Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

21. Властивості та графіки функцій y =" tg x і у = ctg х

Розглянемо функцію у = tg х на проміжку тобто на проміжку завдовжки в період цієї функції (нагадаємо, що функція у = tg х у точках не визначена).

З рисунка 21.1 видно, що зі зміною кута повороту х від - до значення тангенса збільшуються. Це означає, що функція у = tg х зростає на проміжку

Рис. 21.1

Рис. 21.2

Також з рисунка 21.1 видно, що функція у = tg х на проміжку набуває всіх значень із проміжку (-∞; +∞).

Функція у = tg х на проміжку має один нуль: х = 0.

Якщо то tg х < 0; якщо то tg х > 0.

Отримані властивості функції у = tg х дають змогу побудувати її графік на проміжку (рис. 21.2). Графік можна побудувати точніше, якщо скористатися даними таблиці значень тригонометричних функцій деяких кутів, наведеної на форзаці 4.

На всій області визначення графік функції у = tg х можна отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних перенесень на вектори з координатами ( n; 0), n ∈ ℤ (рис. 21.3).

Рис. 21.3

Розглянемо функцію у = ctg х на проміжку (0; ), тобто на проміжку завдовжки в період (нагадаємо, що функція у = ctg х не визначена в точках 0 і ).

З рисунка 21.4 видно, що зі зміною кута повороту х від 0 до я значення котангенса зменшуються. Це означає, що функція у = ctg х спадає на проміжку (0; ).

Рис. 21.4

Рис. 21.5

Також з рисунка 21.4 видно, що функція у = ctg х на проміжку (0; ) набуває всіх значень із проміжку (-∞; +∞).

Функція у = ctg х на проміжку (0: ) має один нуль: х = .

Якщо то ctg х > 0; якщо то ctg х < 0.

Графік функції у = ctg х на проміжку (0; ) зображено на рисунку 21.5.

На всій області визначення графік функції у = ctg х можна отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних перенесень на вектори з координатами ( n; 0), n ∈ ℤ (рис. 21.6).

Рис. 21.6

Області визначення кожної з функцій у = tg х і у = ctg х є симетричними відносно початку координат (перевірте це самостійно). Крім того, у п. 18 було доведено рівності:

tg (-а) = -tg а;

ctg (-а) = -ctg а.

Отже, функції тангенс і котангенс — непарні.

У таблиці наведено основні властивості функцій у = tg х і у- ctg х.

Означення. Функцію f називають обмеженою, якщо існує число М таке, що для будь-якого х ∈ D (f) виконується нерівність | f (х) | ≤ М.

Зрозуміло, що функції у = sin x і у = cos х є обмеженими, а функції у = tg x і у = ctg х не є обмеженими.

ПРИКЛАД Побудуйте графік функції у = | ctg х | tg х.

Розв’язання. Областю визначення даної функції є всі дійсні числа, крім чисел виду , n ∈ Z, тобто

Якщо k < х < + k, k ∈ ℤ то ctg х > 0 і у = 1.

Якщо + k < х < + k, k ∈ ℤ, то ctg х < 0 і у = -1.

Шуканий графік складається з окремих відрізків з «виколотими» кінцями (рис. 21.7).

Рис. 21.7

?

Сформулюйте властивості функції у = tg х; у = ctg х.

ВПРАВИ

21.1. Порівняйте значення тригонометричних функцій:

1) tg (-38°) і tg (-42°); 4)tg 1 і tg 1,5;

2) tg 130° і tg 150°; 5) ctg (-40°) і ctg (-60°);

3) tg 0,9п і tg 1,2я; 6) ctg 2 і ctg 3.

21.2. Порівняйте значення тригонометричних функцій:

21.3. Дослідіть на парність функцію

21.4. Дослідіть на парність функцію

21.5. Побудуйте графік функції:

21.6. Побудуйте графік функції:

21.7. Побудуйте графік функції:

21.8. Побудуйте графік функції:

21.9. Чи є можливою рівність:

21.10. Побудуйте графік функції:

21.11.’* Побудуйте графік функції:

21.12. Побудуйте графік рівняння:

1) tg х tg у = 0; 2) tg2x + tg2 у = 0.

21.13. Побудуйте графік рівняння:

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

21.14. Доведіть, що функція:

21.15. Знайдіть значення виразу:






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.