Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

20. Властивості та графіки функцій у = sin х і у = cos х

Періодичність тригонометричних функцій дає змогу досліджувати їхні властивості та будувати графіки за такою схемою.

1) Розглянути проміжок виду [а; а + Т], тобто довільний проміжок завдовжки в період Т (найчастіше вибирають проміжок [0; Т] або проміжок

2) Дослідити властивості функції на вибраному проміжку.

3) Побудувати графік функції на цьому проміжку.

4) Здійснити паралельне перенесення отриманої фігури на вектори з координатами (nТ; 0), n ∈ ℤ.

Розглянемо функцію у = sin х на проміжку [0; 2], тобто на проміжку завдовжки в період цієї функції.

Під час повороту точки Р0(1; 0) навколо початку координат на кути від 0 до ордината точки одиничного кола збільшується від 0 до 1 (рис. 20.1). Це означає, що функція у = sin х зростає на проміжку

Під час повороту точки Р0(1; 0) на кути від до ордината точки одиничного кола зменшується від 1 до -1 (рис. 20.1). Отже, функція у = sin х спадає на проміжку

Під час повороту точки Р0(1; 0) на кути від до 2 ордината точки одиничного кола збільшується від -1 до 0 (рис. 20.1).

Таким чином, функція у = sin х зростає на проміжку

Функція у = sin х на проміжку [0; 2] має три нулі: х = 0, х = , х = 2.

Якщо х ∈ (0; ), то sin х > 0; якщо х ∈ (; 2), то sin х < 0. Функція у = sin х на проміжку [0; 2] досягає найбільшого значення, яке дорівнює 1, при х = і найменшого значення, яке дорівнює -1, при x = .

Функція у = sin х на проміжку [0; 2] набуває всіх значень із проміжку [-1; 1].

Отримані властивості функції у = sin х дають змогу побудувати її графік на проміжку [0; 2] (рис. 20.2). Графік можна побудувати точніше, якщо скористатися даними таблиці значень тригонометричних функцій деяких аргументів, наведеної на форзаці 4.

Рис. 20.1

Рис. 20.2

На всій області визначення графік функції у = sin х можна отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних перенесень на вектори з координатами (2n; 0), n ∈ ℤ (рис. 20.3).

Рис. 20.3

Графік функції у = sin х називають синусоїдою.

У п. 18 було встановлено, що для будь-якого а ∈ ℝ. виконується рівність sin (-а) = -sin а. Це означає, що функція синус є непарною.

Розглянемо функцію у = cos х на проміжку [0; 2], тобто на проміжку завдовжки в період цієї функції.

Розглядаючи повороти точки Р0(1; 0) навколо початку координат, можна дійти таких висновків.

Функція у = cos х спадає на проміжку [0; я] і зростає на проміжку [; 2].

Функція у = cos х на проміжку [0; 2] має два нулі:

Якщо то cos х > 0; якщо то cos х < 0.

Функція у = cos х на проміжку [0; 2] досягає найбільшого значення, яке дорівнює 1, при х = 0 або х = 2 і найменшого значення, яке дорівнює -1, при х = .

Функція у = cos х на проміжку [0; 2] набуває всіх значень із проміжку [-1; 1].

Графік функції у = cos х на проміжку [0; 2] зображено на рисунку 20.4.

Рис. 20.4

На всій області визначення графік функції у = cos х можна отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних перенесень на вектори з координатами (2n; 0), n ∈ ℤ (рис. 20.5).

Рис. 20.5

Графік функції у = cos х називають косинусоїдою.

У п. 18 було встановлено, що для будь-якого а ∈ ℝ виконується рівність cos (-а) = cos а. Це означає, що функція косинус є парною.

Якщо скористатися формулою cos (див. приклад 2 п. 17), то стає зрозуміло, що графік функції у = cos х можна отримати як результат паралельного перенесення графіка функції у = sin х на вектор з координатами (рис. 20.6). Це означає, що графіки функцій у = sin х і у = cos х є рівними фігурами.

Рис. 20.6

У таблиці наведено основні властивості функцій у = sin х і у = cos х.

ПРИКЛАД 1 Порівняйте sin 40° і cos 40°.

Розв’язання

Оскільки а то cos 40° > sin 40°.

ПРИКЛАД 2 Чи можлива рівність sin а = 2 sin 31°?

Розв’язання

Оскільки sin 31° > sin 30° = , то 2 sin 31° > 1. Отже, дана рівність неможлива.

ПРИКЛАД 3 Побудуйте графік функції

Розв’язання. Проведемо такі перетворення:

1) у = sin х у = sin | x | — симетрія відносно осі ординат частини графіка, яка лежить у півплощині х > 0;

2) у = sin | х | у = sin | 2х | — стискання до осі ординат у 2 рази;

3) — паралельне перенесення вздовж осі абсцис управо на одиниць (рис. 20.7).

Рис. 20.7

ПРИКЛАД 4 Побудуйте графік рівняння cos х + cos у = 2.

Розв’язання. Оскільки | cos x | ≤ 1 і | cos у | ≤ 1, то дане рівняння рівносильне системі

Звідси

Рис. 20.8

Шуканий графік — це множина точок, зображених на рисунку 20.8.

?

1. Назвіть властивості функції у = sin х; у = cos х.

2. Як називають графік функції у = sin х? у = cos х?

3. Чому графіки функцій у = sin х і у = cos х є рівними фігурами?

ВПРАВИ

20.1. На яких із наведених проміжків функція y = sin х зростає:

20.2. Які з наведених проміжків є проміжками спадання функції у = cos х:

20.3. Порівняйте значення тригонометричних функцій:

20.4. Порівняйте значення тригонометричних функцій:

20.5. Дослідіть на парність функцію:

20.6. Дослідіть на парність функцію:

20.7. Побудуйте графік функції:

20.8. Побудуйте графік функції:

20.9. Побудуйте графік функції

20.10. Побудуйте графік функції

20.11. Побудуйте графік функції

20.12. Побудуйте графік функції

20.13. Побудуйте графік функції:

20.14. Побудуйте графік функції:

20.15. Чи є можливою рівність:

20.16. Побудуйте графік функції:

20.17. Побудуйте графік функції:

20.18. Побудуйте графік функції:

20.19. Побудуйте графік функції:

20.20. Побудуйте графік рівняння:

1) sin 2 + у2) = 0; 2) sin х + sin у = 2.

20.21. Побудуйте графік рівняння:

1) cos 22) = 1; 2) cos х + cos у = -2.

20.22. Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння має рівно 8 коренів.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

20.23. Розв’яжіть нерівність:

20.24. Знайдіть значення виразу:






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.