Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§1 ПОВТОРЕННЯ ТА РОЗШИРЕННЯ ВІДОМОСТЕЙ ПРО МНОЖИНИ ТА ФУНКЦІЇ

6. Ділення многочленів. Теорема Безу

Ви вмієте додавати, віднімати та множити многочлени. У цьому пункті ми введемо дію ділення многочленів.

Означення. Говорять, що многочлен А(х) ділиться нація о на тотожно не рівний нулю многочлен В (х), якщо існує такий многочлен Q (x), що для будь-якого x ∈ ℝ виконується рівність А (х) = В (х) ∙ Q (х).

Многочлен А (х) називають діленим, многочлен В (х) — дільником, многочлен Q (х) — часткою.

Якщо многочлен А (х) ділиться наділо на многочлен В (х), то це позначають так: А (х) : В (х).

Розглянемо кілька прикладів.

Многочлен х3 + 1 ділиться націло на многочлен х + 1. Справді, х3 + 1 = (х + 1)(х2 - х + 1). Тут діленим є многочлен х3 + 1, дільником — многочлен х + 1, часткою — многочлен x2 - x+ 1.

Многочлен 6х4 - 5х3 + 4х2 - х ділиться націло на многочлен 2х2 - х + 1. Справді, 6х4 - 5х3 + 4х2 - х = (2х2 - х + 1)(3х2 - х).

Зауважимо, що коли ділене — це нульовий многочлен, то він ділиться націло на будь-який многочлен, який тотожно не дорівнює нулю. При цьому частка дорівнює нульовому многочлену.

Пошук частки від ділення двох многочленів можна здійснювати за алгоритмом ділення «куточком», аналогічно тому, як це роблять при діленні чисел:

Якщо А(х) : В(х), тобто існує такий многочлен Q (х), що для будь-якого х ∈ ℝ. виконується рівність А (х) = В (х) ∙ Q (х), і многочлен А (х) ненульовий, то ненульовими є многочлени В (х) і Q (х), причому степінь многочлена А (х) дорівнює сумі степенів многочленів В (х) і Q (х). Отже, для того щоб ненульовий многочлен А (х) ділився націло на ненульовий многочлен В (х), необхідно, щоб степінь діленого був не меншим від степеня дільника. Проте ця умова не є достатньою. Так, многочлен х3 + 1, степінь якого дорівнює 3, не ділиться наділо на многочлен х - 1, степінь якого дорівнює 1. Справді, якби існував многочлен Q (х) такий, що для будь-якого х є К. виконувалася б рівність х3 + 1 = (х-1) Q (х), то при х = 1 отримали б неправильну рівність 13 + 1 = 0.

Теорема 6.1. Для будь-якого многочлена А (х) і ненульового многочлена В (х) існує єдина пара многочленів Q (х) і R (х) таких, що

А (х) = В (х) ∙ Q (х) + R (х),

де степінь многочлена R (х) менший від степеня многочлена В (х) або R (х) — нульовий многочлен.

У цій рівності многочлен Q (х) називають неповною часткою, а многочлен R (х) — остачею.

Доведення цієї теореми виходить за межі розглядуваного курсу.

Розглянемо многочлени А (х) = 2х4 - х3 + х2 - 1 і В (х) = х2 - 3х + 2. Знайдемо для цих многочленів неповну частку й остачу. Це можна зробити за допомогою ділення «куточком»:

Тепер можна записати:

4 - х3 + х2 - 1 = (х2 - 3х + 2)(2х2 + 5х + 12) + 26х - 25.

Означення. Число а називають коренем многочлена і (х), якщо А (а) = 0.

Корінь многочлена А (х) — це корінь рівняння А (х) = 0.

Легко знайти множину коренів рівняння

(3х - 7)(5х + 1)(2х - 9)(х + 1) = 0.

Проте якщо ліву частину рівняння подати у вигляді многочлена 30х4 - 169х3 + 75х2 + 337х + 63, то задача пошуку його коренів стає непростою.

Таким чином, під час розв’язування рівнянь виду А (х) = 0, де А (х) — ненульовий многочлен, важливо навчитися виділяти в многочлені лінійний множник, тобто подавати многочлен у вигляді добутку А (х) = (х - а) В (х), де В (х) — деякий многочлен, степінь якого на 1 менший від степеня многочлена А (х).

Цьому сприятимуть такі теореми.

Теорема 6.2 (теорема Везу). Остача від ділення многочлена А (х) на двочлен х - а дорівнює А (а).

Доведення. Оскільки степінь дільника (двочлена х - а) дорівнює 1, то степінь остачі має дорівнювати нулю або остача має бути нульовим многочленом, тобто шукана остача — це деяке число r. Для будь-якого х ∈ ℝ маємо:

А (х) = (х - a) Q (х) + r.

Поклавши в цій рівності х = а, отримаємо:

А (а) = (а - а) Q (а) + r.

Звідси А (а) = r.

Теорема 6.3. Число а є коренем многочлена А (х) тоді й тільки тоді, коли многочлен А (х) ділиться націло на двочлен х - а.

Доведення. Нехай А (а) = 0. Доведемо, що А(х) : (х - а).

За теоремою Везу А (а) є остачею від ділення многочлена А (х) на двочлен х - а. Проте А (а) = 0, отже, А (х) : (х - а).

Нехай тепер А(х) : (х - а). Доведемо, що А(а) = 0.

Оскільки А (х) : (х - а), то остача від ділення многочлена А (х) на двочлен х - а дорівнює 0, тобто А (а) = 0.

Наслідок 1. Якщо {а1, а2, ..., аn} — множина коренів многочлена А (х), то А (х) = (х - a1) (х - а2) ∙... ∙ (х - аn) ∙ Q (х), де Q (х) — деякий многочлен.

Доведіть цю теорему самостійно.

Наслідок 2. Множина коренів многочлена степеня n містить не більше ніж п елементів.

Доведіть цю теорему самостійно.

Етьєн Безу (1730-1783)

Французький математик, основні роботи якого стосуються вищої алгебри. Викладав математику в училищі гардемаринів, Королівському артилерійському корпусі. Автор шеститомної праці «Курс математики».

Наслідок 3. Якщо множина коренів многочлена аnхn + + аn-1хn-1+ ... + а1х + а0 містить більше ніж n елементів, то аn = аn-1 = ... = а1 = а0 = 0, тобто цей многочлен тотожно дорівнює нулю.

Доведення. Якщо припустити, що даний многочлен ненульовий, то його степінь не перевищує n. Тоді множина його коренів не може містити більше n елементів. Отже, даний многочлен є нульовим.

ПРИКЛАД 1 Остачі від ділення многочлена Р (х) на двочлени х - 2 і х - 3 відповідно дорівнюють 5 і 7. Знайдіть остачу від ділення многочлена Р (х) на многочлен х2 - 5х + 6.

Розв’язання. Оскільки степінь многочлена х2 - 5х + 6 дорівнює 2, то степінь шуканої остачі не більший за 1 або остача є нульовим многочленом, а тому остача — це многочлен виду ах + b.

Маємо: Р (х) = (х2 - 5х + 6) Q (х) + ах + b. Звідси Р (х) = (х - 2)(х - 3) Q (х) + ах +b.

Підставимо по черзі в цю рівність х = 2 і х = 3. Отримуємо:

Р (2) = 2a + b, Р (3) = 3а + b.

З урахуванням умови та теореми Безу Р (2) = 5 і Р (3) = 7. Тоді

Звідси а = 2, b = 1. Отже, шуканою остачею є многочлен 2х + 1.

Відповідь: 2х + 1.

Розглянемо многочлен А (х) = аnхn + аn-1хn-1 + ... + а1х + а0. Рівняння виду А (х) = 0 називають цілим раціональним рівнянням.

Числа а0, а1, ..., аn називають коефіцієнтами цілого раціонального рівняння, число а0 — вільним членом цього рівняння.

Можна довести, що справедливою є така теорема.

Теорема 6.4. Якщо ціле раціональне рівняння із цілими коефіцієнтами має цілий корінь, то він є дільником вільного члена.

Теорема 6.4 допомагає розв’язувати цілі раціональні рівняння із цілими коефіцієнтами, які мають цілі корені.

ПРИКЛАД 2

Розв’яжіть рівняння 2х4 - 5х3 - 2х2 - х - 6 = 0.

Розв’язання. Щоб перевірити, чи має це рівняння цілі корені, випишемо всі дільники його вільного члена: 1; - 1; 2; -2; 3; -3; 6; -6.

Перевіркою встановлюємо, що х = -1 є коренем даного рівняння. Отже, многочлен А (х), який стоїть у лівій частині рівняння, ділиться націло на двочлен х + 1, тобто рівняння можна переписати

так: (х + 1) В (х) = 0. Многочлен В (х) можна знайти, виконавши ділення «куточком» многочлена А (х) на двочлен (х + 1). Отримуємо

В (х) = 2х3 - 7х2 + 5х - 6.

З’ясуємо, чи має цілі корені рівняння 2х3 - 7х2 + 5х - 6 = 0. Випишемо дільники вільного члена: 1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6.

Перевіркою встановлюємо, що число 3 є коренем цього рівняння. Тоді В (х) = (х - 3) С (х). Діленням «куточком» знайдемо многочлен С (х). Отримуємо С (х) = 2х2 - х + 2.

Очевидно, що рівняння С (х) = 0 коренів не має. Таким чином, початкове рівняння має два корені -1 і 3.

Відповідь: -1; 3.

?

1. У якому разі говорять, що многочлен А (х) ділиться націло на многочлен В (х)?

2. Якою є необхідна умова ділення націло одного многочлена на другий?

3. Сформулюйте теорему про ділення многочленів з остачею.

4. Що називають коренем многочлена?

5. Сформулюйте теорему Безу.

6. Сформулюйте необхідну і достатню умову, за якої число а є коренем многочлена А (х).

ВПРАВИ

6.1. Доведіть, що многочлен х4 - 1 ділиться націло на многочлен x3 + x2 + x + 1.

6.2. Доведіть, що многочлен А (х) = 2х4 - х3 + 2х2 + 1 ділиться націло на многочлен В (х) = х2 - х + 1.

6.3. Поділивши «куточком» многочлен А (х) на многочлен В (х), знайдіть неповну частку й остачу:

1) А (х) = х4 + х + 1, В (х) = х2 + х + 1;

2) А (х) = х4 + х2 + 1, В (х) = х + 5.

6.4. Поділивши «куточком» многочлен А (х) на многочлен В (х), знайдіть неповну частку й остачу:

1) А (х) = х7 - 1, В (х) = х3 + х + 1;

2) А (х) = х3 + 5х2 - 6х - 6, В (х) = х - 2.

6.5. Знайдіть остачу від ділення многочлена А (х) на двочлен В (х):

1) А (х) = х3 + 2х2 + 3х + 1, В (х) = х - 1;

2) А (х) = 2х4 - 4х3 - х - 1, В (х) = х + 2.

6.6. Доведіть, що многочлен А (х) ділиться націло на двочлен В (х):

1) А (х) = 2х3 + 7х2 + 7х + 2, В (х) = х + 2;

2) А (х) = 5х5 - 6х4 - х2 + х + 1, В (х) = х - 1.

6.7. Доведіть, що (хn - аn) k - аk), якщо n k, n ∈ N, k ∈ N.

6.8. Доведіть, що многочлен, який тотожно дорівнює виразу (х + 1)2n - х2n - 2х - 1, де n ∈ ℕ, ділиться націло на многочлен, який тотожно дорівнює виразу х (х + 1)(2х + 1).

6.9. Доведіть, що многочлен, який тотожно дорівнює виразу (х2 + х - 1)2n + (х2 - х + 1)2n - 2, де n ∈ ℕ , ділиться націло на многочлен х2 - х.

6.10. При якому значенні параметра а остача від ділення многочлена 2х4 - 3х3 - ах2 - х - 2 на двочлен х + 1 дорівнює З?

6.11. При яких значеннях параметра b многочлен х3 + 3х2 - bх + 6 ділиться націло на двочлен х + 2?

6.12. При яких значеннях параметрів а, b і с многочлен х3 + ах2 + bх + с ділиться націло на двочлени х - 1 і х + 2, а при діленні на двочлен х + 1 дає в остачі 10?

6.13. При яких значеннях параметрів а і b многочлен х3 + ах2+ bx + ab при діленні на двочлен х - 2 дає в остачі 15, а при діленні на двочлен х + 1 дає в остачі 0?

6.14. Розв’яжіть рівняння:

1) х3 + 9х2 + 23х + 15 = 0; 3) Зх4 + 5х3 - х2 - 5х - 2 = 0;

2) 2х3 - х2 - 5х - 2 = 0; 4) 5х4 + 9х3 - 2х2 - 4х - 8 = 0.

6.15. Розв’яжіть рівняння:

1) х3+ х2 - 4х + 2 = 0; 3) х3 + 4х2 + 5х + 2 = 0;

2) х3 - х2 - 8х + 12 = 0; 4) х4 + 4х3 - 2х2 - 4х + 1 = 0.

6.16. Доведіть, що вираз а3 (b - с) + b3 (с - а) + с3(а - b) ділиться націло на вираз (а - b)(b - с)(с - а).

6.17. Доведіть, що вираз х3 + у3 + z3- 3хуz ділиться націло на вираз x + у + z.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

6.18. Одна людина, що працює, може виконати деяке виробниче завдання за 20 год, а друга — за 30 год. За який час вони виконають це завдання, працюючи разом?

6.19. Через першу трубу басейн можна наповнити водою за 9 год, а через другу — за 12 год. Спочатку 3 год була відкрита перша труба, потім її закрили, але відкрили другу. За скільки годин було наповнено басейн?






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.