Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§1 ПОВТОРЕННЯ ТА РОЗШИРЕННЯ ВІДОМОСТЕЙ ПРО МНОЖИНИ ТА ФУНКЦІЇ

3. Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень

У 9 класі ви навчилися за допомогою графіка функції у = f (х) будувати графіки функцій у = f (х) + b, у = f (х + а), у = kf (х).

Покажемо, як можна побудувати графік функції у = f (kx), якщо відомо графік функції у = f (х).

Розглянемо випадок, коли k > 0. Якщо точка (х0; у0) належить графіку функції у = f (х), то точка належить графіку функції у = f (kx). Справді, при маємо:

Отже, кожній точці (х0; у0) графіка функції у = f (х) відповідає єдина точка графіка функції у = f (kx). Аналогічно кожна точка (х11) графіка функції у = f (kx) є відповідною єдиній точці (kx1; у1) графіка функції у = f (х).

Таким чином, графік функції у = f(kx), де k > 0, можна отримати, замінивши кожну точку графіка функції у = f(x) на точку з тією самою ординатою та з абсцисою, поділеною на k.

На рисунку 3.1 показано, як можна використати це правило для побудови графіків функцій

Рис. 3.1

Говорять, що графік функції у = f (kx) отримано з графіка функції у = f (х) у результаті стискання в k разів до осі ординат, якщо k > 1, або в результаті розтягнення в раза від осі ординат, якщо 0 < k < 1.

Так, графік функції y = отримано в результаті стискання графіка функції y = у 2 рази до осі ординат, а графік функції — у результаті розтягнення графіка функції y = у 2 рази від осі ординат.

Покажемо, як побудувати графік функції у = f (-х), якщо відомо графік функції у = f (х).

Якщо точка (х0; у0) належить графіку функції у = f (х), то точка (-х0; у0) належить графіку функції у = f (-х). Справді, f (-(-х0)) = f (x0) = y0.

Отже, кожній точці (х0; у0) графіка функції у = f (х) відповідає єдина точка (-х0; у0) графіка функції у = f (-х). Аналогічно можна показати, що кожна точка (x1; у1) графіка функції у = f (-х) є відповідною єдиній точці (-x1; y1) графіка функції y = f(x).

Таким чином, графік функції у = f (-х) можна отримати, відобразивши графік функції y = f(x) симетрично відносно осі ординат.

Таке перетворення графіка функції у = f (х) називають симетрією відносно осі ординат.

На рисунку 3.2 показано, як за допомогою графіка функції y = побудовано графік функції y = .

Рис. 3.2

Тепер стає зрозумілим, що правило побудови графіка функції y = f(kx), де k < 0, є таким самим, як і для випадку k > 0. Наприклад, на рисунку 3.3 показано, як за допомогою графіка функції y = можна побудувати графіки функцій

Рис. 3.3

ПРИКЛАД 1 Побудуйте графік функції y = .

Розв’язання. Схема побудови має такий вигляд:

На рисунку 3.4 показано побудову шуканого графіка.

Якщо дану функцію подати у вигляді то побудову графіка можна вести й за такою схемою:

На рисунку 3.5 показано побудову, проведену за цією схемою.

Рис. 3.4

Рис. 3.5

ПРИКЛАД 2 Побудуйте графік функції y = .

Розв’язання. Побудову графіка можна вести за такою схемою:

На рисунку 3.6 показано побудову шуканого графіка.

Рис. 3.6

Зауважимо, що можливі й інші схеми розв’язування цієї задачі, наприклад така:

Цій схемі відповідає рисунок 3.7.

Рис. 3.7

Скориставшись означенням модуля, можна записати:

Звідси можна зробити висновок, що графік функції у = f (| х |) при х > 0 збігається з графіком функції у = а (х), а при х < 0 — з графіком функції у = f (-х).

Тоді побудову графіка функції у = f (| х |) можна проводити так:

1) побудувати ту частину графіка функції y = f(x), усі точки якої мають невід’ємні абсциси;

2) побудувати ту частину графіка функції y = f(-x), усі точки якої мають від’ємні абсциси.

Об’єднання цих двох побудованих фігур є графіком функції y = f(|x|).

Зауважимо, що функція у = f (| х |) є парною; тому вісь ординат є віссю симетрії її графіка. Тоді графік функції у = f (| х |) можна отримати ще й таким чином:

1) побудувати ту частину графіка функції y = f(x), усі точки якої мають невід’ємні абсциси;

2) побудувати фігуру, симетричну отриманій відносно осі ординат.

Об’єднання двох побудованих фігур є графіком функції y = f(| х |).

На рисунку 3.8 показано, як за допомогою графіка функції у = (х - 2)2 побудовано графік функції у = (| х | - 2)2.

Для функції у = | f (х) | запишемо:

Звідси можна дійти такого висновку: графік функції у = | f (х) | при всіх х, для яких f (х) ≥ 0, збігається з графіком функції y = f(x), а при всіх х, для яких f (х) < 0, — з графіком функції y = -f (x).

Рис. 3.8

Рис. 3.9

ПРИКЛАД 3 Побудуйте графік функції

Тоді побудову графіка функції у = | f (х) | можна проводити так:

1) побудувати ту частину графіка функції y = f(x), усі точки якої мають невід’ємні ординати;

2) побудувати ту частину графіка функції у = - f (х), усі точки якої мають додатні ординати.

Об’єднання двох побудованих фігур є графіком функції у = | f (х) |.

Оскільки графіки функцій у = f (х) і y = —f (х) симетричні відносно осі абсцис, то шуканий графік можна отримати ще й таким чином:

1) ту частину графіка функції y = f(x), точки якої мають невід’ємні ординати, залишити без змін;

2) побудувати фігуру, симетричну відносно осі ординат тій частині графіка функції у = f (х), точки якої мають від’ємні ординати.

Об’єднання цих двох побудованих фігур і становитиме графік функції у = | f (х) |.

На рисунку 3.9 показано, як за допомогою графіка функції у = (х - 1)2 - 2 побудовано графік функції у = | (х - 1)2 - 2 |.

Розв’язання. Побудову шуканого графіка можна подати у вигляді такої схеми:

На рисунку 3.10 показано етапи побудови шуканого графіка.

Рис. 3.10

ПРИКЛАД 4 При яких значеннях параметра а рівняння |2| х | - 1|=х-а має три корені?

Розв’язання. Розглянемо функцію f (х) = | 2 | х | - 1 |. Проведемо побудову її графіка за такою схемою:

у = 2х - 1 y = 2| х | - 1 у = | 2 | х | - 1 |.

Графік функції f зображено на рисунку 3.11 червоним кольором.

Розглянемо функцію g(x) = х - а. Її графіком є пряма.

Задача зводиться до того, щоб знайти таке положення прямої g(x) = х - а, при якому графіки функцій f i g мають три спільні точки.

Ця умова виконується лише тоді, коли пряма g(x) = х - а проходить через точку або через точку (0; 1) (рис. 3.11).

Знайдемо значення параметра а, які відповідають цим положенням прямої.

Маємо:

Відповідь: а = - або а = -1.

Рис. 3.11

?

1. Як можна побудувати графік функції у = f (kx), використовуючи графік функції у = f (х), якщо k > 0? k < 0?

2. Як можна побудувати графік функції у = f (| х |), використовуючи графік функції у = f (х)?

3. Як можна побудувати графік функції у = | f (х) |, використовуючи графік функції у = f (х)?

ВПРАВИ

3.1. Побудуйте графік функції:

3.2. Побудуйте графік функції:

3.3. Побудуйте графік функції:

3.4. Побудуйте графік функції:

3.5. Побудуйте графік функції:

3.6. Побудуйте графік функції:

3.7. Побудуйте графік функції:

3.8. Побудуйте графік функції:

3.9. Побудуйте графік функції:

3.10. Побудуйте графік функції:

3.11. Скільки коренів має рівняння залежно від значення параметра а:

3.12. Скільки коренів має рівняння залежно від значення параметра а:

1) | х2 - 1| = а; 3) |(|х| - 2)2 - 3| = а?

2) | (х + 2)2 - 3 І = а;

3.13. Побудуйте графік функції:

3.14. Побудуйте графік функції:

3.15. При яких значеннях параметра а рівняння ||х - 1| - 1| = х- а має безліч коренів?

3.16. При яких значеннях параметра а рівняння | 3 | х + 1| - 2 | = а - х має 3 корені?

3.17. При яких значеннях параметра а рівняння | 2 | х + а | - 1 | = х - 1 має єдиний корінь?

3.18. При яких значеннях параметра а рівняння | 3 | х - а | - 2 | = 2 - х має єдиний корінь?

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

3.19. Розв’яжіть систему рівнянь:

3.20. Із двох селищ, відстань між якими дорівнює 66 км, виїхали одночасно назустріч один одному два велосипедисти і зустрілися через 3 год. Знайдіть швидкість руху кожного велосипедиста, якщо один з них витрачає на весь шлях з одного селища в друге на 1 год б хв більше за другого учасника руху.

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

3.21. Виразіть:






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.