сформулюйте теорему про корінь із добутку.

4. Сформулюйте теорему про корінь із частки.

5. Сформулюйте теорему про степінь кореня.

6. Сформулюйте теорему про корінь із кореня.

ВПРАВИ

11.1. Знайдіть значення виразу:

11.2. Чому дорівнює значення виразу:

11.3. Винесіть множник з-під знака кореня:

11.4. Винесіть множник з-під знака кореня:

11.5. Внесіть множник під знак кореня:

11.6. Внесіть множник під знак кореня:

11.7. Спростіть вираз:

11.8. Спростіть вираз:

11.9. Спростіть вираз:

11.10. Спростіть вираз

11.11. Скоротіть дріб:

11.12. Скоротіть дріб:

11.13. При яких значеннях а виконується рівність:

11.14. При яких значеннях а виконується рівність:

11.15. При яких значеннях а і Ъ виконується рівність:

11.16. При яких значеннях х виконується рівність:

11.17. Спростіть вираз:

11.18. Спростіть вираз:

11.19. Винесіть множник з-під знака кореня:

11.20. Винесіть множник з-під знака кореня:

11.21. Внесіть множник під знак кореня:

11.22. Внесіть множник під знак кореня:

11.23. Знайдіть значення виразу:

11.24. Знайдіть значення виразу:

11.25. Побудуйте графік функції:

11.26. Побудуйте графік функції:

11.27. Спростіть вираз:

11.28. Доведіть тотожність:

11.29. Доведіть, що значення виразу є раціональним числом:

11.30. Доведіть, що

11.31. Доведіть, що значення виразу є цілим числом:

11.32. Спростіть вираз

11.33. Спростіть вираз

11.34. Доведіть рівність

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

11.35. З натуральних чисел від 11 до 40 включно навмання називають одне. Яка ймовірність того, що це число: 1) кратне 7; 2) є дільником числа 40; 3) є простим?

11.36. У коробці лежать білі та чорні кульки. Скільки білих кульок у коробці, якщо ймовірність вийняти з неї навмання білу кульку дорівнює , а чорних кульок у коробці 25?






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.