Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

19. Періодичні функції

Багато процесів і подій, які відбуваються в навколишньому світі, повторюються через рівні проміжки часу. Наприклад, через 27,3 доби повторюється значення відстані від Землі до Місяця; якщо сьогодні субота, то через 7 діб знову настане субота.

Подібні явища та процеси називають періодичними, а функції, які є їхніми математичними моделями, — періодичними функціями.

Ви знаєте, що для будь-якого числа х виконуються рівності

sin (х - 2) = sin х = sin (х + 2);

cos (х - 2) = cos х = cos (х + 2).

Це означає, що значення функцій синус і косинус періодично повторюються зі зміною аргументу на 2. Функції у = sin х і у = cos х є прикладами періодичних функцій.

Означення. Функцію f називають періодичною, якщо існує таке число Т ≠ 0, що для будь-якого х із області визначення функції f виконуються рівності

f(x - T) = f(x) = f(x + T).

Число Т називають періодом функції f.

Виконання рівностей f (х - Т) = f (х) = f (х + Т) для будь-якого х є D(f) означає, що область визначення періодичної функції f має таку властивість: якщо х0 ∈ D(f), то (х0 - Т) ∈ D(f) і (х0+ Т) ∈ (f).

Ви знаєте, що для будь-якого х із області визначення функції у = tg х виконуються рівності

tg(х - ) = tg x = tg(х + ).

Також для будь-якого х із області визначення функції у = ctg х виконуються рівності:

ctg (х - ) = ctg x = ctg (х + ).

Тоді з означення періодичної функції випливає, що тангенс і котангенс є періодичними з періодом я.

Розглянемо деякі властивості періодичних функцій.

Теорема 19.1 Якщо число Т є періодом функції f, тo й число — Т також є періодом функції f.

Справедливість цієї теореми випливає з означення періодичної функції.

Теорема 19.2 Якщо числа Т1 і Т2 є періодами функції f, причому Т1 + Т2 ≠ 0, то число Т1 + Т2 також є періодом функції f.

Доведення. Для будь-якого х є D(f) можна записати:

f(x) = f(x + T1) = f((x + T1) + T2) = f(x + (T1 + T2);

f (х) = а (х - Т1) = f ((х - Т1) - Т2) = f (х - (Т1 + T2)).

Звідси для будь-якого х є D(f) виконуються рівності:

f (х - (T1 + T2)) =f (X) = f (х + (Т1 + T2)).

Отже, число Т1 + Т2 є періодом функції f.

Наслідок, Якщо число Т є періодом функції f, тo будь-яке число виду nТ, де n ∈ ℤ, n ≠ 0, також є її періодом.

Доведіть цей факт самостійно.

Остання властивість означає, що кожна періодична функція має безліч періодів.

Наприклад, будь-яке число виду 2n, n ∈ ℤ, n ≠ 0, є періодом функцій у = sin х і у = cos х; будь-яке число виду n, n ∈ ℤ, n ≠ 0, є періодом функцій y = tg х і y = ctg х.

Теорема 19.3. Якщо число Т є періодом функції у = f(x), тo число , де k ≠ 0, є періодом функції у = f (kx + b).

Доведення. Для будь-якого х із області визначення функції у = f (kx + b) можна записати:

Звідси для будь-якого х із області визначення функції у = f (kx + b) виконуються рівності:

Отже, число є періодом функції у = f (kx + b).

Якщо серед усіх періодів функції існує найменший додатний період, то його називають головним періодом функції.

Теорема 19.4. Головним періодом функцій у = sin х і у = cos х є число 2; головним періодом функцій у = tg х і у = ctg х є число .

Доведення. Проведемо доведення для функції у = sin х (решту тверджень теореми можна довести аналогічно).

Якщо число Т є періодом функції у = sin х, то рівність sin (х + Т) = sin х виконується при будь-якому дійсному значенні X, зокрема при х = -.

Тоді отримуємо:

Звідси = nk, Т = 2nk, k ∈ ℤ. З останньої рівності випливає, що будь-який період функції у = sin х має вигляд 2nk, k ∈ ℤ.

Найменшим додатним числом виду 2nk, k ∈ ℤ, є число 2 — період функції у = sin x.

Отже, число 2π — головний період функції у = sin x.

Застосовуючи теореми 19.3 і 19.4 до функцій у = sin (kx + b) і у = cos (kx + b), де k ≠ 0, отримуємо, що число є періодом, а число є головним періодом цих функцій.

Головним періодом функцій у = tg(kx + b) і у = ctg(kx + b), де k ≠ 0, є число

Зазначимо, що не будь-яка періодична функція має головний період. Наприклад, функція у = с, де с — деяке число, є періодичною. Очевидно, що будь-яке дійсне число, відмінне від нуля, є її періодом. Отже, ця функція не має головного періоду.

Теорема 19.5. Якщо Т — головний період функції f, тo будь- який період функції f має вигляд nТ, де n ∈ ℤ і n ≠ 0.

Доведення. Нехай Т1 — період, відмінний від указаних. Тоді можна підібрати таке ціле п і таке дійсне а є (0; 1), що Т1 = nТ + аТ.

Маємо:

f (х) = f (х + Т1) = f (х + nТ + аТ) = f (х + аТ),

f (х) = f (х - Т1) = f (х - nТ - аТ) = f (х - аТ).

Отже, аТ — період. Проте 0 < аТ < Т. Отримали суперечність (оскільки за умовою теореми Т — головний період).

ПРИКЛАД 1 Знайдіть значення виразу:

Розв’язання.

На рисунку 19.1 зображено графік деякої періодичної функції f з періодом Т, D (f) = ℝ.

Рис.19.1

Фрагменти графіка цієї функції на проміжках [0; Т], [Т; 2Т], [2Т; 3Т] і т. д., а також на проміжках [-Т; 0], [-2Т; -Т], [-3Т; -2Т] і т. д. є рівними фігурами, причому будь-яку із цих фігур можна отримати з будь-якої іншої паралельним перенесенням на вектор з координатами (nТ; 0), де n — деяке ціле число.

Узагалі, якщо проміжки [а; b] і [с; d] є такими, що с = а + Тn, d = b + Тn, n ∈ ℤ, то частини графіка функції f на цих проміжках є рівними фігурами (рис. 19.2).

Рис.19.2

ПРИКЛАД 2 Покажіть, що число Т = π є періодом функції

Розв’язання. Областю визначення функції f є множина значень змінної х, при яких cos х = 0, тобто

Тоді якщо х є D(f), то (х + ) є D(f) і (х - ) ∈ D(f).

Оскільки Е (f) = {0}, то f (х - ) = f (х) = f (х + ) = 0.

Означення. Додатні числа а і b називають сумірними

(спільномірними), якщо — раціональне число. Якщо ірраціональне число, то числа а і b є несумірними.

Наприклад, числа в парах 3 і 5, i є сумірними, а числа 1 і є несумірними.

Означення. Число Т, що є як періодом функції f, так і періодом функції g, називають спільним періодом функцій f i g.

Наприклад, число Т = 2 є спільним періодом функцій у = sin х і у = tg х.

Теорема 19.6. Якщо існують період Tf функції f і період Tg функції g такі, що числа Tf і Tg є сумірними, то функції f i g мають спільний період.

Доведення. Оскільки періоди Tf і Tg є сумірними, то

де m ∈ ℕ, n ∈ ℕвідси Tf ∙ n = Tg ∙ m. Тоді за наслідком з теореми 19.2 число Т = Tf ∙ n = Т ∙ m є періодом як функціїf, так і функції g.

Доведення цієї теореми показує, як можна знаходити спільний період двох функцій.

ПРИКЛАД 3 Знайдіть період функції

Розв’язання. Якщо ми знайдемо спільний період функцій то цим самим знайдемо період даної функції.

Скориставшись теоремою 19.3, запишемо:

Тоді

Отже, періоди Tf і Tg є сумірними, а тому функції

f i g мають спільний період Т. Він дорівнює 7Tf або 10Tg, тобто Т = .

Відповідь: .

?

1. Яку функцію називають періодичною?

2. Що таке період функції?

3. Що називають головним періодом функції?

4. Яке число є головним періодом функції у = sin х? у = cos х? у = tg х? у = ctg х?

BПРАВИ

19.1. Знайдіть значення виразу:

19.2. Знайдіть значення виразу:

19.3. Доведіть, що число Т є періодом функції f:

19.4. Доведіть, що числа і -4 є періодами функції f (х) = cos Зх.

19.5. Знайдіть головний період функції:

19.6. Знайдіть головний період функції:

19.7. Доведіть, що число π є періодом функції

19.8. Знайдіть головний період функції:

19.9. Знайдіть головний період функції

19.10. Доведіть, що функція не є періодичною.

19.11. Доведіть, що коли функція є зростаючою (спадною), то вона не є періодичною.

19.12. Знайдіть період функції:

19.13. Знайдіть період функції:

19.14. При яких значеннях параметра а число л є періодом функції

19.15. При яких значеннях параметра а число є періодом функції

19.16. Знайдіть усі раціональні значення параметра а, при яких функції мають спільний період.

19.17. Знайдіть усі раціональні значення параметра а, при яких функції мають спільний період.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

19.18. Парною чи непарною є функція:




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити