Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§5 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

39. Ознаки зростання і спадання функції

Розглянемо функцію f і таку точку х0 інтервалу (а; b), що (рис. 39.1, а). На рисунку 39.1, б зображено графік функції g такої, що

Рис. 39.1

Нехай функції f і g є диференційовними в точці х0. Тоді до графіків цих функцій у точці з абсцисою х0 можна провести дотичні. З наочних міркувань очевидно, що ці дотичні будуть горизонтальними прямими. Оскільки кутовий коефіцієнт горизонтальної прямої дорівнює нулю, то f' (х0) = 0 і g' (х0) = 0.

Цей висновок можна проілюструвати за допомогою механічної інтерпретації.

Якщо матеріальна точка рухається по координатній прямій за законом у = s(t), t ∈ [а; b], і функція у = s(t) набуває в точці t0 ∈ (а; b) найбільшого (найменшого) значення, то це означає, що в момент часу t0 матеріальна точка змінює напрям руху на протилежний. Зрозуміло, що в цей момент часу швидкість матеріальної точки дорівнює нулю, тобто v (t0) = s' (t0) = 0.

Отримані висновки підтверджує така теорема.

Теорема 39.1 (теорема Ферма). Нехай функція f, визначена на проміжку [а; b], у точці х0∈ (а; b) набуває свого найменшого (найбільшого) значення. Якщо функція f є диференційовною в точці х0, то f'(х0) = 0.

На рисунку 39.2 зображено графік функції f, диференційовної на проміжку [а; b], яка в точках а і b набуває однакових значень.

Рис. 39.2

З рисунка видно: існує щонайменше одна така точка х0∈ (а; b), що дотична до графіка в точці з абсцисою х0 є горизонтальною прямою, тобто f'(х0) = 0.

Цей висновок можна проілюструвати за допомогою механічної інтерпретації.

Якщо матеріальна точка рухається по координатній прямій за законом у = s(t), t ∈ [а; b], то рівність s(a) = s(b) означає, що в момент часу t = b матеріальна точка повернулася в початкове положення. Отже, у деякий момент часу t0 ∈ (а; b) вона змінила напрям руху на протилежний, тобто v (t0) = s'(t0) = 0.

Отримані висновки підтверджує така теорема.

Теорема 39.2 (теорема Ролля). Якщо функція f є диференційовною на відрізку [а; b], причому f(a) = f(b), то існує така точка x0 є (а; b), що f'(x0) = 0.

Ha рисунку 39.3 зображено графік функції, диференційовної на відрізку [а; b].

Проведемо пряму АВ. Із трикутника AMВ можна знайти кутовий коефіцієнт цієї прямої:

З рисунка видно: на дузі АВ існує така точка С, що дотична до графіка в цій точці паралельна прямій АВ.

Кутовий коефіцієнт f'(x0) цієї дотичної дорівнює кутовому коефіцієнту прямої АВ, тобто існує точка х0∈ (а; b) така, що

Цей висновок ілюструє також механічна інтерпретація.

Якщо матеріальна точка рухається по координатній прямій за законом у = s(t), t ∈ [а; b], то її середня швидкість дорівнює:

Зрозуміло, що під час руху є такий момент t0 ∈ (а; b), коли миттєва швидкість дорівнює середній, тобто

Рис. 39.3

Мішель Ролль (1652-1719)

Французький математик, член Паризької академії наук. Основні праці присвячені методам чисельного розв’язування рівнянь. Більшість наукових здобутків М. Ролля не були помічені науковою спільнотою за його життя; їх оцінили значно пізніше.

Отримані висновки підтверджує така теорема.

Теорема 39.3 (теорема Лагранжа). Якщо функція f є диференційовною на відрізку [а; b], то існує така точка x0 ∈ (а; b), що

Звернемо увагу, що теореми Ролля і Лагранжа не вказують, як знайти точку х0. Вони лише гарантують, що існує точка з певною властивістю.

Ви знаєте, що коли функція є константою, то її похідна дорівнює нулю. Виникає запитання: якщо функція f є такою, що для всіх х із проміжку І виконується рівність f'(x) = 0, то чи є функція f константою на проміжку І?

Звернемося до механічної інтерпретації.

Нехай у = s(t) - закон руху матеріальної точки по координатній прямій. Якщо в будь-який момент часу t від t1 до t2 виконується рівність s'(t) = 0, то протягом розглядуваного проміжку часу миттєва швидкість дорівнює нулю, тобто точка не рухається і її координата не змінюється. Це означає, що на розглядуваному проміжку функція у = s(t) є константою.

Ці міркування підказують, що справедливою є така теорема.

Теорема 39.4 (ознака сталості функції). Якщо для всіх х із проміжку І виконується рівність f'(x) = 0, то функція f є константою на цьому проміжку.

Доведення. Нехай х1 і х2 — довільні значення аргументу функції f, узяті з проміжку І, причому х1 < х2.

Жозеф Луї Лагранж (1736-1813)

Французький математик, механік і астроном, президент Берлінської академії наук, член Паризької академії наук. Основні праці — у галузі математичного аналізу, варіаційного числення, алгебри, теорії чисел, диференційних рівнянь, механіки. Кавалер ордена Почесного легіону.

Оскільки [х1; х2] ⊂ I і функція f диференційовна на проміжку І, то для відрізка [х1; х2] виконуються всі умови теореми Лагранжа. Тоді існує точка х0∈ (х1; х2) така, що

Оскільки х0 ∈ І, то f'(х0) = 0. Отже,

Звідси f(х2) = f(х1). Ураховуючи, що числа х1 і х2 вибрано довільним чином, можемо зробити висновок: функція f є константою на проміжку І.

На рисунку 39.4 зображено графік деякої функції f, яка є диференційовною на проміжку [а; b]. Цей графік має таку властивість: будь-яка дотична до графіка утворює гострий кут з додатним напрямом осі абсцис.

Рис. 39.4

Рис. 39.5

Оскільки тангенс гострого кута є додатним числом, то кутовий коефіцієнт будь-якої дотичної також є додатним. Тоді, виходячи з геометричного змісту похідної, можна зробити такий висновок: для будь-якого х ∈ [а; b] виконується нерівність f'(х) > 0.

З рисунка 39.4 видно, що функція f зростає на розглядуваному проміжку.

На рисунку 39.5 зображено графік деякої функції f, яка є диференційовною на проміжку [а; b]. Будь-яка дотична до графіка утворює тупий кут з додатним напрямом осі абсцис.

Оскільки тангенс тупого кута є від’ємним числом, то кутовий коефіцієнт будь-якої дотичної також є від’ємним. Тоді для будь-якого х ∈ [а; b] виконується нерівність f'(x) < 0.

З рисунка 39.5 видно, що функція f спадає на розглядуваному проміжку.

Ці приклади показують, що знак похідної функції на деякому проміжку І пов’язаний з тим, чи є ця функція зростаючою (спадною) на проміжку І.

Зв’язок між знаком похідної та зростанням (спаданням) функції можна виявити також за допомогою механічної інтерпретації. Якщо швидкість, тобто похідна функції у = s(t), є додатною, то точка на координатній прямій рухається вправо (рис. 39.6). Це означає, що з нерівності t1 < t2 випливає нерівність s(t1) < s (t2), тобто функція у = s(t) є зростаючою. Аналогічно, якщо швидкість є від’ємною, то точка рухається вліво, тобто функція у = s(t) є спадною.

Зв’язок між знаком похідної та зростанням (спаданням) функції установлюють такі теореми.

Рис. 39.6

Теорема 39.5 (ознака зростання функції). Якщо для всіх х із проміжку І виконується нерівність f'(x) > 0, то функція f зростає на цьому проміжку.

Теорема 39.6 (ознака спадання функції). Якщо для всіх х із проміжку І виконується нерівність f'(x) < 0, то функція f спадає на цьому проміжку.

Доведемо теорему 39.5 (теорему 39.6 можна довести аналогічно).

Доведення. Нехай х1 і х2 — довільні значення аргументу функції f, узяті з проміжку І, причому x2 > x1.

Оскільки [х1; х2] ⊂ І і функція f диференційовна на проміжку І, то для відрізка [х1; х2] виконуються всі умови теореми Лагранжа. Тоді існує точка х0∈ (х1; х2) така, що

Оскільки х0∈ І, то f'(x0) > 0. Отже,

Тоді з не

рівності х2 > х1 випливає нерівність f(х2) > f(x1), тобто функціяf зростає на проміжку І.

Справедливе й таке твердження: якщо диференційовна на проміжку І функція f зростає (спадає), то для всіх х із цього проміжку виконується нерівність f (х) ≥ 0 (f'(x) ≤ 0).

Якщо функція / визначена на проміжку [а; b) і зростає на інтервалі (а; b), то це не означає, що вона зростає на проміжку [а; b) (рис. 39.7). Дослідити зростання і спадання функції на різних проміжках допомагає така ключова задача.

Рис. 39.7

ПРИКЛАД 1 Нехай для довільного х ∈ (а; b) виконується нерівність f'(x) > 0 і функція f має похідну в точці а. Доведіть, що функція f зростає на проміжку [а; b).

Розв’язання. З теореми 39.2 випливає тільки те, що функція f зростає на інтервалі (а; b). Для доведення того, що функція f зростає на проміжку [а; b), потрібно додаткове дослідження.

Нехай х — довільна точка проміжку (а; b). Доведемо, що f (х) > f (а). З теореми Лагранжа для функції f на відрізку [а; х] випливає існування такої точки х0∈ (а; х), що

Оскільки х0∈ (а; b), то f'(х0) > 0. Звідси f(х) > f(а).

Таким чином, доведено, що функція f зростає на проміжку [а; b).

Зауваження 1. Насправді сформульовану в даному прикладі умову можна послабити, замінивши вимогу диференційовності функції f у точці х = а на її неперервність у цій точці. Можна довести, що справедливе таке твердження: якщо для всіх х є (а; b) виконується нерівність f'(х) > 0 і функція fє неперервною в точці х = а, то функція f зростає на проміжку [а; b).

Зауваження 2. Використовуючи відповідні твердження, можна обґрунтувати зростання (спадання) функції f на проміжках іншого виду, наприклад [а; +∞), (-∞; b], [а; b]. Так, якщо для всіх х ∈ (а; +∞) виконується нерівність f'(x) > 0 і функція f неперервна в точці х = а, то функція f зростає на проміжку [а; +∞).

ПРИКЛАД 2 Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

Розв’язання. 1) Маємо:

f'(х) = -3х3 +12х2 -12х = -3х(х2 - 4х + 4) = -3х(х - 2)2.

Дослідивши знак похідної (рис. 39.8), доходимо висновку, що функція зростає на проміжку (-∞; 0] і спадає на кожному з проміжків [0; 2] і [2; +∞), тобто спадає на проміжку [0; +∞).

2) Маємо: D(f) = ( - ∞; 1) U (1; +∞). Знайшовши похідну функції f, отримуємо:

Рис. 39.8

Рис. 39.9

Рис. 39.10

Дослідимо знак функції у = f'(x) (рис. 39.9). Отже, дана функція зростає на кожному з проміжків (-∞; -1] і [3; +∞) та спадає на кожному з проміжків [- 1; 1) і (1; 3].

3) Маємо: D(f) = (-∞; 0] U [3; -∞). Знайдемо похідну функції f:

Зауважимо, що в точках х = 0 і х = 3 функція f не є диференційовною, але є неперервною.

Нерівність рівносильна системі

Розв’язавши її, отримуємо, що множиною розв’язків розглядуваної нерівності є проміжок (3; +∞).

Далі легко встановити, що множиною розв’язків нерівності

Є проміжок (-∞; 0).

Отже, якщо х < 0, то f'(x) < 0; якщо х > 3, то f'(x) > 0 (рис. 39.10). Звідси випливає, що функція f зростає на проміжку [3; +∞) і спадає на проміжку (-∞; 0].

ПРИКЛАД 3 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Розглянемо функцію

Для всіх

маємо:

Очевидно, що f'(х) > 0 при тобто функція f зростає на проміжку

Оскільки функція f є неперервною в точці x = , то вона зростає на

Тоді функція f набуває кожного свого значення тільки один раз, а отже, дане рівняння не може мати більше одного кореня.

Оскільки f(-1) = 0, то х = -1 є єдиним коренем даного рівняння.

Відповідь: -1.

?

1. Сформулюйте теореми Ферма, Ролля та Лагранжа.

2. Сформулюйте ознаки сталості, зростання, спадання функції.

ВПРАВИ

39.1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

1) f(х) = 2х3 - 3х2+1; 3) f(x) = х4 - 2х2 - 3;

2) f(х) = -х3 + 9х2 + 21х; 4) f(х) = х3 + 4х - 8.

39.2. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

1) f(х) = х3 + 3х2 - 9х; 2) f(х) = х4 + 4х - 20.

39.3. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

39.4. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

39.5. На рисунку 39.11 зображено графік похідної функції f, диференційовної на ℝ. Укажіть проміжки спадання функції f.

Рис. 39.11

Рис. 39.12

39.6. На рисунку 39.12 зображено графік функції y = f(x), диференційовної на ℝ. Серед наведених на рисунку 39.13 графіків укажіть той, який може бути графіком функції у = f (х).

Рис. 39.13

39.7. На рисунку 39.14 зображено графік похідної функції f, диференційовної на ℝ. Укажіть проміжки зростання функції f.

39.8. На рисунку 39.15 зображено графіки похідних функцій f, g i h, диференційовних на ℝ. Яка з функцій f, g i h спадає на відрізку [-1; 1]?

Рис. 39.14

Рис. 39.15

39.9. На рисунку 39.16 зображено графіки похідних функцій f, g і h. Яка з функцій f, g i h спадає на ℝ?

Рис. 39.16

39.10. Доведіть, що функція є спадною:

39.11. Доведіть, що функція є зростаючою:

1) f(x) = 1pх3 - 9х2 + 24х - 90; 2) f(х) = sin х + х3 + х.

39.12. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

39.13. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

39.14. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

39.15. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції

39.16. На рисунку 39.17 зображено графіки функцій f i g, визначених на ℝ. Використовуючи ці графіки, розв’яжіть нерівність:

1)f'(x) < 0; 2) g'(x) > 0.

Рис. 39.17

39.17. На рисунку 39.18 зображено графіки функцій f i g, визначених на ℝ. Використовуючи ці графіки, розв’яжіть нерівність:

1) f' (х) > 0; 2) g'(x) < 0.

Рис. 39.18

39.18. При яких значеннях параметра а є зростаючою функція:

39.19. При яких значеннях параметра а є спадною функція:

39.20. При яких значеннях параметра с функція f(x) = (с - 12) х3 + 3(с - 12) х2 + 6х + 7 зростає на ℝ?

39.21. При яких значеннях параметра а функція у = (а + 3) х3 + 3(а + 3) х2 - 5х + 12 спадає на ℝ?

39.22. Розв’яжіть рівняння х5 + 4х + cos х = 1.

39.23. Розв’яжіть рівняння х3 + 2х = sin х.

39.24. Розв’яжіть нерівність х7 + 3х > 2х4 + 2.

39.25. Розв’яжіть нерівність х5 + 4х < 2х3 + 3.

39.26. Розв’яжіть систему рівнянь

39.27. Розв’яжіть систему рівнянь

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

39.28. Знайдіть область значень функції:






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.