Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

15. Ірраціональні нерівності

Нагадаємо основні відомості про рівносильність нерівностей.

Означення. Дві нерівності називають рівносильними, якщо множини їхніх розв’язків є рівними.

Розв’язуючи рівняння методом рівносильних переходів, ми заміняли його іншим, простішим рівнянням, рівносильним даному. Аналогічним чином розв’язують і нерівності, використовуючи такі теореми.

Теорема 15.1. Якщо до обох частин нерівності додати (або від обох частин відняти) одне й те саме число, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

Теорема 15.2. Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне й те саме додатне число, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

Теорема 15.3. Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

Означення. Якщо множина розв’язків першої нерівності є підмножиною множини розв’язків другої нерівності, то другу нерівність називають наслідком першої нерівності.

Розглянемо теореми, за допомогою яких розв’язують основні типи ірраціональних нерівностей. Доведення цих теорем аналогічні доведенню теореми 13.3.

Теорема 15.4. Нерівність виду системі

ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Дана нерівність рівносильна системі

Звідси

Відповідь: [5; +∞).

Теорема 15.5. Нерівність виду рівносильна системі

ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Дана нерівність рівносильна системі

Розв’язування цієї системи проілюстровано на рисунку 15.1. Отримуємо 2,5 ≤ х < 3.

Відповідь: [2,5; 3).

Рис. 15.1

Теорема 15.6. Нерівність виду рівносильна сукупності двох систем

ПРИКЛАД 3 Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Дана нерівність рівносильна сукупності двох систем.

Відповідь:

ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Перепишемо дану нерівність у такому вигляді:

Ця нерівність рівносильна сукупності двох систем.

Друга нерівність системи рівносильна сукупності

Звідси

Тоді маємо:

Відповідь:

Нерівність прикладу 4 можна розв’язати інакше, використовуючи метод інтервалів. Справді, розв’язавши рівняння отримуємо два корені х = 3, х = -.

Розв’язування даної нерівності проілюстровано на рисунку 15.2.

Рис. 15.2

Під час розв’язування ірраціональних нерівностей можна користуватися більш загальною теоремою.

Теорема 15.7. Якщо для будь-якого х ∈ М виконуються нерівності f(x) ≥ 0 і g(x) ≥ 0, то нерівності f (x) > g(x) і (f (x))2k > (g(x))2k, k ∈ ℕ, рівносильні на множині M.

ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Обидві частини даної нерівності набувають невід’ємних значень на множині М = [3; +∞), яка є областю визначення цієї нерівності. Тому дана нерівність на множині М рівносильна нерівності

Звідси

На множині М = [3; +∞) обидві частини останньої нерівності набувають невід’ємних значень. Тоді за теоремою 15.7 отримуємо:

Відповідь: [3; 4].

Сформулюйте теореми про рівносильні переходи підчас розв'язування ірраціональних нерівностей.

ВПРАВИ

15.1. Розв’яжіть нерівність:

15.2. Розв’яжіть нерівність:

15.3. Розв’яжіть нерівність:

15.4. Розв’яжіть нерівність:

15.5. Розв’яжіть нерівність:

15.6. Розв’яжіть нерівність:

15.7. Розв’яжіть нерівність:

15.8. Розв’яжіть нерівність:

15.9. Розв’яжіть нерівність:

15.10. Розв’яжіть нерівність:

15.11. Розв’яжіть нерівність:

15.12. Розв’яжіть нерівність:

15.13. Розв’яжіть нерівність

15.14. Розв’яжіть нерівність

15.15. При яких значеннях параметра а множиною розв’язків нерівності є проміжок завдовжки ?

15.16. При яких значеннях параметра а множиною розв’язків нерівності є проміжок завдовжки ?

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

15.17. Скоротіть дріб:

15.18. Виконайте дії:





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити