Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

Стефан БАНАХ (1892-1945)

Видатний український та польський математик, професор Львівського університету та Львівської політехніки, співзасновник Львівської математич­ної школи, президент польського математичного товариства. Один із творців сучасного функціо­нального аналізу.

Його ім’ям названо низку математичних теорем і понять: «банахів простір», «банахова алгебра», «інтеграл Банаха». Наукові відкриття Банаха з функціонального аналізу і теорії функцій — золотий фонд математики XX ст.

Математик — це той, хто вміє знаходити аналогії між твер­дженнями: кращий математик — той, хто встановлює аналогії доведень: сильніший математик — той, хто помічає аналогії теорій: але можна собі уявити й такого, хто між аналогіями бачить аналогії .

С. Банах

НАБУВАЄМО ДОСВІДУ ТА КОМПЕТЕНТНОСТЕЙ

✵ Корінь n-го степеня та його властивості. Перетворення виразів з коренями

✵ Функція у = та її графік.

✵ Степінь з раціональним по­казником, його властивості. Перетворення виразів, які містять степінь

✵ Степенева функція та її властивості

✵ Ірраціональні рівняння

✵ Ірраціональні нерівності

✵ Формулювати означення та властивості кореня n-го степеня і степеня з раціо­нальним показником

✵ Обчислювати, оцінювати та порівнювати значення виразів, які містять корені та степені з раціональними показниками

✵ Зображувати графік степеневої функції

✵ Розв’язувати ірраціональні рівняння та нерівності, зокрема з параметрами

✵ Застосовувати властивості функцій до розв’язування ірраціональних рівнянь і нерівностей

Навчальний проект N° 2. МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ СТЕПЕНЕВИМИ ФУНКЦІЯМИ

§ 8 Корені n-го степеня

Пригадаємо, що таке квадратний корінь і його арифметичне значення. Квадратним коренем з числа а називають число, квадрат якого дорів­нює а. З додатного числа квадратних коренів існує два. Наприклад, числа 7 і -7 — квадратні корені з числа 49, оскільки 7 2 = 49 і (-7) 2 = 49. Невід’ємне значення квадратного кореня з числа а називають арифметичним значен­ням квадратного кореня з числа а і позначають символом . Друге зна­чення квадратного кореня з числа а дорівнює- . Квадратний корінь з числа 0 дорівнює 0. Квадратного кореня з від’ємного числа не існує.

Квадратний корінь називають ще коренем другого степеня.

Подібно до коренів другого степеня існують також корені третього, четвертого, …, n-го степеня.

Коренем пn-го степеня з числа а називають число, n-й степінь якого дорівнює а.

Наприклад, корінь третього степеня з числа 8 дорівнює 2, бо 2 3 = 8.

Числа 2 і -2 — корені 4-го степеня з числа 16, бо 2 4 = 16 і (-2) 4 = 16.

Невід’ємний корінь n-го степеня з невід’ємного числа а називають ариф­метичним коренем n-го степеня з числа а і позначають .

У виразі — підкореневий вираз, — знак кореня, n — показник кореня. Залежно від показників корені бувають другого, третього і вищих степенів. Показник кореня — завжди число натуральне; замість пишуть .

Якщо показник кореня n — число непарне, то при кожному значенні а значення кореня n-го степеня з числа а існує, і його також позначають .

Якщо n — число парне, то: 1) при від’ємних значеннях а значення не існує; 2) при додатних значеннях а коренів n-го степеня з числа а існує два: і - .

Зверніть увагу! Символ використовують тільки для позначення арифметичного кореня та кореня непарного степеня з числа а.

Якщо існує, то згідно з означенням ( ) n = а.

Приклади. = 4, бо 4 3 = 64; = -4, бо (-4) 3 = -64; = 3, бо З 4 = 81, — не існує.

Обчислення значень коренів n-го степеня з чисел називають добуван­ням коренів із цих чисел. З деяких чисел корені можна добувати усно, з інших — користуючись калькулятором або таблицями.

Якщо натуральне число я парне, то — це арифметичний корінь з числа х ≥ 0, тобто невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює х. У цьо­му випадку область визначення виразу — множина всіх невід’ємних дійсних чисел. При непарному натуральному п вираз ух має зміст і тоді, коли число х від’ємне. Знайдемо, наприклад, якою є область визначення виразу: а) ; б) .

а) Показник кореня 3 — число непарне, тому підкореневий вираз х - 5 може бути будь-яким дійсним числом. Отже, х R;

б) показник кореня 4 — число парне, тому даний вираз має значення тільки тоді, коли підкореневий вираз невід’ємний: х + 7 ≥ 0, звідси х ≥ -7. Отже, х [- 7; +∞).

Для арифметичних коренів і довільних натуральних показників коренів n і k справджуються властивості, подібні до властивостей квадратних коренів:

Довести ці властивості коренів n-них степенів можна подібно до того, як у 8 класі доводили відповідні властивості квадратних коренів. Доведемо першу властивість (її називають основною властивістю коренів).

1. Якщо а і b — довільні невід’ємні числа, то числа , , , і , · також невід’ємні. Крім того,

Отже, , · — невід’ємне число, n-ний степінь якого дорівнює аb,тобто

Подібним способом можна довести і другу властивість.

Властивості 2-5 доведіть самостійно.

Теорему про корінь із добутку можна поширити на три і більше множників. Справді, якщо числа а, b і с невід’ємні, то

Властивості 1 і 2 при непарних я мають місце і для від’ємних чисел а і b. Якщо в доведених тотожностях поміняти місцями їх ліві й праві частини, дістанемо:

Ці тотожності показують, як можна виконувати дії з коренями.

Зверніть увагу!

Приклади.

Якщо треба перемножити вирази з різними показниками, то їх зводять до одного показника, користуючись формулою

Дії додавання і віднімання виконують з подібними коренями (у яких показники коренів і підкореневі вирази однакові).

Наприклад:

Розглянемо ще деякі перетворення виразів з коренями (за умови, що а > 0, b> 0).

Винесення множника за знак кореня. У загальному вигляді (при додат­них значеннях а і b) це перетворення виконують у такий спосіб:

Приклади.

Внесення множника під знак кореня. Це перетворення обернене до попереднього. При додатних значеннях а і b маємо:

Приклади.

Звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу. У загальному вигляді (а > 0, m < n) це перетворення виконують так:

Щоб звільнитися від ірраціональності, іноді доцільно скористатися такими тотожностями:

Приклади.

Перетворюючи ірраціональні вирази зі змінними, слід бути досить обе­режним, розглядаючи окремо випадки, коли основи степенів підкореневих виразів можуть бути від’ємними.

Приклади.

1. Спрощуючи вираз , не можна формально скоротити показ­ники степеня і кореня і замінити його виразом . Адже перший з цих виразів визначений при всіх дійсних значеннях х, а другий — тількипри х ≤ 5. Треба писати

2. Нехай у виразі

треба внести під знак кореня множник, що стоїть перед ним. Вважають, що даний вираз має зміст, тому можливі два випадки.

1) Якщо х > 0 і с > 0, то даний вираз додатний, отже,

2) Якщо х < 0 і с < 0, то даний вираз від’ємний, тому

Хочете знати ще більше?

Вводячи символи , ,… n√, ми тим самим розширюємо множину відомих вам виразів.

Тому є потреба ввести кілька нових назв. Якщо вираз, крім чисел, змінних, дужок і знаків дій додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до степеня з раціональним показником або добування кореня, не містить нічого іншого, його називають алгебраїчним виразом. Алгебраїч­ний вираз, який містить корені, називається ірраціональним виразом. Усі інші відомі вам алгебраїчні вирази — раціональні.

Вирази з числами або змінними, які не є алгебраїчними, називаються трансцендентними.

Зв’язки між названими видами виразів показано на малюнку 73.

Мал. 73

Перевірте себе

1. Що називають коренем n-го степеня з числа а?

2. Що називають коренем п’ятого степеня з числа а?

3. Який знак має корінь непарного степеня: а) з додатного числа; б) з від’ємного числа?

4. Яким правилом треба скористатися при визначенні знака кореня непарного степеня?

5. Що називають арифметичним значенням кореня (або арифметичним коренем)?

6. Сформулюйте властивості кореня n-го степеня.

Виконаємо разом

1. Обчисліть значення виразу:

Розв’язання.

2. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:

Розв’язання.

3. Спростіть вираз

Розв’язання. Спробуємо вираз 11 -6 записати у вигляді квадрата двочлена.

Запишемо 6 як подвоєний добуток двох чисел, сума квадратів яких дорівнює 11. Отримаємо:

4. Скоротіть дріб

Розв’язання. Вираз у чисельнику запишемо як різницю квадратів чисел і , а у знаменнику — як квадрат суми цих чисел.

Виконайте усно

Обчисліть (396-398).

396.

397.

398.

399. Що більше:

а) ( ) 8 чи ( ) 9 ;

б) 2чи ( )2 ;

в) чи ?

400. Знайдіть ребро куба, якщо його об’єм дорівнює:

а) 1 дм 3;

б) 27 см 3;

в) 64 мм 3;

г) 0,008 м 3;

ґ) 0,216 м 3.

401. Обчисліть значення виразу:

Рівень А

402. Чому дорівнює арифметичний квадратний корінь з числа:

а) 0,81;

б) 0,25;

в) 2,25;

г) 1,21;

ґ) ;

д) ;

е) ;

є) ?

403. Знайдіть арифметичний корінь четвертого степеня з числа:

а) 0;

б) 1;

в) 16;

г) 0,0016;

ґ) ;

д) ;

е) 0,0001;

є) 0,1296.

404. Чому дорівнює кубічний корінь з числа:

а) 216;

б) 64;

в) 343;

г) 8;

ґ) ;

д) 0,027;

е) 0,001;

є) ?

Обчисліть (405-409).

405.

406.

407.

408.

409.

Спростіть вираз (410-412).

410.

411.

412.

413. Установіть відповідність між виразами з коренями (1-4) та їхніми значеннями (А-Д).

1

+

А

6

2

·

Б

4

3

-

В

-

4

· +

Г

Д

5

414. Винесіть множник з-під знака кореня (а ≥ 0, b ≥ 0):

415. Внесіть множник під знак кореня (а ≥ 0, b ≥ 0):

Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу (416-418).

416.

417.

418.

Розв’яжіть рівняння (419-420).

419.

420.

Рівень Б

421. Обчисліть:

Обчисліть значення виразу (422-427).

422.

423.

424.

425.

426.

427.

Спростіть вираз (428-430).

428.

429.

430.

Винесіть множник за знак кореня (а > 0, х < 0, у < 0) (431-432).

431.

432.

Внесіть множник під знак кореня (а > 0, х < 0, у < 0) (433-434).

433.

434.

Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу (435-437).

435.

436.

437.

Розв’яжіть рівняння (438-439).

438.

439.

Спростіть вираз (440-446).

440.

441.

442.

443.

444.

445.

446.

Розкладіть на множники (447-448).

447.

448.

Скоротіть дріб (449-450).

449.

450.

451. Задача Пачіолі. Обчисліть значення виразу:

452. Задача Штіфеля. Доведіть, що

Рівень В

453. При яких значеннях а виконується рівність:

454. Розв’яжіть рівняння:

455. Задача Ньютона. Перемножте вирази

Спростіть вираз (456-458).

456.

457.

458.

459. Доведіть, що:

460. Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння:

461. Доведіть тотожність:

Вправи для повторення

462. Знайдіть 2,5 % від числа: а) 10; б) 250; в) 3 · 10 7.

463. Розв’яжіть нерівність:

464. Побудуйте графік функції:

а) у = х;

б) у = х 2;

в) у = х 3;

г) у = .

465. Справжньою екологічною проблемою сьо­годні є «цвітіння» водойм, що спричинене скупченням біля поверхні води ціанобактерій. Вода забарвлюється в синьо-зелений або коричневий колір і набуває болотного запаху, викликаного процесами гниття.

У воді з’являються отруйні речовини, зменшується кількість кисню, внаслідок чого гине риба й інші водні мешканці. Уявіть, що ви перебували біля водойми протягом 3 годин. Скільки бактерій утвориться за цей час зі 100 таких бактерій, якщо за сприятливих умов кожна ціанобактерія ділиться на дві ідентичні дочірні кожні 20 хвилин?

Дізнайтеся, чи мають якусь користь ціанобактерії для людини.






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити