Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

12. Степінь з раціональним показником та його властивості

Нагадаємо означення степеня з натуральним показником:

Ви знаєте, що степінь з натуральним показником має такі властивості:

Пізніше ви ознайомилися з означеннями степеня з нульовим показником і степеня із цілим від’ємним показником:

Ці означення дуже вдалі: при такому підході всі п’ять властивостей степеня з натуральним показником залишилися справедливими й для степеня із цілим показником.

Введемо поняття степеня з дробовим показником, тобто степеня аr, показник якого є раціональним числом виду r = , де m ∈ ℤ, n ∈ ℕ, n > 1. Бажано зробити це так, щоб степеню з дробовим показником залишилися притаманними всі властивості степеня із цілим показником. Підказкою для потрібного означення може слугувати такий приклад.

Позначимо через х шукане значення степеня тобто

Ураховуючи властивість (am)n = аmn, можна записати

Отже, х — це кубічний корінь із числа 22, тобто

Таким чином,

Ці міркування підказують, що доцільно прийняти таке означення.

Означення. Степенем додатного числа а з раціональним показником r, поданим у вигляді , де m ∈ ℤ, n ∈ ℕ, n > 1, називають число тобто

Наприклад,

Зауважимо, що значення степеня аr, де r — раціональне число, не залежить від того, у вигляді якого дробу подано число r. Це можна показати, використовуючи рівності

Степінь з основою, яка дорівнює нулю, означають тільки для додатного раціонального показника.

Означення.

Звертаємо увагу, що, наприклад, запис не має змісту.

Наголосимо, що в означеннях не йдеться про степінь для а < 0, наприклад, вираз залишився невизначеним. Разом з тим вираз має зміст. Виникає природне запитання: чому б не вважати, що

Покажемо, що така домовленість призвела б до суперечності:

Отримали, що від’ємне число дорівнює додатному числу

Функцію, яку можна задати формулою у = xr, r ∈ ℚ, називають степеневою функцією з раціональним показником.

Якщо нескоротний дріб , m ∈ ℤ, n ∈ ℕ, n > 1, є додатним числом, то областю визначення функції є проміжок [0; +∞); а якщо цей дріб — від’ємне число, то проміжок (0; +∞).

Функція k ∈ ℕ, нічим не відрізняється від функції

Функції мають різні області визначення. Так, на проміжку [0; +∞) обидві ці функції збігаються, але на проміжку (-∞; 0) визначена лише функція

На рисунку 12.1 зображено графіки функцій

Рис. 12.1

Покажемо, що властивості степеня із цілим показником залишаються справедливими й для степеня з довільним раціональним показником.

Теорема 12.1 (добуток степенів). Для будь-якого а > 0 та будь-яких раціональних чисел р і q виконується рівність

Доведення. Запишемо раціональні числа р і q у вигляді дробів з однаковими знаменниками:

Маємо:

Наслідок. Для будь-якого а > 0 і будь-якого раціонального числа р виконується рівність

Доведення. Застосовуючи теорему 12.1, запишемо:

Звідси

Теорема 12.2 (частка степенів). Для будь-якого а > 0 та будь-яких раціональних чисел р і q виконується рівність

Доведення. Застосовуючи теорему 12.1, запишемо:

Звідси ар-q = ар : aq.

Теорема 12.3 (степінь степеня). Для будь-якого а > 0 та будь-яких раціональних чисел р і q виконується рівність

Доведення. Нехай

Маємо:

Теорема 12.4(степінь добутку та степінь частки). Для будь-яких а > 0 і b > 0 та будь-якого раціонального числа р виконуються рівності:

Доведіть цю теорему самостійно.

ПРИКЛАД 1 Побудуйте графік функції

Розв’язання. Областю визначення функції f є множина (0; +∞). Дану функцію можна задати такими умовами: f(x) = x, D(f) = (0; +∞). Графік функції зображено на рисунку 12.2.

Рис. 12.2

Розглянемо приклади, у яких виконуються тотожні перетворення виразів, що містять степені з раціональним показником.

ПРИКЛАД 2 Скоротіть дріб:

Розв’язання. 1) Розклавши чисельник і знаменник дробу на множники, отримуємо:

2) Маємо:

?

1. Що називають степенем додатного числа а з показником , де m ∈ ℤ, n ∈ ℕ, n > 1?

2. Що називають степенем числа 0 з показником , де m ∈ ℕ, n ∈ ℕ?

3. Сформулюйте теореми про властивості степеня з раціональним показником.

4. Яку функцію називають степеневою функцією з раціональним показником?

ВПРАВИ

12.1. Знайдіть значення виразу:

12.2. Чому дорівнює значення виразу:

12.3. Знайдіть область визначення функції:

12.4. Знайдіть область визначення функції:

12.5. Знайдіть значення виразу:

12.6. Чому дорівнює значення виразу:

12.7. Відомо, що а — додатне число. Подайте а у вигляді: 1) куба; 2) восьмого степеня.

12.8. Відомо, що b — додатне число. Подайте у вигляді куба вираз:

12.9. Розкрийте дужки:

12.10. Розкрийте дужки:

12.11. Скоротіть дріб:

12.12. Скоротіть дріб:

12.13. При яких значеннях а виконується рівність:

12.14. Побудуйте графік функції:

12.15. Обчисліть значення виразу:

12.16. Знайдіть значення виразу:

12.17. Розв’яжіть рівняння:

12.18. Розв’яжіть рівняння:

12.19.’ Доведіть тотожність:

12.20. Доведіть тотожність:

12.21. Спростіть вираз:

12.22. Спростіть вираз

12.23. Обчисліть добуток х1,2 ∙ х1,3 ∙ х1,4 ∙ х1,5 ∙... ∙ х8,8, якщо

12.24. Обчисліть добуток якщо, x =

12.25. Спростіть вираз

12.26. Спростіть вираз

12.27. Спростіть вираз

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

12.28. Розв’яжіть рівняння:






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.