Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

§ 9 Функція y = х та її графік

З означення арифметичного кореня випливає, що для а ≥ 0 виконуються рівності ( ) n = а і = а. Це означає, що дії добування кореня n-го степеня з до­датного числа а і піднесення цього числа до n-го сте­пеня є взаємно оберненими. Аналогічну властивість мають і функції у = х n і у = , де n ∈ N, х ≥ 0.

Розглянемо функцію у = хn. Оскільки x ≥ 0, то хn ≥ 0 і у > 0. За означенням арифметичного кореня n-го сте­пеня x = . В отриманій рівності поміняємо місцямих і у. Маємо: y= . Отже, функція у = обернена до функції у = х n (n ∈ N, х ≥ 0).

Деякі функції виду у = х n ви розглядали в поперед­ніх класах. Це функції у = х, у = х 2, у = х 3, у = х 4, у = х 5. їх графіки і властивості залежать від я. На ма­люнку 74 зображено графіки функцій у = х n, якщо n — число парне (n = 2k, k ∈ N), а на малюнку 75 — графіки функцій у = х n, якщо n — число непарне (n = 2k + 1, k ∈ N). Усі графіки — суцільні лінії, які проходять через точки (0; 0) і (1; 1).

Скористаємося графіками і визначимо ще кілька властивостей цих функцій.

Властивості функції у = х n, n ∈ N.

Мал. 74

Мал. 75

Властивості

Функція

у = х 2K

у = х 2к+1

D(у)

R

R

Е(у)

[0; +∞)

R

Парність

Парна

Непарна

Нулі

х = 0

х = 0

у > 0

х ∈ (-∞; 0) ⋃ (0; +∞)

х ∈ (0; +∞)

У < 0

x ∈ (-∞; 0)

Спадна

x ∈ (-∞; 0)

Зростаюча

х ∈ (0; +∞)

x ∈ R

Щоб з’ясувати властивості функції у = , де n ∈ N, і вигляд її графіка, розглянемо два випадки:

1) n = 2k, k ∈ N;

2) n = 2k + 1, k ∈ N.

1) Якщо n = 2k, k ∈ N, то функція у = х 2k на проміжку [0; + ∞) є зростаючою, а тому вона на цьому проміжку оборотна. Обернена до неї функ­ція у = 2k, х ∈ [0; + ∞). Графіки обернених функ­цій симетричні відносно прямої у = х. На малюн­ку 76 подано графіки функцій у = х 4 і у = .

Графіки функцій у = 2k ∈ [0; +∞) при інших значеннях k подібні до графіків функцій у = і у = . Вони розташовані в першій чверті і є час­тинами відповідних парабол.

2) Якщо n = 2k + 1, k ∈ N, то функція y = х 2k+1 зростає на всій множині R, тому вона оборотна для всіх х ∈ (-∞; +∞).

Обернена до неї функція у = 2к+1, x ∈ (- ∞; +∞). Графік її симетричний гра­фіку функції у = х 2к+1 відносно прямої у = х. На малюнку 77 подано графіки функцій у = х 5 і у = . Графіки функцій у = 2к+1, х ∈ (- ∞; + ∞) при інших зна­ченнях k подібні до графіків функцій у = і у = . Вони розташовані в першій і третій чвертях і є частинами відповідних парабол. Побудуйте графіки функцій у = і у = у ІКТ або на міліметровому папері (використавши калькулятор).

Властивості функції у = , n ∈ N.

Мал. 76

Мал. 77

Властивість

Функція

y=

у = 2к+1

D(у)

[0; +∞)

R

Е(У)

[0; +∞)

R

Парність

ні парна, ні непарна

непарна

Нулі

х = 0

х = 0

у > 0

х ∈ (0; + ∞)

х ∈ (0; + ∞)

у < 0

x ∈ (-∞; 0)

Зростання

х ∈ (0; + °о)

х ∈ R

Хочете знати ще більше?

Зображення в одній системі координат графіків функцій у = х n для різ­них натуральних значень n дає можливість встановити, що для х ∈ (0; 1) графік функції тим ближче розміщений до осі х, чим більшим є показник n, а для x (1; +∞) зі збільшенням я графік повільно віддаляється від прямої х = 1.

Якщо в одній системі координат побудувати графіки функцій у = , х ∈ (0; +∞) для різних натуральних значень n, то побачимо, що на про­міжку (0; 1) графік функції тим ближче розміщений до осі у, чим більшим є показник я. На проміжку (1; +∞) графіки функцій у = зі збільшенням n повільно віддаляються від прямої у = 1. Тобто для великих значень х значення функції у = х n зростають дуже швидко, а функції у = — повільно. Наприклад:

1 5 = 1, 10 5 = 100 000, 100 5 = 10 000 000 000.

= 1, = 10, =100.

Перевірте себе

1. Який графік при n - 2k має функція: а) у = х n б) у = ?

2. Який графік при n = 2k+ 1 має функція: а) у = х n; б) у = ?

3. За якої умови функція у = є непарною?

4. У яких точках перетинаються графіки функцій у = х n і у = ?

5. У яких чвертях розташований графік функції: а) у = х n; б) у = ?

Виконаємо разом

1. Порівняйте числа:

а) і ;

б) і 2;

в) (-0,8) 6і (-0,4) 6;

г) 3 і .

Розв’язання. а) Оскільки 1,7 < 2 і функція у = — зростає для всіх х ∈ R, то < .

б) Число 2 можна записати у вигляді 2 = . Тоді зі зростання функції у = випливає, що < , тобто <2.

в) Оскільки функція у = х 6 при х < 0 спадна і -0,8 < -0,4, то (-0,8) 6 > (-0,4) 6.

г) Графік функції у = при 0 < х < 1 лежить нижче, ніж графік функції у = , тому < .

2. Розв’яжіть рівняння = 2 - х 3.

Розв’язання. Спосіб 1. Розв’яжемо дане рівняння графічно. Для цього в одній систе­мі координат побудуємо графіки функцій у = і у = 2 - х 3 (мал. 78). Із малюнка можна припустити, що ці графіки перетина­ються в точці (1; 1). Перевіркою встановлю­ємо, що точка (1; 1) належить і графіку функції у = , і графіку функції у = 2-х 3.

Отже, рівняння має один корінь х = 1.

Спосіб 2. Ви вже знаєте, що якщо функція у = f(х) зростає, а функція у = g(x) — спадає, то рівняння f(х) = g(x) може мати тільки один корінь.

Оскільки функція у = зростає, а функція 2-х 3 — спадає, то дане рів­няння може мати тільки один корінь. Випробуванням установлюємо, що х = 1.

Відповідь. 1.

Мал. 78

Виконайте усно

466. Зростаючою чи спадною є функція:

а) у = х 3;

б) у = 3 - х 5;

в) у = + 1;

г) у = - ?

467. Порівняйте числа:

а) і ;

б) і ;

в) і ;

г) і ;

ґ) (-2,3) 6 і (2,3) 6.

Знайдіть область визначення функції (468-469).

468.

469.

Рівень А

470. Чи проходить графік функції у = + 1 через точки А (1; 1), B(16; 3),

471. Знайдіть область визначення функції:

Побудуйте графік функції (472-473).

472.

473.

474. Порівняйте числа:

475. Оцініть значення функції у = , якщо:

476. Запишіть функції у три колонки: 1) парні; 2) непарні; 3) ні парні, ні непарні:

477. Зростаючою чи спадною є функція:

478. Розв’яжіть графічно рівняння:

479. Розв’яжіть графічно нерівність:

480. За яких значень параметра а рівняння має один корінь:

Рівень Б

481. Знайдіть n, при якому графік функції у = проходить через точки:

а) А(16; 2);

б) (27; 3);

в) ( ; )

г) ( ; ).

Знайдіть область визначення функції (482-483).

482.

483.

484. Побудуйте графік функції та вкажіть: область її визначення, область значень, проміжки монотонності.

485. Додатним чи від’ємним є значення виразу:

486. Чи збігаються графіки функцій:

487. Яких значень набуває функція у = , якщо:

488. Оцініть значення х, якщо:

489. Побудуйте графік функції:

490. Практичне завдання. З літака, що рухається на висоті 1025 м над землею, стрибає парашутист і пролітає в умовах вільного падіння (до розкриття парашута) 45 м. Його шлях h (у метрах), пройдений в умовах вільного падіння, визначається формулою h = gt 2 , де t — час(у секундах), а g — стале число, g ≈ 10 м/с 2. 1) На якій відстані від землі розкрився парашут? 2) Скільки часу парашутист летів без пара­шута? Задайте формулою залежність часу вільного падіння парашу­тиста від пройденого шляху. 3) На якому графіку (мал. 79) подано залежність часу і руху тіла при вільному падінні від довжини шляху h?

Мал. 79

Рівень В

Побудуйте графік функції (491-493).

491.

492.

493.

Знайдіть область значень функції (494-495).

494.

495.

496. Розв’яжіть рівняння, використовуючи властивість монотонності функцій:

497. Використовуючи властивість функції, розв’яжіть нерівність:

498. Знайдіть кількість цілих розв'язків нерівності:

499. Для кожного значення параметра а знайдіть кількість коренів рівняння:

500. Скільки коренів має рівняння залежно від значення параметра а:

501. Для кожного значення параметра а визначте кількість коренів рівняння:

502. При яких значеннях параметра а нерівність має три цілих розв’язки:

Вправи для повторення

503. Обчисліть:

504. У Румунії доба проживання в готелі коштуватиме на 20 % дешевше, ніж у готелі в Польщі. В Угорщині доба проживання в готелі коштує в перерахунку на гривні 1050 грн, що на 5 % дорожче, ніж у Польщі. Яка вартість проживання в гривнях у кожній країні окремо?

505. Катер пройшов за течією річки 80 км і повернувся назад, витративши на весь шлях 8 год 20 хв. Скільки часу катер рухався за течією річки, якщо швидкість течії річки — 4 км/год?

506. Кидають два гральних кубики. Яка ймовірність того, що на них ви­падуть очки, сума яких дорівнює:

а) 3;

б) 4;

в) 5;

г) 6;

ґ) 7;

д) 8?






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити