Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§1 ПОВТОРЕННЯ ТА РОЗШИРЕННЯ ВІДОМОСТЕЙ ПРО МНОЖИНИ ТА ФУНКЦІЇ

7. Метод математичної індукції

Вивчаючи навколишній світ, ми часто робимо висновки за результатами спостережень і дослідів.

Загальні висновки, отримані на підставі вивчення окремих випадків, називають індуктивними, а сам метод таких міркувань — індуктивним методом або індукцією (від латин, inductio — наведення).

Наприклад, задовго до відкриття законів руху Землі люди дійшли висновку, що Сонце вранці встає на сході, а ввечері зникає за обрієм на заході. Цей висновок є індуктивним, адже він ґрунтувався лише на спостереженнях.

Звісно, за допомогою індукції не завжди можна дійти правильних висновків. Так, якщо у вашій і сусідній школах серед учителів початкових класів немає чоловіків, то це не означає, що в початкових класах працюють тільки жінки.

Незважаючи на те що індуктивні висновки до певної міри потрібно брати під сумнів, індуктивний метод може допомогти сформулювати правильні гіпотези.

Розглянемо два приклади.

• Спробуємо підмітити закономірність у поведінці сум n перших непарних натуральних чисел. Позначимо через Sn суму n перших непарних чисел. Домовимося, що S1 = 1. Маємо:

S1 = 1 = 1;

S2 = 1 + 3 = 4;

S3 = 1 + 3 + 5 = 9;

S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16;

S5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.

Числа 1, 4, 9, 16, 25 є квадратами послідовних натуральних чисел.

Можна зробити таке припущення: для будь-якого натурального n

Sn = n2. (1)

• Розглянемо значення многочлена f (n) = n2 - n + 41 при значеннях n, які дорівнюють 1, 2, 3, 4, 5. Маємо:

f (1) = 41 — просте число;

f (2) = 43 — просте число;

f (3) = 47 — просте число;

f (4) = 53 — просте число;

f (5) = 61 — просте число.

Можна зробити таке припущення: для будь-якого натурального n значення многочлена f (n) є простим числом.

Два наведених припущення є лише гіпотезами, які належить або довести, або спростувати.

Один зі способів спростувати гіпотезу — навести контрприклад. Для другого припущення такий контрприклад легко знайти.

Маємо: f (41) = 412 - 41 + 41 = 412 — складене число. Таким чином, гіпотезу спростовано.

Спроба знайти контрприклад для першого індуктивного висновку може привести до таких рівностей:

S6 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 62;

S7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 = 72;

S8 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 82.

Отримані рівності лише зміцнюють упевненість у тому, що висунута гіпотеза є правильною.

Зрозуміло, що обчислення суми із черговим доданком не наближує до доведення гіпотези: скільки б сум ми не обчислили, неможливо гарантувати, що серед нескінченної кількості сум, що залишаться, не трапиться така, для якої рівність (1) не виконується.

Щоб довести справедливість висловленої гіпотези, потрібно провести деякі загальні міркування.

Нехай рівність (1) є справедливою для k доданків, тобто

Sk= 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = K2.

Розглянемо суму, яка містить k + 1 доданок:

З урахуванням припущення Sk = k2 маємо: Sk + 1 = k2 + (2k + 1) = (k + 1)2.

Наведені міркування гарантують, що коли рівність (1) є правильною для n = k, то вона залишається правильною і для N = k + 1.

Тепер можна стверджувати, що рівність (1) доведено для будь- якого натурального значення n. Пояснимо це.

Оскільки S1 = 1, то рівність (1) є правильною для n = 1. Отже, вона є правильною для n = 1 + 1 = 2, а тоді вона є правильною при n = 2 + 1 = 3, при n = 3 + 1 = 4, при n = 4 + 1 = 5 іт. д. Таким чином можна досягти будь-якого натурального значення n. Отже, рівність (1) є правильною при всіх натуральних значеннях n.

Розглянутий метод доведення називають методом математичної індукції. У загальному вигляді його можна описати так.

Нехай потрібно довести, що деяке твердження є правильним для будь-якого натурального значення n.

Доведення цього факту методом математичної індукції складається з двох частин (теорем):

1) доводять (перевіряють) справедливість твердження для n = 1;

2) роблять припущення, що твердження є правильним для n = k, k ∈ ℕ, і на підставі цього доводять, що воно є правильним для n = k+ 1.

Теорему, яку доводять у першій частині, називають базою індукції.

Наприклад, під час доведення рівності (1) базою індукції було твердження, що рівність (1) виконується при n = 1.

Теорему, яку доводять у другій частині методу, називають індуктивним переходом.

ПРИКЛАД 1 Виведіть формулу для обчислення значення суми

Розв’язання. Для n = 1 маємо: S1 = .

Для n = 2 маємо:

Для n = 3 маємо:

Для n = 4 маємо:

Можна зробити таке припущення: для всіх n ∈ ℕ виконується рівність

(2)

Доведемо цю гіпотезу методом математичної індукції.

Раніше ми перевірили справедливість формули (2) для n = 1, тим самим довівши теорему «база індукції».

Тепер доведемо теорему «індуктивний перехід».

Нехай формула (2) є правильною при n = k, тобто

Отримуємо:

Отже, припустивши, що формула (2) є правильною при n = k, ми довели, що вона є правильною і при n = k + 1.

Теорему «індуктивний перехід» доведено.

Таким чином, гіпотеза (2) є правильною.

Отриману формулу можна подати в такому вигляді:

Зауважимо, що при необмеженому збільшенні п значення виразу прямує до числа 0, а отже, значення суми Sn прямує до числа 1. Ці міркування дають змогу розглядати суму яка містить безліч доданків, і вважати, що її значення дорівнює 1. Суму виду а1 + а2 + а3+ ... + аn + ..., де (аn) — нескінченна числова послідовність, називають рядом. Нагадаємо, що з рядами ви стикалися під час вивчення нескінченної геометричної прогресії, у якої модуль знаменника менший від одиниці.

ПРИКЛАД 2 Доведіть, що для будь-якого n ∈ ℕ значення виразу 5n - 3n + 2n кратне 4.

Розв’язання. При n = 1 отримуємо 51 - 31 + 2 ⋅ 1 = 4. Оскільки число 4 ділиться наділо на 4, тобто 4 ⋮ 4, то теорему «база індукції» доведено.

Нехай при n = k твердження є правильним, тобто

(5k - 3k + 2k) ⋮ 4.

Доведемо, що тоді це твердження є правильним при n = k + 1, тобто

(5k+1 -3k+1 +2 (k + 1)) ⋮ 4.

Для доведення достатньо показати, що різниця (5k+1 - 3k+1 + 2k + 2) - (5k - 3k + 2k) кратна 4.

Перепишемо цю різницю таким чином:

5k (5 - 1) – 3k (3 - 1) + 2 = 4 ∙ 5k - 2(3k - 1).

Оскільки 3k — непарне число, то 3k - 1 — парне число, тобто (3k -1) : 2. Через це значення отриманого виразу кратне 4.

Отже, використовуючи метод математичної індукції, доведено, що твердження 5n - 3n + 2n : 4, n ∈ ℕ, є правильним.

Методом математичної індукції можна користуватися і в тих випадках, коли n ≥ n0, де n0 ∈ ℕ , n0 > 1. У цьому разі теорему «база індукції» доводять (перевіряють) для n = n0.

ПРИКЛАД 3. Доведіть, що для будь-якого n ∈ ℕ і n > 4 виконується нерівність 2n > n2.

Розв’язання. При n = 5 маємо правильну нерівність 25 > 52. Нехай нерівність, яку треба довести, є правильною при n = k, тобто 2k > k2, де k ∈ ℕ, k > 4. Маємо:

2 ∙ 2k > 2k2;

2k+1 > 2k2.

Легко показати (переконайтеся в цьому самостійно), що при k > 1 + >, а тим більше при k > 4, справджується нерівність 2k2 > (k + 1)2. Звідси

2k+1 > (k + 1)2.

Ми показали, що при n = 5 виконується теорема «база індукції», і при n > 4 довели теорему «індуктивний перехід». Отже, розглядувана нерівність є правильною при будь-яких натуральних n таких, що n > 4.

?

1. Які висновки називають індуктивними?

2. Опишіть схему доведення методом математичної індукції.

3. З яких двох теорем складається доведення методом математичної індукції?

ВПРАВИ

7.1. Числа 24, 44, 64, 84 кратні 4. Чи можна на цій підставі зробити висновок, що число, яке закінчується цифрою 4, кратне 4?

7.2. Доведіть, що значення многочлена f (n) = n2 + n + 17 є простим числом при n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5. Чи можна на цій підставі зробити висновок, що f (n) є простим числом при будь-якому натуральному значенні n?

7.3. Доведіть, що при будь-якому натуральному n виконується рівність:

7.4. Доведіть, що при будь-якому натуральному n виконується рівність:

7.5. Виведіть формулу для обчислення суми

7.6. Виведіть формулу для обчислення суми

7.7. Доведіть нерівність 2n > 2n + 1, де n ∈ ℕ, n > 3.

7.8. Доведіть нерівність 3n > 4n + 1, де n ∈ ℕ, n > 3.

7.9. Доведіть, що для будь-якого натурального n:

1) (32n+1 +2n + 2) ⋮ 7; 2) (62n +19n - 2n+1) ⋮ 17.

7.10. Доведіть, що для будь-якого натурального п:

1) (7n+1 + 82n-1) ⋮ 19; 2) (7 ∙ 24n - 5 ∙ 13n - 2n+1) ⋮ 11.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

7.11. Установіть графічно кількість розв’язків системи рівнянь:

7.12. Побудуйте графік функції

Користуючись побудованим графіком, знайдіть проміжки зростання та проміжки спадання даної функції.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.