Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

17. Тригонометричні функції числового аргументу

Поняття «синус», «косинус» і «тангенс» кутів від 0° до 180° відомі вам з курсу геометрії 9 класу. Узагальнимо ці поняття для довільного кута повороту а.

Вводячи означення тригонометричних функцій кутів від 0° до 180°, ми користувалися одиничним півколом. Для довільних кутів повороту природно звернутися до одиничного кола (рис. 17.1).

Означення. Косинусом і синусом кута повороту а називають відповідно абсцису х і ординату у точки Р(х; у) одиничного кола такої, що (рис. 17.1).

Записують: cos a = х, sin а = у.

Рис. 17.1

Рис. 17.2

Точки Р0, А, В і С (рис. 17.2) мають відповідно координати (1; 0), (0; 1), (-1; 0), (0; -1). Ці точки отримано в результаті повороту

точки Р0 (1; 0) відповідно на кути 0, , , .

Отже, користуючись даним означенням, можна скласти таблицю1:

1 На форзаці 4 наведено таблицю значень тригонометричних функцій деяких кутів.

ПРИКЛАД 1 Знайдіть усі кути повороту а, при яких: 1) sin а = 0; 2) cos а = 0.

Розв’язання. 1) Ординату, яка дорівнює нулю, мають тільки дві точки одиничного кола: Р0 і В (рис. 17.2). Ці точки отримано в результаті поворотів точки Р0 на такі кути:

0, , 2, 3, ... або

, 2, 3, ... .

Усі ці кути можна знайти за допомогою формули а = k, де k ∈ ℤ. Отже, sin а = 0 при а = k, де k ∈ ℤ.

2) Абсцису, яка дорівнює нулю, мають тільки дві точки одиничного кола: А і С (рис. 17.2). Ці точки отримано в результаті поворотів точки Р0 на такі кути:

Усі ці кути можна знайти за допомогою формули а = + k, k ∈ ℤ.

Отже, cos а = 0 при а = + k, k ∈ ℤ.

Означення. Тангенсом кута повороту а називають відношення синуса цього кута до його косинуса:

Означення. Котангенсом кута повороту а називають відношення косинуса цього кута до його синуса:

Наприклад,

З означення тангенса випливає, що тангенс визначений для тих кутів повороту а, для яких cos а ≠ 0, тобто при а ≠ + k, k ∈ ℤ.

З означення котангенса випливає, що котангенс визначений для тих кутів повороту а, для яких sin а ≠ 0, тобто при а ≠ nk, k ∈ ℤ.

Ви знаєте, що кожному куту повороту а відповідає єдина точка одиничного кола. Отже, кожному значенню кута а відповідає єдине число, яке є значенням синуса (косинуса, тангенса для а ≠ + k,

котангенса для а ≠ k, k ∈ ℤ кута а. Через це залежність значення синуса (косинуса, тангенса, котангенса) від величини кута повороту є функціональною.

Функції f (а) = sin а, g(a) = cos а, h (а) = tg а, р (а) = ctg а, які відповідають цим функціональним залежностям, називають тригонометричними функціями кута повороту а.

Кожному дійсному числу а поставимо у відповідність кут а рад. Це дає змогу розглядати тригонометричні функції числового аргументу.

Наприклад, запис sin 2 означає «синус кута 2 радіани».

З означень синуса та косинуса випливає, що областю визначення функцій у = sin х і у = cos х є множина ℝ.

Оскільки абсциси й ординати точок одиничного кола набувають усіх значень від -1 до 1 включно, то областю значень функцій у = sin х і у = cos х є проміжок [-1; 1].

Кутам повороту а і а + 2πn, де n ∈ ℤ, відповідає одна й та сама точка одиничного кола, тому sin а = sin (а + 2 n), n ∈ ℤ cos а = cos (а + 2 n), n ∈ ℤ

Областю визначення функції у = tg х є множина

Областю визначення функції у = ctg х є множина {х ∈ ℝ| х ≠ k, k ∈ ℤ}.

Щоб знайти області значень цих функцій, звернемося до такої геометричної інтерпретації.

Проведемо пряму х = 1 (рис. 17.3). Вона проходить через точку Р0(1; 0) і дотикається до одиничного кола.

Нехай точку Р отримано в результаті повороту точки Р0(1; 0) на кут а і розміщено так, як показано на рисунку 17.3. Пряма ОР перетинає пряму х = 1 у точці М. Проведемо PN ⊥ ОР0.

Рис. 17.3

Із подібності трикутників OPN і ОМР0 випливає, що

Оскільки PN = sin a, ON = cos а, ОР0 = 1, то

Отже, ордината точки М дорівнює tg а.

Можна показати, що й при будь-якому іншому положенні точки Р на одиничному колі виконується таке: якщо пряма ОР перетинає пряму х = 1, то ордината точки перетину дорівнює tgа. Тому пряму х = 1 називають віссю тангенсів.

Зрозуміло, що внаслідок зміни положення точки Р на одиничному колі (рис. 17.4) точка М може зайняти довільне положення на прямій х = 1, тобто ординатою точки М може бути будь-яке число. Це означає, що областю значень функції у = tg х є множина ℝ.

Рис. 17.4

Рис. 17.5

Рис. 17.6

Нехай точку Р отримано в результаті повороту точки Р0 (1; 0) на кут а і розміщено так, як показано на рисунку 17.5. Можна показати, що коли пряма ОР перетинає пряму у = 1, то абсциса точки перетину дорівнює ctg а (рис. 17.5), тому пряму у = 1 називають віссю котангенсів.

З рисунка 17.6 зрозуміло, що областю значень функції у = ctg х є множина ℝ.

Якщо точки Р1, О і Р2 лежать на одній прямій, то прямі ОР1 і ОР2 перетинають вісь тангенсів (котангенсів) в одній і тій самій точці М (рис. 17.7, 17.8). Це означає, що тангенси (котангенси) кутів, які відрізняються на , 2, 3 і т. д., рівні. Звідси

tg а = tg (а + n), n ∈ ℤ

ctg а = ctg (а + n), n ∈ ℤ

Рис. 17.7

Рис. 17.8

ПРИКЛАД 2 Доведіть, що

Розв’язання. Нехай точки Р1 і Р2 отримано в результаті пoворотів точки Р0 на кути а і а + відповідно. Опустимо перпендикуляри Р1А і Р2В на осі х і у відповідно (рис. 17.9). Оскільки ∠P, ОР2 = , то можна встановити, що ∆ОP1А = ∆ОР2В. Звідси ОА = ОВ. Отже, абсциса точки P1 дорівнює ординаті точки Р2, тобто

Випадки розміщення точок Р1 і Р2 в інших координатних чвертях можна розглянути аналогічно.

Розгляньте самостійно випадки, коли точки P1 і Р2 лежать на координатних осях.

Рис. 17.9

ПРИКЛАД 3 Знайдіть найбільше і найменше значення виразу:

Розв’язання. 1) Оскільки -1 ≤ cosa ≤ 1, то -4 ≤ -4 cosa ≤ 4. Звідси -3 ≤ 1 - 4 cos a ≤ 5. Отже, найменше значення даного виразу дорівнює -3; вираз набуває його при cosa = 1. Найбільше значення дорівнює 5; вираз набуває його при cosa = -1.

Відповідь: 5: -3.

2) Маємо:

Зрозуміло, що вираз 2 - sin a набуває всіх значень від 1 до 3. Найменше значення виразу 2 - sin a, яке дорівнює 1, досягається лише при sina = l, проте при цьому cos a = 0 і вираз не визначений. Отже, найменшого значення не існує.

Аналогічно вираз 2 - sin а набуває найбільшого значення лише при sin a = -1, проте при цьому також cos a = 0. Отже, і найбільшого значення не існує.

Відповідь: не існують.

ПРИКЛАД 4 Знайдіть область значень виразу:

Розв’язання. Маємо:

-1 ≤ sin х ≤ 1; -3 ≤ 3 sin х ≤ 3; -5 ≤ 3sin х-2 ≤ 1.

При 0 < 3sinx-2 ≤ 1 отримуємо, що причому рівність досягається при sin х = 1.

При -5 ≤ 3 sin х - 2 < 0 маємо: причому рівність досягається при sin х = -1.

Отже, область значень даного виразу — множина

?

1. Що називають косинусом кута повороту? синусом кута повороту? тангенсом кута повороту? котангенсом кута повороту?

2. Поясніть, що називають тригонометричними функціями кута повороту; числового аргументу.

3. Якою є область визначення функції y = sin х? у = cos х? у = tg х? У = ctg х?

4. Якою є область значень функції у = sin х? у = cos х? у = tg х? у = ctg х?

ВПРАВИ

17.1. Обчисліть значення виразу:

17.2. Чому дорівнює значення виразу:

17.3. Чи є можливою рівність:

17.4. Чи може дорівнювати числу значення:

1) sin а; 2) cos а; 3) tg а; 4) ctg а?

17.5. Укажіть найбільше і найменше значення виразу:

1)2 - sin а; 2) 6 - 2 cos а; 3) sin2 а; 4) 2 cos2 а - 3.

17.6. Укажіть найбільше і найменше значення виразу:

1) -5 cos а; 2) cos а - 2; 3) 5 + sin2 а; 4) 7 - 3 sin а.

17.7. Знайдіть усі значення х, при яких виконується рівність:

1)s inx = 1; 2) sinx = -1.

17.8. Знайдіть усі значення х, при яких виконується рівність:

1) cosx = 1; 2) cosx = -1.

17.9. При яких значеннях а можлива рівність:

1) sin х = а2 + 1; 2) cos х = а2 - 1; 3) cos х = а2 - 5а + 5?

17.10. При яких значеннях а можлива рівність:

1) sin х = а - 2; 2) cos х = а2 + 2; 3) sin х = 2а - а2 - 2?

17.11. Порівняйте значення виразів 2 sin а і sin2 а, якщо 0 < а < .

17.12. Порівняйте значення виразів:

1) cos 10° і cos 10° cos 20°; 2) sin 40° і sin2 40°.

17.13. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу:

17.14. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу:

17.15. Знайдіть область значень виразу:

17.16. Знайдіть область значень функції:

17.17. Доведіть, що

17.18. Доведіть, що cos а = -cos (π + а).

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

17.19. Порівняйте з нулем координати точки А(х; у), якщо ця точка лежить:

1) у І координатній чверті; 3) у III координатній чверті;

2) у II координатній чверті; 4) у IV координатній чверті.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

17.20. Дві бригади, працюючи разом, зорали поле за 8 год. За скільки годин може зорати поле кожна бригада, працюючи самостійно, якщо одній бригаді на це потрібно на 12 год більше, ніж другій?

17.21. Перший насос може заповнити басейн на 24 год швидше, ніж другий. Спочатку ввімкнули другий насос, а через 8 год — перший. Після 20 год спільної роботи двох насосів водою було заповнено басейну. За скільки годин може заповнити басейн кожний насос, працюючи самостійно?



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити