Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§1 ПОВТОРЕННЯ ТА РОЗШИРЕННЯ ВІДОМОСТЕЙ ПРО МНОЖИНИ ТА ФУНКЦІЇ

2. Функція та її властивості

З поняттям функції та з деякими її властивостями ви ознайомились у курсі алгебри 7-9 класів.

Нехай X — множина значень незалежної змінної, Y — множина значень залежної змінної. Функція — це правило, за допомогою якого за кожним значенням незалежної змінної з множини X можна знайти єдине значення залежної змінної з множини Y.

Іншими словами: функція — це правило, яке кожному елементу множини X ставить у відповідність єдиний елемент множини Y.

Якщо розглядають функцію f із незалежною змінною х і залежною змінною у, то говорять, що змінна у функціонально залежить від змінної х. У такому випадку записують: y = f(x).

Незалежну змінну ще називають аргументом функції.

Множину всіх значень, яких набуває аргумент, тобто множину X, називають областю визначення функції та позначають D(f) або D(y).

Множину всіх значень, яких набуває залежна змінна, тобто множину Y, називають областю значень функції та позначають E(f) або Е(у).

Функцію можна задати одним із таких способів:

• описово;

• за допомогою формули;

• за допомогою таблиці;

• графічно.

Найчастіше функцію задають за допомогою формули. Якщо при цьому не вказано область визначення, то вважають, що областю визначення функції є множина значень аргументу, при яких формула має зміст.

Наприклад, якщо функцію задано формулою то її областю визначення є область визначення виразу тобто проміжок (1; +∞).

ПРИКЛАД 1 Знайдіть область значень функції

Розв’язання. Нехай а — довільний елемент області значень даної функції, тобто а є Е (у). Тоді задача зводиться до знаходження всіх значень параметра а, при яких рівняння

має розв’язки.

Це рівняння рівносильне такому:

2х = а + ах2, звідки ах2 - 2х + а = 0.

Якщо а = 0, то отримане рівняння має корінь х = 0. Отже, число 0 входить в область значень функції.

Якщо а ≠ 0, то це рівняння є квадратним, і наявність коренів визначається умовою D > 0.

Маємо: D = 4 - 4а2. Залишається розв’язати нерівність 4 - 4а2 > 0.

Отримуємо: 4а2≤ 4; а2≤ 1; | а | ≤ 1.

Множиною розв’язків останньої нерівності є проміжок [-1; 1].

Отже, Е(у) = [-1; 1].

У курсі алгебри 9 класу для дослідження функції ви користувалися такими поняттями, як нулі функції, проміжки знакосталості, проміжки зростання і спадання.

Наприклад, для функції у = х2 + 2х, графік якої зображено на рисунку 2.1, маємо:

• нулі — числа -2 і 0;

• проміжки знакосталості — функція набуває додатних значень на кожному з проміжків (-∞; -2) і (0; +∞), а від’ємних значень — на проміжку (-2; 0);

• функція спадає на проміжку (-∞; -1] і зростає на проміжку [-1; -∞).

Наведений вище перелік аж ніяк не вичерпує тих властивостей, які доцільно вивчати під час дослідження функції. Розглянемо нові поняття, які допомагають повніше охарактеризувати функцію.

Рис. 2.1

Означення. Число f(x0) називають найбільшим значенням функції f на множині М D(f), якщо існує таке число х0 М, що для всіх х М виконується нерівність f (х0) > f(x).

Позначають: max f (х) = f (хп).

м

Означення. Число /(х0) називають найменшим значенням функції f на множині М D(f), якщо існує таке число х0 М, що для всіх х є М виконується нерівність f (х0) < f(x).

Позначають: min f (х) = f(хп).

м

Розглянемо кілька прикладів.

Для f (х) і множини М = [0; 4] (рис. 2.2) маємо:

Рис. 2.2

Рис. 2.3

Для f (х) = | х | і множини М = [-1; 2] (рис. 2.3) маємо:

Якщо с — деяке число і f (х) = с для будь-якого x ∈ М, то число с є і найбільшим, і найменшим значеннями функції f на множині М.

Якщо множина М — це область визначення функції, то, записуючи найбільше і найменше значення функції, множину М можна не вказувати.

Не будь-яка функція на заданій множині М має найменше або найбільше значення. Так, для функції f (х) = х2 маємо min х2 = 0. Найбільшого значення на множині ℝ. ця функція не має (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Рис. 2.5

Функція f (х) = на множині М = (0; +∞) не має ні найбільшого, ні найменшого значень (рис. 2.5).

Часто для знаходження найбільшого і найменшого значень функції зручно користуватися такими очевидними фактами:

якщо функція f зростає на проміжку [а; b], то (рис. 2.6);

якщо функція f спадає на проміжку [а; b], то (рис. 2.7).

Рис. 2.6

Рис. 2.7

Означення. Функцію f називають парною, якщо для будь- якого х із області визначення виконується рівність f (-x) = f (х).

Означення. Функцію f називають непарною, якщо для будь- якого х із області визначення виконується рівність f (-x) = -f (x).

Наприклад, функція f (х) = х2 — парна, а функція g(x) = х3 — непарна. Справді, D (f) = ℝ, D (g) = ℝ. Для будь-якого х ∈ ℝ. виконуються рівності f (-х) = (-х)2 = х2 = f (х) і g(-x) = (-х)3= -х3 = -g(x).

Очевидно, що функція у = 0, у якої D (у) = М, одночасно є і парною, і непарною.

Виконання рівності f (-х) = f (х) або рівності f (-х) = - f (х) для будь-якого х є D(f) означає, що область визначення функції f має таку властивість: якщо х0 ∈ D(f), то -х0∈ D(f). Таку область визначення функції називають симетричною відносно початку координат.

З наведених означень випливає, що коли область визначення функції не є симетричною відносно початку координат, то ця функція не може бути парною (непарною).

Наприклад, областю визначення функції y = є множина (-∞; 1) ⋃ (1; -∞), яка не є симетричною відносно початку координат. Таким чином, ця функція не є ні парною, ні непарною.

ПРИКЛАД 2 Доведіть, що функція f (х) = х3 - х є непарною.

Розв’язання. Оскільки D(f) = М, то область визначення функції f є симетричною відносно початку координат.

Для будь-якого х є D(f) маємо: f (-х) = (-х)3 - (-х)= -х3 + x = -f (х). Отже, функція f є непарною.

ПРИКЛАД 3 Дослідіть на парність функцію

Розв’язання. Маємо: D(f) = (-∞; -1) U (-1; 1) U (1; +∞). Отже, область визначення функції f симетрична відносно початку координат.

Для будь-якого х є D(f) маємо:

Таким чином, функція f є парною.

Теорема 2.1. Вісь ординат є віссю симетрії графіка парної функції.

Доведення. Для доведення теореми достатньо показати, що коли точка М (а; b) належить графіку парної функції, то точка M1 (-а; b) також належить її графіку.

Якщо точка М (а; b) належить графіку функції f, то f (а) = b. Оскільки функція f є парною, то f (-а) = f (а) = b. Це означає, що точка М1 (-а; b) також належить графіку функції f (рис. 2.8).

Рис. 2.8

Рис. 2.9

Теорема 2.2. Початок координат є центром симетрії графіка непарної функції.

Твердження теореми проілюстровано на рисунку 2.9.

Доведіть цю теорему самостійно.

Очевидно, що функція у = 0, у якої D (f) = К., одночасно є і парною, і непарною.

?

1. Що називають функцією?

2. Назвіть способи задания функції.

3. Яке число називають найбільшим (найменшим) значенням функції на множині М?

4. Яку функцію називають парною? непарною?

5. Яку властивість має графік парної функції? непарної функції?

ВПРАВИ

2.1. Знайдіть область визначення функції:

2.2. Знайдіть область визначення функції:

2.3. Знайдіть область значень функції:

2.4. Знайдіть область значень функції:

2.5. Знайдіть нулі функції:

2.6. Знайдіть нулі функції:

2.7. Знайдіть проміжки знакосталості функції:

2.8. Знайдіть проміжки знакосталості функції:

2.9. Функція f є парною. Чи може виконуватися рівність:

2.10. Функція f є непарною. Чи може виконуватися рівність:

2.11. Доведіть, що функція є парною:

2.12. Доведіть, що функція є непарною:

2.13. Дослідіть на парність функцію:

2.14. Знайдіть область визначення функції:

2.15. Знайдіть область визначення функції:

2.16. Знайдіть якщо:

2.17. Знайдіть якщо:

2.18. Непарна функція f є такою, що 0 є D(f). Знайдіть /(0).

2.19. Непарна функція f має 4 нулі. Доведіть, що 0 £ D(f).

2.20. Непарна функція f має 7 нулів. Знайдіть f(0).

2.21. Парна функція f має 7 нулів. Знайдіть f (0).

2.22. Функція f є парною, Знайдіть

2.23. Функція f є непарною, Знайдіть

2.24. Знайдіть область значень функції:

2.25. Знайдіть область значень функції:

2.26. Знайдіть:

2.27. Розв’яжіть рівняння

2.28. Розв’яжіть рівняння

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

2.29. Розв’яжіть рівняння:

2.30. Розв’яжіть систему нерівностей:






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.