Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§5 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

40. Точки екстремуму функції

Ознайомлюючись з такими поняттями, як границя та неперервність функції в точці, ми досліджували поведінку функції поблизу цієї точки або, як прийнято говорити, у її околі.

Означення. Проміжок (а; b), який містить точку х0, називають околом точки х0.

Зрозуміло, що будь-яка точка має безліч околів. Наприклад, проміжок (-1; 3) — один з околів точки 2,5. Разом з тим цей проміжок не є околом точки 3.

На рисунку 40.1 зображено графіки чотирьох функцій. Усі ці функції мають спільну особливість: існує окіл точки х0 такий, що для всіх х із цього околу виконується нерівність f(х0) ≥f(х).

Рис. 40.1

Означення. Точку х0 називають точкою максимуму функції f, якщо існує окіл точки х0 такий, що для всіх х із цього околу виконується нерівність f (х0) ≥ f(x).

Наприклад, точка х0 = є точкою максимуму функції у = sin х (рис. 40.2). Записують: хmах = .

Рис. 40.2

На рисунку 40.1 хmах = х0.

Означення. Точку х0 називають точкою мінімуму функції f, якщо існує окіл точки х0 такий, що для всіх х із цього околу виконується нерівність f (х0) ≤ f(х).

Наприклад, точка х0 = - є точкою мінімуму функції у = sin x (рис. 40.2). Записують: xmin =- .

На рисунку 40.3 зображено графіки функцій, для яких х0 є точкою мінімуму, тобто xmin = х0.

Рис. 40.3

Точки максимуму і мінімуму мають спільну назву: їх називають точками екстремуму функції (від латин, extremum — край, кінець).

На рисунку 40.4 точки х1, х2, х3, х4, х5, х6 є точками екстремуму функції f.

Рис. 40.4

Рис. 40.5

З означень точок максимуму і мінімуму випливає, що точки екстремуму є внутрішніми точками1 області визначення функції. Це означає, що, наприклад, точка х0 = 0 не є точкою мінімуму функції у = (рис. 40.5), а точка х0 = 1 не є точкою максимуму функції у = arcsin х (рис. 40.6). Разом з тим найменше значення функції у = на множині [0; +∞) дорівнює нулю, тобто

Рис. 40.6

Рис. 40.7

На рисунку 40.7 зображено графік деякої функції f, яка на проміжку [х1; х2] є константою. Точка х1 є точкою максимуму, точка х2 — мінімуму, а будь-яка точка інтервалу (х1; х2) є одночасно як точкою максимуму, так і точкою мінімуму функції f.

1 Точку х0 є М називають внутрішньою точкою множини М, якщо існує окіл точки х0, який є підмножиною множини М.

Графіки функцій, зображені на рисунках 40.8 і 40.9, показують, що точки екстремуму можна поділити на два види: ті, у яких похідна дорівнює нулю (на рисунку 40.8 дотична до графіка в точці з абсцисою х0 є горизонтальною прямою), і ті, у яких функція є недиференційовною (рис. 40.9).

Рис. 40.8

Рис. 40.9

Насправді справедливою є така теорема.

Теорема 40.1. Якщо х0 є точкою екстремуму функції f, то або f' (х0) = 0, або функція f не є диференційовною в точці х0.

Справедливість цієї теореми випливає з теореми Ферма.

Виникає природне запитання: чи обов’язково є точкою екстремуму внутрішня точка області визначення функції, у якій похідна дорівнює нулю або не існує?

Відповідь на це запитання заперечна.

Так, на рисунку 40.10 зображено графік функції, недиференційовної в точці х0. Проте точка х0 не є точкою екстремуму.

Рис. 40.10

Рис. 40.11

Наведемо ще один приклад. Для функції f(х) = х3 маємо: f'(х) = 3х2. Тоді f’ (0) = 0. Проте точка х0 = 0 не є точкою екстремуму функції f (рис. 40.11).

Ці приклади показують, що рівність нулю похідної в точці х0 або недиференційовність функції в цій точці є необхідною, але не достатньою умовою існування екстремуму в точці х0.

Означення. Внутрішні точки області визначення функції, у яких похідна дорівнює нулю або не існує, називають критичними точками функції.

Наприклад, точка х0 = 0 є критичною точкою функцій у = х3 і у = | х |; точка х0 = є критичною точкою функції у = sin x.

Зі сказаного вище випливає, що кожна точка екстремуму функції є її критичною точкою, проте не кожна критична точка є точкою екстремуму. Іншими словами, точки екстремуму слід шукати серед критичних точок. Цей факт проілюстровано на рисунку 40.12.

На рисунку 40.13 зображено графіки функцій, для яких х0 є критичною точкою.

На рисунках 40.13, а-г критична точка х0 є точкою екстремуму, на рисунках 40.13, ґ, д критична точка х0 не є точкою екстремуму.

Рис. 40.12

Рис. 40.13

Наявність екстремуму функції в точці х0 зумовлена поведінкою функції в околі цієї точки. Так, для функцій, графіки яких зображено на рисунках 40.13, а-г, маємо: функція зростає (спадає) на проміжку (а; х0] і спадає (зростає) на проміжку [х0; b).

Функції, графіки яких зображено на рисунках 40.13, ґ, д, такої властивості не мають: перша з них зростає на кожному з проміжків (а; х0] і [х0; b), друга спадає на цих проміжках.

Узагалі, якщо область визначення неперервної функції розбито на скінченну кількість проміжків зростання і спадання, то легко знайти всі точки екстремуму (рис. 40.14).

Рис. 40.14

Ви знаєте, що за допомогою похідної можна знаходити проміжки зростання (спадання) диференційовної функції. Дві теореми, наведені нижче, показують, як за допомогою похідної можна знаходити точки екстремуму функції.

Теорема 40.2 (ознака точки максимуму функції). Нехай функція f є диференційовною на інтервалі (а; b) і х0 — деяка точка цього інтервалу. Якщо для всіх х ∈ (а; х0] виконується нерівність f'(x) ≥ 0, а для всіх х є [х0; b) виконується нерівність f' (x) ≤ 0, то точка х0 є точкою максимуму функції f (рис. 40.13, а).

Теорема 40.3 (ознака точки мінімуму функції). Нехай функція f є диференційовною на інтервалі (а; b) і х0 — деяка точка цього інтервалу. Якщо для всіх х ∈ (а; х0] виконується нерівність f' (x) ≤ 0, а для всіх х є [х0; b) виконується нерівність f'(x) ≥ 0, то точка х0 є точкою мінімуму функції f (рис. 40.13, б).

Доведемо теорему 40.2 (теорему 40.3 можна довести аналогічно).

Доведення. Нехай х1 — довільна точка інтервалу (а; х0). З теореми Лагранжа для відрізка [х1; х0] випливає існування такої точки с ∈ (х1, х0), що

Оскільки с ∈ (а; х0], то f'(с) ≥ 0. З нерівностей f'(c) ≥ 0 і х0 -x1 > 0 отримуємо: f(х0) ≥ f(х1).

Аналогічно для довільної точки х2∈ (х0; b) можна довести, що f(х0) ≥ f(х2).

Звідси випливає, що х0 — точка максимуму.

Інколи зручно користуватися спрощеними формулюваннями цих двох теорем: якщо при переході через точку х0 похідна змінює знак із плюса на мінус, то х0 — точка максимуму; якщо похідна змінює знак з мінуса на плюс, то х0 — точка мінімуму.

Для функції f точки екстремуму можна шукати за такою схемою.

1) Знайти f'(х).

2) Дослідити знак похідної в околах критичних точок.

3) Користуючись відповідними теоремами, стосовно кожної критичної точки з’ясувати, чи є вона точкою екстремуму.

ПРИКЛАД Знайдіть точки екстремуму функції:

Розв’язання. 1) Маємо:

f (х) = 6х2 - 6х -12 = 6 (х2 - х - 2) = 6 (х +1) (х - 2).

Методом інтервалів дослідимо знак похідної в околах критичних точок х1 =-1, х2 = 2 (рис. 40.15). Отримуємо: хmах = -1, хmіn = 2.

Рис. 40.15

Рис. 40.16

2) f (х) = 4х - 4х3 = -4х (х2 -1) = -4х (х +1) (х -1).

Дослідивши знак похідної (рис. 40.16), отримуємо: хmах = -1, xmіn = 0 i xmax = 1 .

3) Маємо:

Дослідимо знак похідної в околах критичних точок х1 = -1, х2 = З (рис. 40.17). Отримуємо: хmax = -1, xmin = 3.

4) Маємо:

Рис. 40.17

Якщо 0 < х ≤ 2, то f' (х) ≤ 0; якщо х > 2, то f' (х) ≥ 0. Отже, критична точка х = 2 є точкою мінімуму, тобто xmin = 2.

?

1. Я куточку називають точкою максимуму функції? точкою мінімуму функції? критичною точкою функції?

2. Сформулюйте ознаку максимуму функції; ознаку мінімуму функції.

ВПРАВИ

40.1. На рисунку 40.18 зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [-10; 9]. Укажіть: 1) критичні точки функції; 2) точки мінімуму; 3) точки максимуму.

Рис. 40.18

40.2. На рисунку 40.19 зображено графік функції y = f(х), визначеної на проміжку [-7; 7]. Укажіть: 1) критичні точки функції; 2) точки мінімуму; 3) точки максимуму.

Рис. 40.19

40.3. На рисунку 40.20 укажіть графік функції, для якої точка х0 є точкою мінімуму.

Рис. 40.20

40.4. Чи має критичні точки функція:

40.5. На рисунку 40.21 зображено графік функції y = f(x), визначеної на множині дійсних чисел. Чи є правильною рівність:

1) f' (-3) = 0; 4) f (1) = 0;

2) f (-2) = 0; 5) f (2) = 0;

3) f (0) = 0; 6) f' (3) = 0?

40.6. Знайдіть точки мінімуму і максимуму функції:

40.7. Знайдіть точки мінімуму і максимуму функції:

40.8.Функція у = f(x) диференційовна на множині дійсних чисел. На рисунку 40.22 зображено графік її похідної. Укажіть точки максимуму і мінімуму функції у = f(x).

Рис. 40.21

Рис. 40.22

40.9. Функція y = f(x) диференційовна на множині дійсних чисел. На рисунку 40.23 зображено графік функції у = f (х). Скільки точок екстремуму має функція у = f(х)?

40.10. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

Рис. 40.23

40.11. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

1) f(x) = 3х4 - 8х3 + 6х2 - 9; 2) f(х) = (х + 4)4 (х - 3)3.

40.12. Доведіть, що дана функція не має точок екстремуму:

40.13. Доведіть, що дана функція не має точок екстремуму:

1) f(x) = 6х5 - 15х4 + 10х3 - 20; 2) f(х) = cos х + х.

40.14. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

40.15.Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

40.16. Чи є правильним твердження:

1) значення функції в точці максимуму може бути меншим від значення функції в точці мінімуму;

2) функція в точці екстремуму може бути недиференційовною;

3) якщо похідна в деякій точці дорівнює нулю, то ця точка є точкою екстремуму функції?

40.17. Чи є правильним твердження:

1) у точці екстремуму похідна функції дорівнює нулю;

2) якщо функція в деякій точці недиференційовна, то ця точка є точкою екстремуму функції?

40.18. Чи є правильним твердження: якщо х0∈ М, і функція f є диференційовною в точці х0, то f' (х0) = 0?

40.19. Чи може мати тільки одну точку екстремуму: 1) парна функція; 2) непарна функція; 3) періодична функція?

40.20. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

40.21. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

40.22. При яких значеннях а функція у = х3 - 3ах2 + 27х - 5 має тільки одну критичну точку?

40.23. При яких значеннях а функція має тільки одну критичну точку?

40.24. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

40.25. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

40.26. Точка х0 — критична точка функції f. Для всіх х < х0 виконується нерівність f'(x) > 0, а для всіх х > х0 — нерівність f'(х) < 0. Чи може точка х0 бути точкою мінімуму?

40.27. Знайдіть точки мінімуму і максимуму функції:

40.28. Знайдіть точки мінімуму і максимуму функції:

40.29. При яких значеннях параметра а функція має додатну точку мінімуму;

40.30. При яких значеннях параметра а функція має додатну точку мінімуму;

40.31. При яких значеннях параметра а точка х0 = 1 є точкою мінімуму функції

40.32.” При яких значеннях параметра а точка х0 = 0 є точкою максимуму функції

40.33. При яких значеннях параметра а точка х0 = 1 є точкою екстремуму функції у - х3 - ах2 + (а2 - 2а) х - 7?

40.34. При яких значеннях параметра а точка х0 = 2 є точкою екстремуму функції у = х3 - 2ах2 + (2а2 - 2а) х + 9?

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

40.35. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(х) = = -х2 + 4 х + 9 на проміжку:

1) [1; 2]; 2) [-1; 4]; 3) (2; ∞).

40.36. Знайдіть найбільше і найменше значення функції у = sin х на проміжку:






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.