Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§1 ПОВТОРЕННЯ ТА РОЗШИРЕННЯ ВІДОМОСТЕЙ ПРО МНОЖИНИ ТА ФУНКЦІЇ

4. Обернена функція

На рисунках 4.1, 4.2 зображено графіки функцій f i g.

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Будь-яка горизонтальна пряма перетинає графік функції f не більше ніж в одній точці. Це означає, що кожному числу у0 є E(f) відповідає єдине число х0 є D(f) таке, що у0 = f (х0). Функція g такої властивості не має. Справді, з рисунка 4.2 видно, що значенню у0 відповідають два значення аргументу х1 і х2 такі, що y0 = g(x1) і y0 = g(x2).

Означення. Функцію y = f(x) називають оборотною, якщо для будь-якого у0∈ E(f) існує єдине х0∈ D(f) таке, що y0 = f(x0).

Функція f (рис. 4.1) є оборотною. Функція g (рис. 4.2) не є оборотною.

Функції є прикладами оборотних функцій (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Функція у = х2 не є оборотною. Наприклад, значенню функції, яке дорівнює 4, відповідають два значення аргументу х1 = -2 і х2 = 2.

Теорема 4.1. Якщо функція є зростаючою (спадною), то вона є оборотною.

Доведення. Припустимо, що існує зростаюча функція f, яка не є оборотною. Тоді знайдеться у0∈ E(f), для якого існують х1 і х2 (x1 < х2) такі, що f (x1) = f (х2) = у0. Разом з тим функція f — зростаюча, і з нерівності х1 < х2 випливає, що f(x1) < f (х2). Отримали суперечність.

Аналогічно можна розглянути випадок, коли функціяf є спадною.

Зазначимо, що твердження, обернене до сформульованого в теоремі 4.1, не є правильним, тобто не будь-яка оборотна функція є зростаючою (спадною). Наприклад, на рисунку 4.4 зображено графік оборотної функції, яка не є ні зростаючою, ні спадною.

Рис. 4.4

Розглянемо функцію y = f(x), задану таблично:

Функція f є оборотною.

Поміняємо рядки таблиці місцями та розглянемо функцію у = g(x), задану отриманою таблицею:

Функції f i g зв’язані такими властивостями:

Ці рівності означають, що коли f (х0) = у0, то g(y0) = x0.

Означення. Функції f і g називають взаємно оберненими, якщо:

1) D(f) = E(g) i E(f) = D(g);

2) для будь-якого х0∈ D(f) із рівності f(x0) = y0 випливає, що g (y0) = х0, тобто g (f (х0)) = х0.

У таких випадках говорять, що функція g є оберненою до функції f, а функція f — оберненою до функції g. Функції f i g називають взаємно оберненими.

Таблично задані функції f i g, які розглянуто вище, є прикладами взаємно обернених функцій.

Зазначимо, що другу умову в означенні взаємно обернених функцій можна замінити на таку: для будь-якого х0 є D (g) із рівності g (x0) = y0 випливає, що f (у0) = х0, тобто f (g (х0)) = х0.

ПРИКЛАД Доведіть, що функції f (х) = 2х - 1 і g (x) = є взаємно оберненими.

Розв’язання. Маємо: D (f) = Е (g) = ℝ, Е (f) = D (g) = ℝ. Нехай f (х0) = у0, тобто yn = 2х0 - 1. Доведемо, що g (y0) = х0.

Справді,

Коли функція f не є оборотною, то не існує функції, оберненої до неї. Будь-яка оборотна функція має обернену.

Нехай f — оборотна функція, а функція g — обернена до неї. Функція f — це деяке правило, що дає змогу за значеннями змінної х із множини D (f) знайти відповідне значення змінної у із множини Е (f). Тоді з означення взаємно обернених функцій випливає, що обернена функція g — це правило, згідно з яким за значеннями змінної у можна знайти відповідне значення змінної х.

У розглянутому вище прикладі було доведено, що оберненою до функції у = 2х - 1 є функція y = .

задачі не розкриває, як за даною функцією знайти обернену до неї. Покажемо, як це можна зробити, на прикладі функції у = 2х- 1. Функція у = 2х - 1 зростаюча, тому вона є оборотною.

Щоб визначити обернену функцію, треба задати правило, згідно з яким за кожним значенням змінної у можна знайти таке значення змінної х, що у = 2х - 1.

Маємо: 2х = у + 1, x = .

Остання рівність задає функцію з аргументом у і залежною змінною х.

Традиційно незалежну змінну позначають літерою х, а залежну — літерою у. Дотримуючись цих позначень, можна сказати, що ми знайшли функцію, яку задано формулою y = . Вона і є шуканою.

Розглянемо ще один приклад. Функція у = х2 не є оборотною. Разом з тим ця функція зростає на проміжку [0; +∞). Отже, функція f (х) = х2, D(f) = [0; +∞), є оборотною. Також прийнято говорити, що функція у = х2 є оборотною на множині [0; +∞). Знайдемо функцію, обернену до функції f.

Маємо: у = х2, де х є [0; -∞). Звідси

Рівність = x задає функцію з аргументом у і залежною змінною х.

Скориставшись традиційними позначеннями, отримаємо функцію y = , обернену до функції f.

Теорема 4.2. Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = х.

Доведення. Нехай точка М (а; b) належить графіку функції у = f (х). Тоді b = f (а). Якщо функція g є оберненою до функції f, то g (b) = а, тобто точка N (b; а) належить графіку функції у = g (х).

Покажемо, що точки М і N є симетричними відносно прямої у = х.

Якщо а = b, то точки М і N збігаються та належать прямій у = х.

При а ≠ b маємо (рис. 4.5): тобто точка О рівновіддалена від кінців відрізка MN, а отже, належить серединному перпендикуляру відрізка MN. Середина К відрізка MN має координати тобто належить прямій у = х.

Отже, пряма у = х і є серединним перпендикуляром відрізка MN.

Рис. 4.5

Доведену теорему ілюструють графіки взаємно обернених функцій, які ми розглянули вище (рис. 4.6).

Рис. 4.6

Теорема 4.3. Якщо функція f є зростаючою (спадною), то обернена до неї функція g є також зростаючою (спадною).

Доведення. Припустимо, що функція f зростаюча, але обернена до неї функція g не є зростаючою. Тоді знайдуться такі у1∈ D(g) і у2∈ D(g), що з нерівності у1 < у2 випливатиме нерівність g(y1) ≥ g(y2). Нехай g(y1) = x1, g(y2) = x2, тому х1 > х2. Оскільки

функція f зростаюча, то f (х1) ≥ f (х2), тобто у1≥ у2. Отримали суперечність.

Для спадної функції міркуємо аналогічно.

?

1. Яку функцію називають оборотною?

2. Сформулюйте теорему про оборотність зростаючої (спадної) функції.

3. Які дві функції називають взаємно оберненими?

4. Як розташовані графіки взаємно обернених функцій?

5. Якою є функція, обернена до зростаючої функції? до спадної функції?

ВПРАВИ

4.1. Доведіть, що дана функція не є оборотною:

4.2. Доведіть, що функції f i g є взаємно оберненими:

4.3. Доведіть, що функції f i g є взаємно оберненими:

4.4. Знайдіть функцію, обернену до даної:

4.5. Знайдіть функцію, обернену до даної:

4.6.’ Знайдіть функцію, обернену до даної:

4.7. Знайдіть функцію, обернену до даної:

4.8. Побудуйте в одній системі координат графік даної функції та графік функції, оберненої до неї:

4.9. Побудуйте в одній системі координат графік даної функції та графік функції, оберненої до неї:

1) у = 3х - 1; 2) у = х2 - 4, якщо х ≥ 0.

4.10. Доведіть, що функція, обернена до непарної функції, також є непарною.

4.11. Нехай g — функція, обернена до функції f (х) = х5 + 6х3.

1) Знайдіть g(7).

2) Розв’яжіть рівняння g(x) = -1.

3) Скільки коренів має рівняння g(x) = с залежно від значення параметра с?

4.12. Нехай g — функція, обернена до функції

1) Знайдіть g(28).

2) Розв’яжіть рівняння g(x) = 1.

3) Чи існує таке значення с, що рівняння g(x) = с має два корені?

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

4.13. Розв’яжіть нерівність:

4.14. Яким числом, додатним чи від’ємним, є значення виразу х - 2, якщо:

1) х ∈ (2; +∞); 3) х ∈ (-∞; -3);

2) х ∈ (-3; -2); 4) х ∈ (5; 9)?

4.15. Розкладіть на множники квадратний тричлен:

1) х2 + х - 6; 3)2х2 + 9х -18;

2) 35 - 2х - х2; 4)5х2 -16х + 3.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.