Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

ГОЛОВНЕ В ПАРАГРАФІ 2

Степенева функція

Функцію у = хn, n ∈ ℕ, називають степеневою функцією з натуральним показником.

Функцію у = хn, де n ∈ ℤ, називають степеневою функцією із цілим показником.

Корінь n-го степеня

Коренем n-го степеня із числа а, де n ∈ ℕ, n > 1, називають таке число, n-й степінь якого дорівнює а.

Якщо n — непарне натуральне число, більше за 1, то корінь n-го степеня з будь-якого числа існує, причому тільки один.

При будь-якому а виконується рівність

Якщо n — парне натуральне число, то при а < 0 корінь n-го степеня із числа а не існує; при а = 0 корінь n-го степеня із числа а дорівнює 0; при а > 0 існують два протилежних числа, які є коренями n-го степеня із числа а.

Арифметичний корінь n-го степеня

Арифметичним коренем n-го степеня з невід’ємного числа а, де n ∈ ℕ, n > 1, називають таке невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.

Властивості кореня n-го степеня

Для будь-якого а ∈ ℝ і k ∈ ℕ виконуються рівності:

Степінь з раціональним показником

Степенем додатного числа а з раціональним показником r, поданим у вигляді , де m ∈ ℤ, n ∈ ℕ, n > 1, називають число тобто де m ∈ ℕ, n ∈ ℕ.

Для будь-якого а > 0 та будь-яких раціональних чисел р і q виконуються рівності

Для будь-яких а > 0 і b > 0 та будь-якого раціонального числа р виконуються рівності

Функцію, яку можна задати формулою у = xr, r ∈ ℚ, називають степеневою функцією з раціональним показником.

Ірраціональні рівняння

Якщо обидві частини рівняння піднести до непарного степеня, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

При піднесенні обох частин рівняння до парного степеня отримуємо рівняння, яке є наслідком даного.

Рівняння виду рівносильне системі

Рівняння виду рівносильне системі

Якщо для будь-якого х ∈ M виконуються нерівності f (х) ≥ 0 і g (х) > 0, то рівняння f (х) = g (x) і (f (х))2k = (g(x))2k, k ∈ ℕ, рівносильні на множині М.

Ірраціональні нерівності

Нерівність виду рівносильна системі

Нерівність виду рівносильна системі

Нерівність виду рівносильна сукупності двох систем

Якщо для будь-якого х ∈ М виконуються нерівності f (х) ≥ 0 і g(x) ≥ 0, то нерівності f(х) > g(x) І (f(х))2k > (g(х))2k, k ∈ ℕ, рівносильні на множині М.




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити