Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§5 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

36. Поняття похідної

У попередньому пункті, розв’язуючи дві різні задачі про миттєву швидкість матеріальної точки та про кутовий коефіцієнт дотичної, ми дійшли до однієї і тієї самої математичної моделі — границі відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля:

До аналогічних формул приводить розв’язування багатьох задач фізики, хімії, біології, економіки тощо. Це свідчить про те, що розглядувана модель заслуговує на особливу увагу. їй варто дати назву, увести позначення, вивчити її властивості та навчитися їх застосовувати.

Означення. Похідною функції f у точці х0 називають число, яке дорівнює границі відношення приросту функції f у точці х0 до відповідного приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля.

Похідну функції y = f(x) у точці х0 позначають так: f'(х0) (читають: «еф штрих від ікс нульового») або y'(х0). Можна записати:

або

Похідну функції y у точці х0 можна обчислити за такою схемою: 1) надавши в точці х0 аргументу приріст ∆х, знайти відповідний приріст ∆fфункції:

∆f = f(х0 + ∆х) - f(х0);

2) знайти відношення

3) з’ясувати, до якого числа прямує відношення при ∆х 0, тобто знайти границю

ПРИКЛАД 1 Знайдіть похідну функції f (х) = у точці х0 = 1.

Розв’язання. Дотримуючись наведеної схеми, запишемо:

3) при ∆х —> 0 значення виразу прямують до числа -1, тобто

Відповідь: -1.

Зазначимо, що, знайшовши значення f'(1), ми тим самим знайшли кутовий коефіцієнт k(x0) дотичної, проведеної до графіка функції f (х) = у точці з абсцисою х0 = 1.

Він дорівнює -1, тобто k (1) = -1. Тоді, позначивши через а кут, утворений цією дотичною з додатним напрямом осі абсцис, можемо записати: tg а = -1. Звідси а = (рис. 36.1).

Узагалі, можна зробити такий висновок: кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х0, дорівнює значенню похідної функції f у точці х0, тобто

k (х0) = f' (х0)

Ця рівність виражає геометричний зміст похідної.

Зважаючи на означення миттєвої швидкості, можна зробити такий висновок: якщо у = s(t) — закон руху матеріальної точки по координатній прямій, то її миттєва швидкість у момент часу t0 дорівнює значенню похідної функції у = s(t) у точці t0, тобто

v(t0) = s'(t0)

Ця рівність виражає механічний зміст похідної.

Рис. 36.1

Якщо функція f має похідну в точці х0, то цю функцію називають диференційовною в точці х0.

Нехай функція f є диференційовною в точці х0. З геометричного змісту похідної випливає, що до графіка функції f у точці з абсцисою х0 можна провести невертикальну дотичну (рис. 36.2). І навпаки, якщо до графіка функції f у точці з абсцисою х0 можна провести невертикальну дотичну, то функція f є диференційовною в точці х0.

На рисунку 36.3 зображено графіки функцій, які в точці х0 мають розрив або «злом». До цих графіків у точці з абсцисою х0 не можна провести дотичну. Ці функції не диференційовні в точці х0.

Рис. 36.2

Рис. 36.3

На рисунку 36.4 зображено графіки функцій, які в точці з абсцисою х0 мають вертикальну дотичну. Отже, ці функції не диференційовні в точці х0.

Рис. 36.4

Покажемо, наприклад, що функція f(х) = | х |, графік якої має «злом» у точці х0 = 0, не є диференційовною в цій точці. Маємо:

3) у п. 34 було показано, що функція не має границі в точці х0 = 0; це означає, що не існує границі тобто функція f не є диференційовною в точці х0 = 0.

Теорема 36.1. Якщо функція f є диференційовною в точці х0, то вона є неперервною в цій точці.

Доведення. Оскільки функція f диференційовна в точці х0, то можна записати:

Маємо: ∆х = х - х0. Очевидно, що коли ∆х 0, то х х0. Тоді

Маємо:

Отже,

Це означає, що функція f є неперервною в точці х0.

Зазначимо, що неперервна в точці х0 = 0 функція f(х) = | х | не є диференційовною в цій точці. Цей приклад показує, що неперервність функції в точці є необхідною, але не є достатньою умовою диференційовності функції в цій точці (рис. 36.5).

Нехай М — множина точок, у яких функція f диференційовна. Кожному числу х ∈ М поставимо у відповідність число f' (х). Таке правило задає функцію з областю визначення М. Цю функцію називають похідною функції у = f(х) і позначають f або у'.

Якщо функція f диференційовна в кожній точці деякої множини М, то говорять, що вона диференційовна на множині М. Наприклад, на рисунку 36.6 зображено графік функції, диференційовної на інтервалі І. На інтервалі І цей графік не має розривів і «зломів».

Рис. 36.5

Рис. 36.6

Якщо функція f диференційовна на D(f), то її називають диференційовною.

Знаходження похідної функції f називають диференціюванням функції f.

ПРИКЛАД 2 Продиференціюйте функцію f(х) = kх + b.

Розв’язання. Знайдемо похідну функції f у точці х0, де х0 — довільна точка області визначення функції f.

Отже, f'(x0) = k.

Оскільки х0 — довільна точка області визначення функції f, то остання рівність означає, що для будь-якого х ∈ ℝ виконується рівність f' (х) = k.

Висновок про те, що похідна лінійної функції f(х) = kx + b дорівнює k, записують також у вигляді

(kx + b)' = k (1)

Якщо у формулу (1) підставити k = 1 і b = 0, то отримаємо:

(х)' = 1

Якщо ж у формулі (1) покласти k = 0, то отримаємо:

(b)' = 0

Ця рівність означає, що похідна функції, яка є константою, у кожній точці дорівнює нулю.

ПРИКЛАД 3 Знайдіть похідну функції f(х) = x2.

Розв’язання. Знайдемо похідну функції f у точці х0, де х0 — довільна точка області визначення функції f.

Оскільки х0 — довільна точка області визначення функції f(х) = х2, то для будь-якого х ∈ ℝ. виконується рівність

f'(х) = 2х.

Останню рівність записують також у вигляді

2)' = 2х (2)

ПРИКЛАД 4 Знайдіть похідну функції f(х) = x3.

Розв’язання. Знайдемо похідну функції f у точці х0, де х0 — довільна точка області визначення функції f.

Оскільки х0 — довільна точка області визначення функції f, то для будь-якого х ∈ ℝ виконується рівність

f'(х) = 3х2.

Отриману рівність можна записати так:

3)' = 3х2 (3)

Формули (2) і (3) є окремими випадками більш загальної формули

(4)

Наприклад, (х5)'= 5х4, (х7)'= 7х6.

Формула (4) залишається справедливою для будь-якого n ∈ ℤ і х ≠ 0, тобто

(5)

Наприклад, скористаємося формулою (5) для знаходження похідної функції f (x) = .

Маємо:

Таким чином, для будь-якого х ≠ 0 виконується рівність

або

Формулу (5) також можна узагальнити для будь-якого r ∈ ℚ і х > 0:

(хr) = rxr-1, r ∈ ℚ (6)

Наприклад, знайдемо похідну функції f(х) = , скориставшись формулою (6). Маємо:

Отже, для х > 0 можна записати:

або

Узагалі, похідну функції

f(х) = ,

n ∈ ℕ, n > 1, можна знаходити за формулою

(7)

Якщо n — непарне натуральне число, то формула (7) дає змогу знаходити похідну функції f у всіх точках х таких, що х ≠ 0.

Якщо n — парне натуральне число, то формула (7) дає змогу знаходити похідну функції f для всіх додатних значень х.

Звернемося до тригонометричних функцій у = sin x і у = cos x. Ці функції є диференційовними, і їхні похідні знаходять за такими формулами:

(sin х)' = cos x

(cos х)' = -sin x

Доведення цих формул виходить за рамки розглядуваного курсу.

Під час обчислення похідних зручно користуватися таблицею похідних, розміщеною на форзаці 4.

?

1. Що називають похідною функції в точці?

2. Запишіть рівності, які виражають механічний і геометричний зміст похідної.

3. Яку функцію називають диференційовною в точці? диференційовною на множині?

ВПРАВИ

36.1. Знайдіть похідну функції:

36.2. Знайдіть похідну функції:

36.3. Знайдіть похідну функції:

36.4. Продиференціюйте функцію:

36.5. Продиференціюйте функцію:

36.6. Обчисліть значення похідної функції f у точці х0:

36.7. Обчисліть значення похідної функції f у точці х0:

36.8. Обчисліть значення похідної функції f у точці х0:

36.9. Обчисліть значення похідної функції f у точці х0:

36.10. Користуючись означенням похідної, знайдіть f'(х), якщо:

36.11. Користуючись означенням похідної, знайдіть f'(x), якщо:

36.12. Знайдіть за допомогою графіка функції f (рис. 36.7) значення f'(х1) і f' (х2).

Рис. 36.7

36.13. Знайдіть за допомогою графіка функції f (рис. 36.8) значення f'(х1) і f'(х2).

Рис. 36.8

36.14. На рисунку 36.9 зображено графік функції f. Укажіть кілька значень аргументу х, для яких:

1) f'(х)> 0; 2) f'(x) < 0; 3) f'(x) = 0.

Рис. 36.9

Рис. 36.10

36.15. До графіка функції f у точці з абсцисою х0 проведено дотичну (рис. 36.10). Знайдіть f'(х0).

36.16. До графіка функції f у точці з абсцисою х0 проведено дотичну (рис. 36.11). Знайдіть f'(х0).

Рис. 36.11

Рис. 36.12

36.17. На рисунку 36.12 зображено графік функції f. Укажіть точки, у яких похідна дорівнює нулю, і точки, у яких похідна не існує.

36.18. На рисунку 36.13 зображено графік функції f. Укажіть точки, у яких похідна дорівнює нулю, і точки, у яких похідна не існує.

Рис. 36.13

Рис. 36.14

36.19. На рисунку 36.14 зображено графік функції f. Порівняйте числа:

1) f'(-5) і f'(1); 3) f'(-2) і f'(4);

2) f'(-1) і f'(6); 4) f'(0) і f'(5).

36.20. Матеріальна точка рухається по координатній прямій за законом s(t) = t2. Знайдіть Який механічний зміст має знайдена величина?

36.21. Матеріальна точка рухається по координатній прямій за законом s(t) = t3. Знайдіть s'(2). Який механічний зміст має знайдена величина?

36.22. Використовуючи геометричний зміст похідної, доведіть, що функція не є диференційовною в точках х1 = -1 і х2 = 1.

36.23. Доведіть, користуючись означенням, що функція f(x) = = x | x | є диференційовною в точці х0 = 0. Проілюструйте отриманий результат графічно.

36.24. Знайдіть похідну функції f(х) = х2 | х | у точці х0 = 0.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

36.25. Чи є правильним твердження:

1) якщо кожна пряма, паралельна осі абсцис, перетинає графік функції не більш ніж в одній точці, то дана функція є оборотною;

2) якщо функція є непарною, то вона оборотна;

3) якщо функція є парною, то вона оборотна;

4) якщо оборотна функція є непарною, то обернена до неї функція теж непарна;

5) функції є взаємно оберненими;

6) функції є взаємно оберненими?

36.26. Знайдіть найменший додатний корінь рівняння






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.