Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§5 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

ДЕЯКІ ВЛАСТИВОСТІ НЕПЕРЕРВНИХ ФУНКЦІЙ

Неперервні функції мають багато важливих властивостей. Розглянемо деякі з них.

Теорема 34.2 (перша теорема Больцано—Коші). Якщо функція f є неперервною на відрізку [а; b] і на кінцях цього проміжку набуває значень різних знаків, то існує така точка с ∈ (а; b), що f(c) = 0.

Ця теорема є наочно очевидною. Справді, якщо точки А і В, які лежать у різних півплощинах відносно осі абсцис, сполучити неперервною кривою, то ця крива обов’язково перетне вісь абсцис (рис. 34.19).

Огюстен Луї Коші (1789-1857)

Французький математик. Опублікував понад 800 робіт з арифметики, теорії чисел, алгебри, математичного аналізу, диференціальних рівнянь, теоретичної та небесної механіки, математичної фізики; займався також дослідженнями з тригонометрії, теорії пружності, оптики, астрономії. Був членом Паризької академії наук, Лондонського королівського товариства та майже всіх академій наук світу.

Рис. 34.19

Рис. 34.20

Наслідок. Якщо функція неперервна та не має нулів на деякому проміжку І, то вона на цьому проміжку зберігає знак (рис. 34.20).

Доведення. Припустимо, що дана функція f на проміжку І не зберігає знака, тобто існують такі а ∈ I і b ∈ I, де а < b, що числа f(а) і f(b) мають різні знаки (рис. 34.19). Тоді за першою теоремою Больцано—Коші існує точка с ∈ (a; b) ⊂ I така, що f(с) = 0. Отримали суперечність.

Нагадаємо, що цей наслідок лежить в основі методу інтервалів для розв’язування нерівностей.

ПРИКЛАД 1 Доведіть, що рівняння х5 + 2х2 - 11 = 0 має корінь.

Розв’язання. Розглянемо неперервну функцію f(х) = х5 + 2х2 - 11.

Маємо: f(0) = -11, f(2) = 29. Отже, за першою теоремою Больцано— Коші на інтервалі (0; 2) рівняння f(х) = 0 має корінь.

Теорема 34.3 (друга теорема Больцано—Коші про проміжне значення функції). Якщо функція f неперервна на відрізку [а; b], то вона набуває всіх значень між f(а) і f(b).

Бернард Больцано (1781-1848)

Чеський математик, філософ і логік. Очолював кафедру історії релігії в Празькому університеті.

За життя надрукував, причому анонімно, лише п'ять невеликих математичних творів. Основну частину рукописної спадщини Больцано вчені досліджували вже після його смерті. Трактат «Учення про функції», написаний у 1830 р., побачив світ тільки через 100 років. У ньому Больцано, на багато років раніше від Вейєрштрасса та Коші, сформулював і довів низку положень математичного аналізу. У роботі «Парадокси нескінченності» Больцано опрацьовував питання потужності нескінченних множин; у роботі «Наукознавство» висунув ідеї, які передували математичній логіці.

Доведення. Розглянемо випадок, коли f(a) < f(b) (випадок, коли f(а) ≥ f(b), розгляньте самостійно).

Нехай С — довільне число з проміжку (f(a); f(b)), тобто f (a) < C < f(b). Доведемо, що існує точка х0 є (а; b), для якої f(х0) = С. Тим самим буде показано, що функція f набуває значення С.

Розглянемо функцію g(x) = f(х) - С. Функція g є неперервною на відрізку [а; b].

Маємо: g (а) = f(a) - С < 0;

g(b) = f(b) - C > 0.

Отже, згідно з першою теоремою Больцано—Коші існує точка х0 є (а; b) така, що g(х0) = 0, тобто f(х0) - С = 0; f(х0) = С.

ПРИКЛАД 2 Доведіть, що рівняння має корінь.

Розв’язання. Розглянемо функцію Вона є неперервною на D (f) = [-1; 1]. Маємо: f(-1) = 2 і f(1) = -2. Оскільки є [-2; 2], то за другою теоремою Больцано—Коші про проміжне значення функції знайдеться таке число х ∈ D (f), що f (х) = .

Друга теорема Больцано—Коші допомагає знаходити область значень неперервної функції.

Наслідок Якщо областю визначення неперервної функції f є деякий проміжок, і а ≠ b, то Е (f) = [а; b]

Доведіть цей наслідок самостійно.

Цим наслідком ми нерідко користувалися, знаходячи, наприклад, області значень функцій у = sin х, у = cos х, у = arccos х і у = arcsin х.

Функція f(х) = sin х є такою, що для будь-якого х ∈ D(f) виконується нерівність | sin x | ≤ 1. Функція g(x) = х2 є такою, що для будь-якого х ∈ [-1; 2] виконується нерівність | g (х) | < 5. Говорять, що функція f обмежена на D(f), а функція g обмежена на відрізку [-1; 2].

Узагалі, функцію f називають обмеженою на множині М, якщо існує таке число С > 0, що для всіх х ∈ М виконується нерівність | f(x) | ≤ С.

Функцію f, обмежену на D(f), називають обмеженою.

Наприклад, функція у = arctg х є обмеженою. Справді, для будь-якого х ∈ D(y) виконується нерівність | arctg х | < .

Функція у = ctg х не є обмеженою на проміжку (0; ). При цьому вона є обмеженою на будь-якому відрізку [а; b], який належить проміжку (0; ) (рис. 34.21).

Рис. 34.21

Теорема 34.4 (перша теорема Вейєрштрасса). Якщо функція f неперервна на відрізку [а; b], то вона є обмеженою на цьому відрізку.

Зауважимо, що для проміжків виду (а; b], [а; b), (а; b) твердження теореми не є справедливим. Так, функція у = є неперервною на будь-якому проміжку виду (0; а], однак вона не є обмеженою на цьому проміжку.

Не будь-яка функція, визначена й обмежена на відрізку [а; b], досягає на цьому проміжку своїх найбільшого і найменшого значень. Це ілюструє рисунок 34.22.

Рис. 34.22

Карл Теодор Вільгельм Вейєрштрасс (1815-1897)

Німецький математик, член Берлінської академії наук, Паризької академії наук, почесний член Петербурзької академії наук. Одним із найважливіших його здобутків є система логічного обґрунтування математичного аналізу, заснована на побудованій ним теорії дійсних чисел. Вейєрштрасс приділяв велику увагу застосуванню математики в механіці та фізиці й заохочував до цього своїх учнів.

Проте для неперервних функцій справедлива така теорема. Теорема 34.5 (друга теорема Вейерштрасса). Якщо функція f неперервна на відрізку [а; b], то на цьому відрізку вона набуває найбільшого і найменшого значень.

Ця теорема наочно очевидна. Якщо дві точки на координатній площині сполучити неперервною кривою, то на цій кривій знайдуться точки з найбільшою і найменшою ординатами (рис. 34.23). Доведення цієї теореми виходить за межі шкільного курсу.

Зазначимо, що коли в теоремі 34.5 відрізок [а; b] замінити проміжком іншого виду, наприклад інтервалом (а; b), то неперервна на цьому проміжку функція може не набувати найбільшого і найменшого значень. Так, функція у = х, яка є неперервною на проміжку (0; 1), не досягає на ньому найбільшого і найменшого значень.

Рис. 34.23




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити