Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§1 ПОВТОРЕННЯ ТА РОЗШИРЕННЯ ВІДОМОСТЕЙ ПРО МНОЖИНИ ТА ФУНКЦІЇ

5. Метод інтервалів

На рисунку 5.1 зображено графік деякої функції f, у якої D (f) = ℝ. і нулями є числа х1, х2 і х3. Ці числа розбивають область визначення функції на проміжки знакосталості (-∞; х1), (x1; х2), (х2; х3), (х3; +∞).

А чи завжди нулі функції розбивають її область визначення на проміжки знакосталості? Відповідь на це питання заперечна. Для функції g, графік якої зображено на рисунку 5.2, проміжок (х2; х3) не є проміжком знакосталості. Справді, якщо х є (х2; х0), то g(x) > 0, а якщо х є [х0; х3), то g (x) < 0.

Рис. 5.1

Принципова відмінність між функціями f i g полягає в тому, що графіком функції f є неперервна крива, а графік функції g такої властивості не має. Говорять, що функція f неперервна в кожній точці області визначення, або неперервна на D(f). Функція g у точці х0∈ D(g) має розрив.

Таке уявлення про неперервну функцію інтуїтивно зрозуміле. Детальніше з неперервними функціями ви ознайомитеся в § 5.

Для подальших міркувань нам буде потрібна така теорема.

Рис. 5.2

Теорема 5.1. Якщо функція неперервна на деякому проміжку і не має на ньому нулів, то вона на цьому проміжку зберігає сталий знак.

Наприклад, функція у = х2 - 1 неперервна на кожному з проміжків (-∞; -1), (-1; 1), (1; +∞) і не має на них нулів. Отже, розглядувана функція на вказаних проміжках зберігає знак (рис. 5.3).

Рис. 5.3

Рис. 5.4

Теорема 5.1 є основою загального методу розв’язування нерівностей виду f (х) > 0 і f (х) < 0, де f — функція, неперервна на D(f).

Роз’яснимо застосування цього методу на прикладі функції, графік якої зображено на рисунку 5.1.

Уявимо собі, що із цього рисунка «зникли» всі точки графіка функції f, за винятком точок A (x1; 0), В (х2; 0), С (х3; 0) (рис. 5.4). Кожний із проміжків (-∞; х1), (x1; х2), (х2; х3), (х3; +оо) не містить нулів функції f.

Функція f є неперервною на цих проміжках. Отже, за теоремою 5.1 зазначені проміжки є проміжками знакосталості функції f.

Залишається з’ясувати, якого знака набувають значення функції f на кожному із зазначених проміжків. Це можна зробити за допомогою «пробних точок».

Нехай, наприклад, а ∈ (-∞; х1) і f (а) > 0. Оскільки (-∞; х1) — проміжок знакосталості функції, то для будь-якого х ∈ (-∞; x1) значення функції має той самий знак, що f (а), отже, виконується нерівність f (х) > 0. Вибираючи по одній точці на кожному проміжку знакосталості та знаходячи значення функції в цій точці, можна визначити знак функції на розглядуваних проміжках.

Описаний метод розв’язування нерівностей називають методом інтервалів.

Наведена нижче теорема дає змогу застосовувати метод інтервалів для нерівностей виду де f (х) і g(x) — многочлени.

Теорема 5.2 Функція де f (х) і g(x) — многочлени, є неперервною на D(y).

Наприклад, функція y = неперервна в кожній точці множини (-∞; 0) U (0; +∞), тобто на D(y).

ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть нерівність (х + 3)(х - 1)(х - 2) > 0.

Розв’язання. Числа -3, 1 і 2 є нулями функції f(х) = (х + 3) х (х - 1)(х - 2), яка є неперервною на D(f) = ℝ. Ці числа розбивають множину ℝ на проміжки знакосталості функції f: (-∞; -3), (-3; 1), (1; 2), (2; +∞) (рис. 5.5).

За допомогою «пробних точок» визначимо знаки функції f на зазначених проміжках.

Рис. 5.5

Маємо:

Результати дослідження знака функції f показано на рисунку 5.6.

Рис. 5.6

Тепер можна записати відповідь.

Відповідь: (-3; 1) U (2; +∞).

Досліджувати знак функції можна усно, фіксуючи результати у вигляді схеми, показаної на рисунку 5.6.

ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Областю визначення функції є множина

Функція f є неперервною на кожному з проміжків (4; +∞), тому нулі -2, 1, 5 функції f розбивають D(f) на такі проміжки знакосталості:

Результат дослідження знака функції f на кожному із цих проміжків показано на рисунку 5.7.

Рис. 5.7

Відповідь:

За допомогою методу інтервалів можна розв’язувати й нестрогу нерівність f(х) ≥ 0 (або f(х) ≤ 0). Множина розв’язків такої нерівності — це об’єднання множини розв’язків нерівності f(х)> 0 (або f(х) < 0) і множини коренів рівняння f (х) = 0.

ПРИКЛАД З Розв’яжіть нерівність

Розв'язання. Радимо, якщо це можливо, многочлени, записані в чисельнику та знаменнику дробу, розкладати на множники. Тоді набагато зручніше досліджувати знак функції на проміжках знакосталості.

Маємо:

Установлюємо (рис. 5.8), що множиною розв’язків нерівності є множина (-∞; -3) U (1; -∞).

Рис. 5.8

Рівняння має єдиний корінь

Об єднавши множини розв'язків рівняння і нерівності, отримаємо відповідь.

Відповідь:

?

1. Чи завжди нулі функції розбивають її область визначення на проміжки знакосталості?

2. Яку властивість має функція, що є неперервною на проміжку та не має на ньому нулів?

3. Опишіть, як розв'язувати нерівності методом інтервалів.

ВПРАВИ

5.1. Розв’яжіть нерівність:

1) х(х - 3)(х + 2) < 0; 3) (2х - 1)(3 - х)(х + 1) < 0;

2) (х + 7) (х + 5) (х - 9) < 0; 4) (х - 6) (7х +1) (2 - 9х) > 0.

5.2. Розв’яжіть нерівність:

1) (х + 3)(х - 1)(х + 4) < 0; 3) (1 - 3х)(х + 2)(3 - х) ≤ 0;

2) (х - 7)(х + 8)(х - 12) ≥ 0; 4) х(5 - х)(6 - х) < 0.

5.3. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

5.4. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

5.5. Розв’яжіть нерівність:

5.6. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

5.7. Розв’яжіть нерівність:

1) (2х + 1)(х - 3)(х2 + 4) < 0; 2) (2 - х)(3х + 5)(х2 - х + 1) > 0.

5.8. Розв’яжіть нерівність:

1) (х4 + 1)(5 - 6х)(х - 2) < 0; 2) (Зх2 - 5х - 2)(2х2 + х + 1) < 0.

5.9. Розв’яжіть нерівність:

1) (х - 4)22 - 7х + 10) < 0; 3) (х - 4)22 - 7х + 10) > 0;

2) (х - 4)22 - 7х + 10) ≤ 0; 4) (х - 4)22 - 7х + 10) ≥ 0;

5.10. Розв’яжіть нерівність:

1) (х - 3)22 + х - 2) < 0; 3) (х - 3)22 + х - 2) > 0;

2) (х - 3)22 + х - 2) ≤ 0; 4) (х - 3)22 + х - 2) ≥ 0;

5.11. Розв’яжіть нерівність:

5.12. Розв’яжіть нерівність:

5.13. Розв’яжіть нерівність:

5.14. Розв’яжіть нерівність:

1) (1 - 3х)3 (х + 2)2 (х + 4)5 (х - 3) > 0;

2) (х2 + 2х -15) (х2 - 4х + 3) (х -1) < 0.

5.15. Розв’яжіть нерівність:

1) (3 - х)3 (х + 2)2 (х - 1)(2х - 5) < 0;

2) (х2 - 4) (х2 + х - 2) < 0.

5.16. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

5.17. Розв’яжіть нерівність:

5.18. Розв’яжіть нерівність:

5.19. Розв’яжіть нерівність:

5.20. Розв’яжіть нерівність:

5.21. Розв’яжіть нерівність:

5.22.” Для кожного значення а розв’яжіть нерівність:

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

5.23. Розкладіть на множники вираз:

1) х3 + 8; 3) 2х4 + 9х2 - 18;

2) 16 - х4; 4) х3 - 4х2 + 2х - 8.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.