Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§4. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВН0СТІ

31. Тригонометричні рівняння, які зводяться до алгебраїчних

У пунктах 27-29 ми отримали формули для розв’язування рівнянь виду cos х = a, sin х = a, tg х = a, ctg х = а. Ці рівняння називають найпростішими тригонометричними рівняннями. За допомогою різних прийомів і методів багато тригонометричних рівнянь можна звести до найпростіших.

У цьому пункті розглянемо рівняння, які можна звести до найпростіших, увівши нову змінну та розв’язавши отримане алгебраїчне рівняння.

ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння 2sin2 x + cos 4x - 2 = 0.

Розв’язання. Можна записати: 1 - cos2x + 2cos2 2х - 1 - 2 = 0. Звідси 2 cos2 2x – cos 2x - 2 = 0. Зробимо заміну cos 2х = t. Тоді останнє рівняння набуває вигляду 2t2 - t - 2 = 0. Розв’язавши його, отримуємо:

Оскільки

то початкове рівняння рівносильне рівнянню звідси

Відповідь:

ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння cos x + sin x + sin x cos x = 1. Розв’язання. Нехай cos х + sin х = t. Тоді sin2 х + 2 sin х cos х + cos2 x = t2;

Дане в умові рівняння набуває вигляду

Звідси t2 + 2t - 3 = 0; t1 =-3, t2= 1.

З урахуванням заміни отримуємо сукупність рівнянь

Оскільки | cos x | ≤ 1 | | sin x | ≤ 1, то перше рівняння сукупності коренів не має.

Залишається розв’язати рівняння cos x + sin х = 1. Маємо:

Відповідь:

Означення. Рівняння виду

а0 sinn х + ахsinn-1 х cos х + ... + аn-1 sin х cosn-1 х + аn cosn х = 0, де а0, а1, ..., аn — дійсні числа, які одночасно не дорівнюють нулю, n ∈ ℕ, називають однорідним тригонометричним рівнянням n-го степеня відносно sin х і cos x.

З означення випливає, що суми показників степенів при sin х і cos х усіх доданків однорідного тригонометричного рівняння є рівними.

Наприклад, рівняння 2 sin х - 3 cos х = 0 — однорідне тригонометричне рівняння першого степеня, а рівняння sin2 x - 5 sin x cos x + 2 cos2x = 0 і 2 sin2 x - cos2 x = 0 — однорідні тригонометричні рівняння другого степеня.

Для однорідних рівнянь існує ефективний метод розв’язування. Ознайомимося з ним на прикладах.

ПРИКЛАД З Розв’яжіть рівняння

7 sin2 х - 8 sin х cos х - 15 cos2 х = 0.

Розв’язання. Якщо cos х = 0, то з даного рівняння випливає, що sin х = 0. Але sin х і cos х не можуть одночасно дорівнювати нулю, оскільки має місце рівність sin2x + cos2x = 1. Отже, множина коренів даного рівняння складається з таких чисел х, при яких cos х ≠ 0.

Поділивши обидві частини даного рівняння на cos2x, отримаємо рівносильне рівняння:

Звідси

Відповідь:

ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння 3 sin2 х + sin 2х = 2.

Розв’язання. Це рівняння не є однорідним. Проте його можна легко звести до однорідного:

З sin2 х + 2 sin х cos х = 2 (sin2 x + cos2 x).

Звідси

sin2 x + 2 sin x cos x - 2 cos2 x = 0.

Отримали однорідне рівняння. Далі, діючи, як у попередньому прикладі, перейдемо до квадратного рівняння відносно tg х:

tg2x + 2tgx - 2 = 0.

Завершіть розв’язування самостійно.

Відповідь:

ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть рівняння 2 sin х - 3 cos х = 2.

Розв’язання. Скористаємося формулами подвійного аргументу та основною тригонометричною тотожністю:

Завершіть розв’язування самостійно.

Відповідь: + 2n, -2 arctg 5 + 2n, n ∈ ℤ.

Рівняння прикладу 5 є окремим випадком рівняння виду

a sin x + b cos х = с, (1)

де а, b, с — деякі числа, відмінні від нуля.

Під час розв’язування рівнянь виду (1), крім методу, розглянутого в прикладі 5, можна використовувати такий прийом. Перепишемо рівняння (1) у вигляді

Оскільки

то точка

належить одиничному колу. Отже, існує такий кут , що

Тепер рівняння набуває вигляду

Звідси

Таким чином, отримали найпростіше тригонометричне рівняння.

ПРИКЛАД 6 При яких значеннях параметра а рівняння має на проміжку рівно: 1) два корені; 2) три корені?

Розв’язання. Розглянемо дане рівняння як квадратне відносно sin 3х. Розв'язуючи його, отримаємо рівносильну сукупність рівнянь

Перше рівняння сукупності має на проміжку рівно два корені. У цьому можна переконатися, знайшовши ці корені або використовуючи графічну інтерпретацію рівняння (рис. 31.1). Отже, для задачі 1) треба, щоб друге рівняння сукупності не давало нових коренів на проміжку

Рис. 31.1

При а = очевидно, що корені рівнянь сукупності збігаються.

При а > 1 або а < 0 рівняння sin 3х = а не має коренів на проміжку

У цьому знов-таки можна переконатися, наприклад, використовуючи графічну інтерпретацію (рис. 31.1).

Для задачі 2) друге рівняння сукупності на розглядуваному проміжку повинно додавати до множини всіх коренів тільки один корінь. Зрозуміло, що це буде виконуватися тільки при а = 1.

Відповідь: 1) а > 1, або а < 0, або а = ; 2) а = 1.

ВПРАВИ

31.1. Розв’яжіть рівняння:

31.2. Розв’яжіть рівняння:

31.3. Розв’яжіть рівняння:

31.4. Розв’яжіть рівняння:

31.5. Розв’яжіть систему рівнянь:

31.6. Розв’яжіть систему рівнянь:

31.7. Розв’яжіть рівняння:

1) sin2 х + 0,5 sin 2х - 2 cos2 х = 0;

2) 5 cos2 х - 3 sin2 х - sin 2х = 2;

3) 3 sin2х + sin х cos x + 4 cos2 x = 3;

4) 3 sin x cos x + cos2 x = 1.

31.8. Розв’яжіть рівняння:

1) sin2 x + 3cos2 x - 2sin2x = 0;

2) 2 cos2 x + sin 2x-2 = 0.

31.9. Розв’яжіть рівняння:

1) 4 cos x sin x = tg x + ctg x;

2) 3 cos x + 2 tg x = 0;

3) 3 + 5 cos x = sin4 x - cos4 x;

4) cos2x - 9cosx + 6 = 4sin2 .

31.10. Розв’яжіть рівняння:

1) 4 ctg x - 5 sin x = 0;

2) 4 sin2 2x + 7 cos 2x - 2 sin2 x = 6;

3) 7 + 2 sin 2x + 1,5 (tg x + ctg x) = 0;

4) 2 cos 4x - 2 cos2 x = 3 cos 2x.

31.11. Розв’яжіть рівняння:

31.12. Розв’яжіть рівняння

31.13. Розв’яжіть рівняння:

1) 3 sin х - 8 cos х = 3; 2) 2 sin х - 5 cos х = 3.

31.14. Розв’яжіть рівняння:

31.15. Розв’яжіть рівняння:

31.16. Розв’яжіть рівняння:

31.17. Розв’яжіть рівняння:

1) tg4 x + ctg4 x + tg2 x + ctg2 x = 4;

2) 18 cos2 x + 5 (3 cos x + cos-1 x) + 2 cos-2 x + 5 = 0.

31.18. Розв’яжіть рівняння:

31.19. Розв’яжіть рівняння:

1) cos 3х + 2 cos х = 0; 2) sin 6x + 2 = 2 cos 4x.

31.20. Розв’яжіть рівняння:

31.21. Розв’яжіть рівняння:

1) 3 cos х + 3 sin х + sin 3х - cos 3х = 0;

2) cos 4х = cos2 3х;

3) sin3 х sin 3х + cos3 x cos 3х = cos3 4x.

31.22. Розв’яжіть рівняння:

31.23. Розв’яжіть рівняння:

31.24. Розв’яжіть рівняння:

31.25. Розв’яжіть рівняння 2 sin 2х = 3 (sin х + cos х).

31.26. Розв’яжіть рівняння sin 2х + 5 (sin х + cos х) = 0.

31.27. Розв’яжіть рівняння:

31.28. Розв’яжіть рівняння sin x + cos x = 1 + sin x cos x.

31.29. При яких додатних значеннях параметра а проміжок [0; а] містить рівно три корені рівняння:

31.30. Визначте, при яких додатних значеннях параметра а проміжок [0; а] містить рівно п коренів рівняння:

1) 2 sin2х + sinx = 0, n = 4; 2) 2 cos2 x + cos x = 0, n = 3.

31.31. Визначте, при яких значеннях параметра а рівняння має на проміжку

1) два корені; 2) три корені; 3) не менше трьох коренів.

31.32. Визначте, при яких значеннях параметра а рівняння має на проміжку

1) два корені; 2) три корені; 3) не менше трьох коренів.

31.33. При яких значеннях параметра а рівняння sin х = 2 sin2 х і sin 3х = (а + 1) sin х - 2 (а - 1) sin2 х рівносильні?

31.34. При яких значеннях параметра а рівняння sin 2х + а = sin х + 2а cos х і 2 cos 2х + а2 = 5а cos х-2 рівносильні?

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

31.35. Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної:

31.36. Дано функції f(х) = х16 і g (х) = х17. Розташуйте в порядку зростання f(-5), f(2), g (1) і g (-1).






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.