Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§5 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

41. Найбільше і найменше значення функції на відрізку

Яку кількість продукції треба випустити підприємству, щоб отримати найбільший прибуток? Як, маючи обмежені ресурси, виконати виробниче завдання за найменший час? Як доставити товар у торговельні точки так, щоб витрати палива були найменшими?

З такими й подібними задачами на пошук найкращого або, як говорять, оптимального розв’язку людині досить часто доводиться стикатися у своїй діяльності.

Уявимо, що відомо функцію, яка описує, наприклад, залежність прибутку підприємства від кількості виготовленої продукції. Тоді задача зводиться до пошуку аргументу, при якому функція набуває найбільшого значення.

У цьому пункті ми з’ясуємо, як можна знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку [а; b]. Обмежимося розглядом лише неперервних функцій.

Зауважимо, що точка, у якій функція набуває найменшого значення, не обов’язково є точкою мінімуму.

Наприклад, на рисунку 41.1 а точок мінімуму функція f не має. Також точка мінімуму не обов’язково є точкою, у якій функція набуває найменшого значення. На рисунку 41.2, а точка х2 — єдина точка мінімуму, а найменше значення досягається в точці а.

Рис. 41.1

Аналогічне зауваження стосується і точок максимуму та точок, у яких функція досягає найбільшого значення.

На рисунку 41.2 подано різні випадки розташування точок екстремумів і точок, у яких функція набуває найбільшого та найменшого значень.

Тут важливо зрозуміти, що властивість функції мати точку екстремуму х0 означає таке: функція набуває в точці х0 найбільшого (найменшого) значення порівняно зі значеннями функції в усіх точках деякого, можливо, дуже малого околу точки х0. Щоб наголосити на цьому факті, точки екстремуму називають іще точками локального максимуму або точками локального мінімуму (від латин, locus — місце).

Рис. 41.2

Неперервна на відрізку [а; b] функція набуває на цьому проміжку своїх найбільшого і найменшого значень або на кінцях відрізка, або в точках екстремуму (рис. 41.2).

Зважаючи на це, для такої функції пошук найбільшого і найменшого значень на відрізку [а; b] можна проводити, користуючись такою схемою.

1. Знайти критичні точки функції f, які належать проміжку [a; b].

2. Обчислити значення функції в знайдених критичних точках і на кінцях розглядуваного відрізка.

3. З усіх знайдених значень вибрати найбільше і найменше.

Зрозуміло, що цей алгоритм можна реалізувати лише тоді, коли розглядувана функція f має скінченну кількість критичних точок на відрізку [а; b].

Якщо визначити, які з критичних точок є точками екстремуму, то кількість точок, у яких треба шукати значення функції, можна зменшити. Проте щоб виявити точки екстремуму, зазвичай потрібна більша технічна робота, ніж для обчислення значень функції в критичних точках.

ПРИКЛАД 1 Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(х) = 4х3 - 9х2 - 12х + 6 на відрізку [-2; 0].

Розв’язання. Знайдемо критичні точки даної функції:

Таким чином, функція f має дві критичні точки, а проміжку [-2; 0] належить одна: х = - .

Маємо:

Отже,

Відповідь:

ПРИКЛАД 2 Подайте число 8 у вигляді суми двох таких невід’ємних чисел, щоб сума куба першого числа та квадрата другого була найменшою.

Розв’язання. Нехай перше число дорівнює х, тоді друге дорівнює 8 - х. З умови випливає, що 0 ≤ х ≤ 8.

Розглянемо функцію f(х) = х3 + (8 - х)2, визначену на відрізку [0; 8], і знайдемо, при якому значенні х вона набуває найменшого значення.

Маємо: f(х) = 3х2 - 2(8 - х) = 3х2 + 2х -16. Знайдемо критичні точки даної функції:

Серед знайдених чисел відрізку [0; 8] належить тільки число 2. Отримуємо:

f(2) = 44, f(0) = 64, f(8) = 512.

Отже, функція f набуває найменшого значення при х = 2.

Відповідь: 8 = 2 + 6.

ПРИКЛАД 3 Знайдіть сторони прямокутника, вписаного в коло радіуса R, при яких площа прямокутника набуває найбільшого значення.

Розв’язання. Розглянемо прямокутник ABCD, вписаний у коло радіуса R (рис. 41.3). Нехай АВ = х, тоді

Звідси площа прямокутника ABCD дорівнює

З умови задачі випливає, що значення змінної х задовольняють нерівність 0 < х < 2R, тобто належать проміжку (0; 2R). Таким чином, задача звелася до знаходження найбільшого значення функції на інтервалі (0; 2R).

Розглянемо неперервну функцію D(f) = [0; 2R], і визначимо її найбільше значення на відрізку [0; 2R]. Знайдемо критичні точки функції f:

Функція f має одну критичну точку x = R.

Рис. 41.3

Маємо:

Отже,

Звідси отримуємо, що функція на інтервалі (0; 2R) набуває найбільшого значення при x = R.

Тоді

Отже, серед прямокутників, вписаних у коло радіуса R, найбільшу площу має квадрат зі стороною R.

ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Розглянемо функцію

D(f) = [2; 4]. Для всіх х ∈ (2; 4) маємо:

Розв’яжемо рівняння f (х) = 0.

Запишемо:

Звідси легко знайти, що

х = 3. Отже, функція f на відрізку [2; 4] має єдину критичну точку х = 3.

Оскільки функція f є неперервною на відрізку [2; 4], то її найбільше і найменше значення знаходяться серед чисел f(3), f(2), f(4). Маємо: f(3) = 2, f (2) = f (4) = .

Таким чином, причому найбільшого значення функція f набуває лише при х = 3.

Оскільки нам потрібно розв’язати рівняння f(х) = 2, то отримуємо, що x = З є його єдиним коренем.

Відповідь: 3.

Опишіть, як знаходити найбільше і найменше значення неперервної на відрізку функції.

ВПРАВИ

41.1. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вказаному відрізку:

1) f(x) = 3х2 - х3, [-1; 3]; 2) f(х) = х4 - 2х2 + 5, [0; 2];

41.2. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вказаному відрізку:

41.3. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вказаному відрізку:

41.4. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вказаному відрізку:

41.5. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вказаному відрізку:

41.6. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вказаному відрізку:

41.7. Подайте число 8 у вигляді суми двох таких невід’ємних чисел, щоб добуток одного із цих чисел і куба другого числа був найбільшим.

41.8. Подайте число 12 у вигляді суми двох невід’ємних чисел так, щоб добуток квадрата одного із цих чисел і подвоєного другого числа був найбільшим.

41.9. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вказаному відрізку:

41.10. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вказаному відрізку:

41.11. Розбийте число 180 на три таких невід’ємних доданки, щоб два з них відносились як 1 : 2, а добуток усіх трьох доданків був найбільшим.

41.12. Подайте число 18 у вигляді суми трьох таких невід’ємних чисел, щоб два з них відносились як 8 : 3, а сума кубів цих трьох чисел була найменшою.

41.13. У трикутник ABC вписано прямокутник так, що дві його вершини лежать на стороні АС, а дві інші — на сторонах АВ і ВС. Знайдіть найбільше значення площі такого прямокутника, якщо АС = 12 cт, BD = 10 см, де BD — висота трикутника ABC.

41.14. У прямокутний трикутник з гіпотенузою 16 см і гострим кутом 30° вписано прямокутник, дві вершини якого лежать на гіпотенузі, а дві інші — на катетах. Якими мають бути сторони прямокутника, щоб його площа була найбільшою?

41.15. У півколо радіуса 20 см вписано прямокутник найбільшої площі. Знайдіть сторони прямокутника.

41.16. У півколо радіуса 6 см вписано прямокутник найбільшого периметра. Знайдіть сторони прямокутника.

41.17. Дві вершини прямокутника належать графіку функції а дві інші — осі абсцис. Яку найбільшу площу може мати такий прямокутник?

41.18. Дві вершини прямокутника належать графіку функції а дві інші — прямій у = 9. Яку найбільшу площу може мати такий прямокутник?

41.19. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 48 см. Якою має бути довжина основи трикутника, щоб його площа набувала найбільшого можливого значення?

41.20. У трапеції менша основа й бічні сторони дорівнюють а. Якою має бути більша основа трапеції, щоб площа трапеції була найбільшою?

41.21. У рівнобедрений трикутник вписано коло радіуса r. Яким має бути кут при основі трикутника, щоб його площа була найменшою?

41.22. Яким має бути кут при вершині рівнобедреного трикутника заданої площі, щоб радіус вписаного в цей трикутник кола був найбільшим?

41.23. На колі радіуса R позначили точку А. На якій відстані від точки А треба провести хорду ВС, паралельну дотичній у точці А, щоб площа трикутника ABC була найбільшою?

41.24. Фігуру обмежено графіком функції у = , прямою у = 2 і віссю ординат. У якій точці графіка функції у = (0 ≤ х ≤ 4) треба провести дотичну, щоб вона відтинала від указаної фігури трикутник найбільшої площі?

41.25. На координатній площині розміщено прямокутний трикутник ABC (∠ABC = 90°). Вершина А має координати (-2; 0), вершина В належить відрізку [2; 3] осі абсцис, а вершина С — параболі у = х2 - 4х + 1. Якими мають бути координати точки С, щоб площа трикутника ABC була найбільшою?

41.26. Пункти А, В і С знаходяться у вершинах прямокутного трикутника ABC (∠ACB = 90°), АС = 285 км, ВС = 60 км. Пункти А і С сполучає залізниця. У яку точку відрізка АС слід провести ґрунтову дорогу з пункту В, щоб час перебування в дорозі від пункту А до пункту В був найменшим, якщо відомо, що швидкість руху залізницею дорівнює 52 км/год, а ґрунтовою дорогою — 20 км/год?

41.27. Завод А розміщено на відстані 50 км від прямолінійної ділянки залізниці, яка прямує в місто В, і на відстані 130 км від міста В. Під яким кутом до залізниці слід провести шосе від заводу А, щоб доставка вантажів з А до B була найдешевшою, якщо вартість перевезення по шосе у 2 рази більша, ніж залізницею?

41.28. Доведіть нерівність -20 < х3 - 3х2 < 16, де х ∈ [-2; 4].

41.29. Розв’яжіть рівняння

41.30. Розв’яжіть рівняння

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

41.31. Обчисліть значення виразу:

41.32. Розв’яжіть нерівність:






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.