Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§5 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

43. Побудова графіків функцій

Коли вам доводилося будувати графіки, ви зазвичай робили так: позначали на координатній площині деяку кількість точок, які належать графіку, а потім сполучали їх. Точність побудови залежала від кількості позначених точок.

На рисунку 43.1 зображено кілька точок, які належать графіку деякої функції у = f(х). Ці точки можна сполучити по-різному, наприклад так, як показано на рисунках 43.2 і 43.3.

Рис. 43.1

Рис. 43.2

Проте якщо знати, що функція f зростає на кожному з проміжків [х1; х2] і [х3; х4], спадає на проміжку [х2; х3] та є диференційовною, то, скоріше за все, буде побудовано графік, зображений на рисунку 43.4.

Рис. 43.3

Рис. 43.4

Ви знаєте, які особливості притаманні графікам парної, непарної, періодичної функцій тощо. Узагалі, чим більше властивостей функції вдалося з’ясувати, тим точніше можна побудувати її графік.

Дослідження властивостей функції проводитимемо за таким планом.

1. Знайти область визначення функції.

2. Дослідити функцію на парність.

3. Знайти нулі функції.

4. Знайти проміжки знакосталості функції.

5. Знайти проміжки зростання і спадання функції.

6. Знайти точки екстремуму та значення функції в точках екстремуму.

7. Виявити інші особливості функції (періодичність функції, поведінку функції в околах окремих важливих точок тощо).

Зауважимо, що наведений план дослідження має рекомендаційний характер і не є незмінним та вичерпним. Під час дослідження функції важливо виявити такі її властивості, які дадуть змогу коректно побудувати графік.

ПРИКЛАД 1 Дослідіть функцію і побудуйте її графік.

Розв’язання. 1. Функція визначена на множині дійсних чисел, тобто D (f) = ℝ.

2. Маємо:

Звідси f(-х) ≠ f(х) і f(-х) ≠ -f(х), тобто функція у = f(-х) не збігається ні з функцією у = f(х), ні з функцією у = -f(х). Таким чином, дана функція не є ні парною, ні непарною.

3-4. Маємо:

Числа 0 і 6 є нулями функції f. Застосувавши метод інтервалів (рис. 43.5), знаходимо проміжки знакосталості функції f, а саме: установлюємо, що f(х) > 0 при х ∈ (-∞; 0) U (0; 6) і f(х) < 0 при х ∈ (6; +∞).

Рис. 43.5

Рис. 43.6

Рис. 43.7

5-6. Маємо:

Дослідивши знак похідної (рис. 43.6), доходимо висновку, що функція f зростає на проміжку [0; 4], спадає на кожному з проміжків (-∞; 0] і [4; +∞). Отже, хmах = 4, хmіn = 0. Отримуємо: f(4) = 8, f(0) = 0.

7. Маємо: f"(х) = 3 - .

Дослідивши знак другої похідної (рис. 43.7), робимо висновок, що функція f є опуклою вниз на проміжку (-∞; 2], опуклою вгору на проміжку [2; +∞), х0 = 2 є точкою перегину і f(2) = 4.

Ураховуючи отримані результати, будуємо графік функції (рис. 43.8).

Рис. 43.8

ПРИКЛАД Дослідіть функцію і побудуйте її графік.

Розв’язання

1. Функція визначена на множині (-∞; -4) U (-4; 0) U (0; +∞).

2. Область визначення функції несиметрична відносно початку координат, отже, дана функція не є ні парною, ні непарною.

3. Функція не має нулів.

Рис. 43.9

Рис. 43.10

4. Маємо:

Звідси f(х) > 0 при х ∈ (-∞; -4) U (0; +∞),

f(х) < 0 при х ∈ (-4; 0) (рис. 43.9). 5-6.

Маємо:

Дослідивши знак f (рис. 43.10), доходимо висновку, що функція f спадає на кожному з проміжків [-2; 0) і (0; +∞), зростає на кожному з проміжків (-∞; -4) і (-4; -2], хmах = -2, f(-2) = -1.

7. Зауважимо, що коли значення аргументу х вибирати все більшими й більшими, то відповідні значення функції все менше й менше відрізнятимуться від числа 0 і можуть стати як завгодно малими. Цю властивість прийнято записувати так:

або так:

при х +∞. У такому разі пряму у = 0 називають горизонтальною асимптотою графіка функції f при х +∞. Аналогічно можна встановити, що пряма у = 0 є горизонтальною асимптотою графіка функції f при х -∞. Якщо значення аргументу х прямують до нуля, залишаючись додатними, то відповідні значення функції стають усе більшими й більшими та можуть стати більшими за довільне наперед задане додатне число. У такому разі пряму х = 0 називають вертикальною асимптотою графіка функції f, коли х прямує до нуля справа. Пряма х = 0 також є вертикальною асимптотою графіка функції f, коли х прямує до нуля зліва. Функція f має ще одну вертикальну асимптоту — пряму х = -4, коли х прямує до -4 як зліва, так і справа.

Маємо:

Спростивши дріб, отримаємо:

Рис. 43.11

Дослідивши знак f" (рис. 43.11), доходимо висновку, що функція f є опуклою вниз на проміжках (-∞; -4) і (0; +∞), опуклою вгору на проміжку (-4; 0), точок перегину не має.

Ураховуючи отримані результати, будуємо графік функції f (рис. 43.12).

Рис. 43.12

ПРИКЛАД 3 Користуючись графіком функції f(х) = х4 - 4х2 + 3, визначте, скільки коренів має рівняння f(x) = а залежно від значення параметра а.

Розв’язання. Функція визначена на множині дійсних чисел, тобто D (f) = ℝ.

Маємо:

Отже, функція f має три критичні точки: -; 0; .

Дослідивши знак похідної (рис. 43.13), отримуємо: функція f зростає на проміжках спадає на проміжках

Маємо:

Рис. 43.13

Ураховуючи отримані результати, будуємо графік функції (рис. 43.14).

Рис. 43.14

Рис. 43.15

Користуючись побудованим графіком, визначаємо кількість коренів рівняння f(x) = a залежно від значення параметра а (рис. 43.15):

якщо а < -1, то коренів немає;

якщо а = -1 або а > 3, то два корені;

якщо а = 3, то три корені;

якщо -1 < а < 3, то чотири корені.

Зауваження. Із розв’язування даної задачі вилучено пункти 2-4, 7 плану дослідження властивостей функції. Властивості функції, які досліджуються в цих пунктах, не потрібні для визначення кількості коренів рівняння f(x) = a.

ПРИКЛАД 4 Дослідіть функцію і побудуйте її графік.

Розв’язання

1. Функція визначена на множині

2. Функція не є ні парною, ні непарною.

3. Розв’язавши рівняння установлюємо, що х = 0 — єдиний нуль даної функції.

Дослідивши знак f' (рис. 43.16), доходимо висновку, що функція f спадає на кожному з проміжків зростає на кожному з проміжків (-∞; 0] і [2; +∞) ,

Рис. 43.16

7. Маємо:

Дослідивши знак f" (рис. 43.17), доходимо висновку, що функція f є опуклою вниз на кожному з проміжків опуклою вгору на проміжку

— точка перегину

Пряма — вертикальна асимптота графіка даної функції.

Маємо:

Рис. 43.17

Оскільки то при х +∞ відстані від точок графіка функції f до відповідних точок прямої у = х стають усе меншими й меншими та можуть стати меншими від довільного наперед заданого додатного числа. У цьому разі пряму у = х називають похилою асимптотою графіка функції f при х +∞.

Також можна показати, що пряма у = х є похилою асимптотою графіка функції f при х -∞.

Ураховуючи отримані результати, будуємо графік функції (рис. 43.18).

Рис. 43.18

Опишіть схему дослідження функції.

ВПРАВИ

43.1. Дослідіть функцію та побудуйте її графік:

43.2. Дослідіть функцію та побудуйте її графік:

43.3. Побудуйте графік функції:

43.4. Побудуйте графік функції:

43.5. Побудуйте графік функції f(х) = х2 (2х - 3) і знайдіть, користуючись ним, кількість коренів рівняння f(х) = а залежно від значення параметра а.

43.6. Побудуйте графік функції f(х) = -х22 - 4) і знайдіть, користуючись ним, кількість коренів рівняння f(х) = а залежно від значення параметра а.

43.7. Побудуйте графік функції:

43.8. Побудуйте графік функції:

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

43.9. Знайдіть найменший додатний корінь рівняння

43.10. Розв’яжіть рівняння






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.