Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§1 ПОВТОРЕННЯ ТА РОЗШИРЕННЯ ВІДОМОСТЕЙ ПРО МНОЖИНИ ТА ФУНКЦІЇ

1. Множини. Операції над множинами

2. Функція та її властивості

3. Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень

4. Обернена функція

5. Метод інтервалів

6. Ділення многочленів. Теорема Безу

7. Метод математичної індукції

• У цьому параграфі ви повторите основні відомості про множини та функції, рівняння та нерівності; дізнаєтеся, яку функцію називають оборотною, які функції називають взаємно оберненими.

• Ознайомитеся з новими методами побудови графіків функцій за допомогою перетворень.

1. Множини. Операції над множинами

З поняттям множини ви ознайомилися в курсі алгебри 8 класу. Нагадаємо й уточнимо основні відомості.

Часто в повсякденному житті об’єднані за деякою ознакою об’єкти ми називаємо групою, об’єднанням, колекцією, сукупністю тощо. Для цих слів у математиці існує синонім — множина.

Наведемо кілька прикладів множин:

• множина літер української мови;

• множина областей України.

Окремим найважливішим множинам присвоєно загальноприйняті назви та позначення:

• множина точок площини — геометрична фігура;

• множина натуральних чисел, яку позначають буквою ℕ;

• множина цілих чисел, яку позначають буквою ℤ;

• множина раціональних чисел, яку позначають буквою ℚ;

• множина дійсних чисел, яку позначають буквою ℝ.

Якщо елемент а належить множині А, то записують: а є А (читають: «а належить множині А»). Якщо елемент b не належить множині А, то записують: b ∉ А (читають: «b не належить множині А»).

Наприклад,

Найчастіше множину задають одним із двох таких способів.

Перший спосіб полягає в тому, що множину задають указаниям (переліком) усіх її елементів. Наприклад, якщо М — множина натуральних чисел, які менші від 5, то записують: М = {1, 2, 3, 4}.

Другий спосіб полягає в тому, що вказують характеристичну властивість елементів множини, тобто властивість, яку мають усі елементи даної множини й тільки вони.

Якщо х — довільний елемент множини А, яку задано за допомогою характеристичної властивості її елементів, то записують: А = {х | ... }. Тут після вертикальної риси вказують умову, яку має задовольняти елемент х, щоб належати множині А.

Розглянемо кілька прикладів.

— множина натуральних чисел, кратних 3.

— множина коренів рівняння х (х2 - 1) = 0.

Означення. Множину В називають підмножиною множини А, якщо кожний елемент множини В є елементом множини А.

Це записують так: B ⊂ А або А ⊃ В (читають: «множина В — підмножина множини А» або «множина А містить множину B»). Розглянемо приклади:

Для ілюстрації співвідношень між множинами користуються схемами, які називають діаграмами Ейлера.

На рисунку 1.1 зображено множину А (більший круг) і множину В (менший круг, який міститься в більшому). Ця схема означає, що B ⊂ А.

На рисунку 1.2 за допомогою діаграм Ейлера показано співвідношення між множинами ℕ, ℤ? ℚ i ℝ.

Рис. 1 .1

Рис. 1.2

Зауважимо, що коли А ⊂ В і В ⊂ А, то А = B.

Означення. Множину, яка не містить жодного елемента, називають порожньою множиною та позначають ∅.

Порожню множину вважають підмножиною будь-якої множини, тобто для будь-якої множини А справедливим є твердження: ∅ ⊂ А.

Будь-яка множина А є підмножиною самої себе, тобто А ⊂ А.

Означення. Якщо В ⊂ A і В ≠ A, то множину В називають власного підмножиною множини А.

Наприклад, множина ℤ є власного підмножиною множини ℚ.

Означення. Перерізом множин А і В називають множину, яка складається з усіх елементів, що належать і множині А, і множині В.

Переріз множин А і В позначають так: А ⋂ В. З означення випливає, що

А ⋂ В = {х | х ∈ А і х ∈ В}.

Якщо множини А і Б не мають спільних елементів, то їхнім перерізом є порожня множина, тобто А ⋂ В = ∅. Також зазначимо, що А ⋂ ∅ = ∅.

З означення перерізу двох множин випливає, що коли А ⊂ B, то А ⋂ В = А, зокрема, якщо В = А, то А ⋂ А = А.

Наприклад, ℚ ⋂ ℕ = ℕ, ℤ ⋂ ℝ = ℤ.

Переріз множин зручно ілюструвати за допомогою діаграм Ейлера. На рисунку 1.3 заштрихована фігура зображує множину А ⋂ В.

Рис. 1.3

Означення. Об’єднанням множин А і В називають множину, яка складається з усіх елементів, що належать хоча б одній із цих множин: або множині А, або множині В.

Об’єднання множин А і Б позначають так: A U B. З означення випливає, що

A U B = {х|х ∈ А або х ∈ B}.

Зауважимо, що для будь-якої множини А виконується рівність A U 0 = А.

З означення об’єднання двох множин випливає, що коли A ⊂ B, то A U B = B, зокрема, якщо B = А, то A U А = А.

Об’єднання множин зручно ілюструвати за допомогою діаграм Ейлера. На рисунку 1.4 заштрихована фігура зображує множину A U B.

Рис. 1.4

Часто доводиться розглядати переріз та об’єднання трьох і більше множин.

Наприклад, переріз множин А, B і С — це множина всіх елементів, які належать і множині А, і множині B, і множині С (рис. 1.5).

Рис. 1.5

Рис. 1.6

Об’єднання множин А, В і С — це множина всіх елементів, які належать хоча б одній із цих множин: або множині А, або множині В, або множині С (рис. 1.6).

Наприклад, об’єднання множин гострокутних, тупокутних і прямокутних трикутників — це множина всіх трикутників.

Якщо з множини ℤ вилучити множину ℕ, то отримаємо множину цілих недодатних чисел. Вона складається з усіх елементів множини ℤ, які не належать множині ℕ. Говорять, що множина цілих недодатних чисел є різницею множин ℤ і ℕ.

Означення. Різницею множин А і В називають множину, що складається з усіх елементів, які належать множині А, але не належать множині В.

Різницю множин А і В позначають так: А \ В. З означення випливає, що

А\В = {х|х ∈ А | х ∉ В).

Зауважимо, що для будь-якої множини А виконується рівність А \ ∅ =А.

З означення різниці двох множин випливає, що коли А а B, то А \ B = ∅, зокрема, якщо В = А, то А \А = ∅.

Різницю множин зручно ілюструвати за допомогою діаграм Ейлера. На рисунку 1.7 заштрихована фігура зображує множину А \ В.

Рис. 1.7

У випадку, коли множина В є підмножиною множини А, різницю А\В називають доповненням множини В до множини А. На рисунку 1.7, б цю множину зображено штриховкою. Наприклад, доповненням множини непарних чисел до множини натуральних чисел є множина парних чисел.

?

1. Як позначають множини натуральних, цілих, раціональних і дійсних чисел?

2. Які існують способи задания множин?

3. Яку множину називають підмножиною даної множини?

4. Як наочно ілюструють співвідношення між множинами?

5. Що називають перерізом двох множин? об'єднанням двох множин? різницею двох множин? доповненням множини?

ВПРАВИ

1.1. Нехай А ≠ ∅. Які дві різні підмножини завжди має множина А?

1.2. Чи є рівними множини А і Б:

1) А = {1, 2}, В = {2, 1};

2) А = {(0; 1)}, В = {(1;0)};

3) А = {х | х ∈ ℕ, х кратне 2 і 3}, и = {х | х ∈ ℕ, х кратне 6}?

1.3. Чи є рівними множини А і В:

1) А = {1}, В = {{1}};

2) А = {х | х ≤ 3, х ∈ ℤ}, В = {х І х < 4, х ∈ ℤ};

3) А = {х | х ∈ ℕ, х ≤ 15, х = 19k, k ∈ ℤ}, B = {х | х ∈ ℕ, 3 < х < 4}?

1.4. Які з наведених множин дорівнюють порожній множині:

1) А = {х | х ≠ х}; 3) С = {х | х ∈ ℤ, | х | < 1}?

2) В = {х | х ∈ ℤ, х - 4 = 0};

1.5. Які з наведених тверджень є правильними:

1) {а} ∈ {а, b}; 2) {а} ⊂ {а, b}; 3 )а ⊂ {а, b}; 4) {а, b} ∈ {а, b}?

1.6. Доведіть, що коли А ⊂ В і В ⊂ С, то A ⊂ С.

1.7. Запишіть за допомогою символу cz співвідношення між множинами:

А = {х | х = 2n, n ∈ ℕ}; С = {х | х = 10n, n ∈ ℕ};

В = {х | х = 50n, n ∈ ℕ}; D = {х | х = 5n, n ∈ ℕ}.

1.8. Яка з множин — А або В — є підмножиною другої, якщо А = {х | х = 4n + 2, n ∈ ℕ, В = { х| х = 8n + 2, n ∈ ℕ?

1.9. Дано множини {7}, {11}, {19}, {7, 11}, {7, 19}, {11, 19}, 0, які є всіма власними підмножинами деякої множини А. Запишіть множину А.

1.10. Назвіть усі підмножини множини {1, 2}.

1.11. Які з наведених тверджень є правильними:

1) {а, b} ⋂ {а} = а; 3) {а, b} ⋂ {а} = {а};

2) {а, b} ⋂ {а} = {а, b}; 4) {а, b} ⋂ {а} = {b}?

1.12. Які з наведених тверджень є правильними:

1) {a, b} U {b} = {а, b}; 3) {а, b} U {а} = {а};

2) {a, b} U {b} = {b}; 4) {а, b} U {b} = {{b}}?

1.13. Знайдіть переріз множин А і В, якщо:

1) А = {х | х < 19}, В = {х | х ∈ ℕ, х > 11};

2) А = {х | х = 4n, n ∈ ℕ}, В = {х | х = 6n, n ∈ ℕ;

3) А = {(х, у) | 2х - у = 1}, В = {(х, у) | х + у = b).

1.14. Знайдіть об’єднання множин А і В, якщо:

1) А = {х | х2 - 1 = 0}, В = {х | (х - 1)(х - 2) = 0};

2) А = {х | 2х + 3 = 0}, В = {х | х2 + 3 = 2};

3) А = {х | х ∈ ℕ, х < 5}, В = {х | х ∈ ℕ, х < 7}.

1.15. Які з наведених тверджень є правильними:

1) {а, b} \ {а} = а; 3) {а, b} \ {а} = {а};

2) {а, b} \ {а} = {а, b}; 4) {а, b} \ {а} = {b} ?

1.16. Знайдіть різницю множин А і В, якщо:

1) А = N, В = {х | х = 2n, n ∈ ℕ};

2) А — множина одноцифрових чисел, В — множина простих чисел;

3) А — множина рівносторонніх трикутників, В — множина рівнобедрених трикутників;

4) А — множина рівнобедрених трикутників, В — множина рівносторонніх трикутників.

1.17. Нехай А — множина цифр десяткової системи числення, В — множина, що складається із цифр 1, 3 і 5. Укажіть множину, яка є доповненням множини В до множини А.

1.18. Відомо, що для будь-якої множини В множина А є її підмножиною. Знайдіть множину А.

1.19. Відомо, що для будь-якої множини В виконується рівність А ⋂ В = А. Знайдіть множину А.

1.20. Відомо, що для будь-якої множини В виконується рівність А U В = В. Знайдіть множину А.

1.21. Знайдіть підмножини А і В множини С такі, що для будь-якої підмножини X множини С виконується рівність X ⋂ А = X U В.

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

1.22. При яких значеннях змінної має зміст вираз:






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.