Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§4. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВН0СТІ

ПРО РІВНОСИЛЬНІ ПЕРЕХОДИ ПІД РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ

У попередніх пунктах ви ознайомилися з основними прийомами розв’язування тригонометричних рівнянь. Проте застосування кожного методу має свої «підводні рифи».

Очевидно, що поза областю визначення рівняння коренів бути не може (рис. 32.1). Якщо під час перетворень рівняння відбувається розширення області його визначення, то зрозуміло, що це може призвести до появи сторонніх коренів. Цю небезпеку слід брати до уваги, розв’язуючи тригонометричні рівняння.

ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння

Рис. 32.1

Розв’язання. Перейдемо до рівносильної системи:

Очевидно, що при парних значеннях k розв’язки першого рівняння сукупності не задовольняють систему. При k = 2m - 1, m ∈ ℤ, отримуємо:

Відповідь:

ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Перейдемо до рівносильної системи:

При х = + k маємо: cos 2х = cos ( + 2k) = -1 < 0. При маємо:

Відповідь:

Ви знаєте, що множення обох частин рівняння на вираз зі змінною може змінити множину коренів початкового рівняння. Розглянемо приклад, коли таке перетворення призводить до появи сторонніх коренів.

ПРИКЛАД 3 Розв’яжіть рівняння 4 cos х cos 2х cos 4х = cos 7х.

Розв’язання. Помножимо обидві частини рівняння на sin х. Отримаємо рівняння-наслідок 4 sin х cos х cos 2х cos 4х = cos 7х sin х.

Звідси sin 8х = 2 cos 7х sin х; sin 8х = sin 8х - sin 6х; sin 6х = 0; x = , k ∈ ℤ.

Оскільки корені рівняння sin x = 0 не є коренями даного в умові рівняння, то з отриманих розв’язків необхідно вилучити всі числа виду х = m, m ∈ ℤ. Маємо: m, звідси k ≠ 6m.

Відповідь: , k ∈ ℤ, k ≠ 6m, m ∈ ℤ.

У деяких тригонометричних тотожностях вирази, записані в лівих і правих частинах, мають різні області визначення. Наведемо кілька прикладів.

(1)

Областю визначення лівої частини цієї тотожності є множина ℝ, а правої — множина {а ∈ ℝ | а ≠ + 2k, k ∈ ℤ}.

(2)

Областю визначення лівої частини тотожності (2) є множина

областю визначення правої частини — множина

Застосування цих формул справа наліво призводить до розширення області визначення рівняння, а отже, з’являється загроза появи сторонніх коренів.

Очевидно, що звуження області визначення рівняння — це загроза втрати коренів. Наприклад, застосування формул (1) і (2) зліва направо може призвести до втрати коренів.

ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння tg2x + sin2x = ctg x.

Розв’язання. Застосувавши формули

дане рівняння зручно звести до алгебраїчного рівняння відносно tg х. Проте такі перетворення звужують область визначення рівняння та призводять (у цьому нескладно переконатися) до втрати коренів виду + n, n ∈ ℤ. Цей факт треба врахувати, записуючи

відповідь.

Розв’язавши рівняння

отримаємо:

Відповідь:

ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Очевидно, що вигідно застосувати тотожність

Але при цьому область визначення рівняння звузиться на множину

Легко переконатися, що числа виду + nk, k ∈ ℤ, є коренями даного рівняння. Ураховуючи це, запишемо сукупність, рівносильну даному рівнянню:

Звідси

Відповідь:

ВПРАВИ

32.35. Розв’яжіть рівняння:

32.36. Розв’яжіть рівняння:

32.37. Розв’яжіть рівняння:

32.38. Розв’яжіть рівняння:

32.39. Розв’яжіть рівняння:

32.40. Розв’яжіть рівняння:

32.41. Розв’яжіть рівняння:

32.42. Розв’яжіть рівняння:

32.43. Розв’яжіть рівняння:

1) cos х cos 2х cos 4х cos 8х = ;

2) cos x + cos2x + cos3x + cos4x = -0,5.

32.44. Розв’яжіть рівняння:

1) cos х cos 2х cos 4х cos 8х = cos15x;

2) cos2x + cos4x + cos6x + cos8x = -0,5.

32.45. Розв’яжіть рівняння:

32.46. Розв’яжіть рівняння:




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити