Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§5 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

ГОЛОВНЕ В ПАРАГРАФІ 5

Границя функції

Число а називають границею функції f у точці х0, якщо для будь-якого додатного числа є існує такий інтервал І, який містить точку х0, що для будь-якого x ∈ І ⋂ D(f) і х ≠ х0виконується нерівність І f(х) - а f < ε.

Арифметичні дії з границями функцій

Якщо функції у = f(х) і у = g(x) мають границю в точці х0, то функції у = f(х) + g(x), у = f(х) - g’(x), у = f(х) g(x) також мають границю в точці х0, причому

Якщо, крім цього, границя функції у = g(x) у точці х0 відмінна від нуля, то функція також має границю в точці х0 і

Неперервні функції

Якщо виконується рівність то функцію f називають неперервною в точці х0.

Якщо функція f є неперервною в кожній точці деякої множини М ⊂ ℝ, то говорять, що вона неперервна на множині М. Якщо функція / є неперервною на D(f), то таку функцію називають неперервною.

Якщо функція f є диференційовною в точці х0, то вона є неперервною в цій точці.

Похідна

Похідною функції f у точці х0 називають число, яке дорівнює границі відношення приросту функції f у точці х0 до відповідного приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля.

Якщо функція f має похідну в точці х0, то цю функцію називають диференційовною в точці х0.

Якщо функція f диференційовна в кожній точці деякої множини М, то говорять, що вона диференційовна на множині М. Якщо функція f диференційовна на D(f), то її називають диференційовною.

Знаходження похідної функції f називають диференціюванням функції f.

Геометричний зміст похідної

Кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х0, дорівнює значенню похідної функції f у точці х0, тобто k (х0) = f' (х0).

Механічний зміст похідної

Якщо у = s(t) — закон руху матеріальної точки по координатній прямій, то її миттєва швидкість у момент часу t0 дорівнює значенню похідної функції у = s(t) у точці t0, тобто v(t0) = s'(t0).

Рівняння дотичної

Рівняння дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х0, має вигляд: у = f' (х0) (х - х0) + f (х0).

Основні теореми диференціального числення

Теорема Ферма. Нехай функція f, визначена на проміжку [а; b], у точці х0∈ (а; b) набуває свого найменшого (найбільшого) значення. Якщо функція f є диференційовною в точці х0, то f'(x0) = 0.

Теорема Ролля. Якщо функція f є диференційовною на відрізку [а; b], причому f(а) = f(b), то існує така точка х0 є (а; b), що f' (х0) = 0.

Теорема Лагранжа. Якщо функція f є диференційовною на відрізку [а; b], то існує така точка х0∈ (а; b), що

Ознаки зростання і спадання функції

Якщо для всіх х із проміжку І виконується рівність f (х) = 0,

то функція f є константою на цьому проміжку.

Якщо для всіх х із проміжку І виконується нерівність f' (х) > 0,

то функція f зростає на цьому проміжку.

Якщо для всіх х із проміжку І виконується нерівність f' (х) < 0, то функція f спадає на цьому проміжку.

Точки екстремуму функції

Точку х0 називають точкою максимуму функції f, якщо існує окіл точки х0 такий, що для всіх х із цього околу виконується нерівність f(х0) ≥ f (x).

Точку х0 називають точкою мінімуму функції f, якщо існує окіл точки х0 такий, що для всіх х із цього околу виконується нерівність f(х0) ≤ f (x).

Якщо х0 є точкою екстремуму функції f, то або f'(х0) = 0, або функція f не є диференційовною в точці х0.

Внутрішні точки області визначення функції, у яких похідна дорівнює нулю або не існує, називають критичними точками функції.

Якщо при переході через точку х0 похідна змінює знак із плюса на мінус, то х0 — точка максимуму; якщо похідна змінює знак з мінуса на плюс, то х0 — точка мінімуму.

Найбільше і найменше значення функції на відрізку

Неперервна на відрізку [а; b] функція набуває на цьому проміжку своїх найбільшого і найменшого значень або на кінцях відрізка, або в точках екстремуму.

Поняття опуклості функції

Якщо для всіх х є І виконується нерівність f" (х) ≥ 0, то функція f є опуклою вниз на проміжку І.

Якщо для всіх х є І виконується нерівність f" (х) ≤ 0, то функція f є опуклою вгору на проміжку І.

План проведення дослідження властивостей функції

1. Знайти область визначення функції.

2. Дослідити функцію на парність.

3. Знайти нулі функції.

4. Знайти проміжки знакосталості функції.

5. Знайти проміжки зростання і спадання функції.

6. Знайти точки екстремуму та значення функції в точках екстремуму.

7. Виявити інші особливості функції (періодичність функції, поведінку функції в околах окремих важливих точок тощо).






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.