Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

§10 Ірраціональні рівняння

Рівняння називається алгебраїчним, якщо обидві його частини — алгебраїчні вирази.

Алгебраїчне рівняння, яке містить змінні під знаком кореня, називається ірраціональним рівнянням.

Приклади ірраціональних рівнянь:

Більшість ірраціональних рівнянь розв’язують піднесенням обох їх час­тин до степеня з тим самим натуральним показником. При цьому можуть з’явитися сторонні розв’язки, їх відкидають у результаті перевірки.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата:

3х² + х + 11 = 4х² + 4х + 1 або х² + 3х - 10 = 0.

Корені утвореного квадратного рівняння: -5 і 2.

Якщо х = -5, то ≠ -10 + 1, бо > ≠ - 9;

якщо х = 2, то = 4 + 1, = 5.

Відповідь. 2.

Чи завжди при піднесенні обох частин рівняння до того самого степеня з’являються сторонні розв’язки? Ні.

Теорема. Рівняння f(x) = g(x) і fⁿ(x) = gⁿ(x) рівносильні, якщо нату­ральне число n непарне або функції f(x) і g(x) можуть набувати тільки невід’ємних значень.

Доведення. Якщо при деякому значенні х виконується рівність f(х) = g(x), то за однозначністю дії піднесення до степеня і fⁿ(x) = gⁿ(x). Це означає, що кожний розв’язок першого рівняння є також розв’язком другого рівняння.

Якщо вирази f(х) і g(x) можуть набувати тільки невід’ємних значень або якщо число n — непарне, то з рівності fⁿ(х) = gⁿ(x) завжди випливає рівність f(х) = g(x), бо за таких умов якщо f(x) ≠ g(x), то і fⁿ (x ) ≠ gⁿ(х). Останнє випливає з тотожності

А це означає, що за зазначених умов кожний розв’язок рівняння fⁿ(х) = gⁿ(х) є також розв’язком рівняння f(х) = g(x).

Отже, множини розв’язків розглядуваних рівнянь збігаються, тому ці рівняння — рівносильні.

Маємо:

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Якщо обидві частини рівняння піднести до куба, то отри­маємо рівняння, рівносильне даному:

Його корені х₁ = 1, х₂ = 6.

Такі самі корені має і задане рівняння. Перевірте. Відповідь. 1; 6.

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння + 6 = х - 1.

Розв’язання. Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата, маємо: х + 6 = х² - 2х + 1, або х² - Зх - 5 = 0. Коренями цього рівняння є числа

Очевидно, що у цьому випадку виконувати перевірку складно. Доцільно використати метод рівносильних перетворень.

Зверніть увагу!

Рівняння виду = g(х) рівносильне системі:

У нашому випадку (для рівняння + 6 = х - 1) маємо: g(х) = х - 1, а х - 1 > 0, якщо х > 1.

Оскільки

то рівняння має лише один корінь —

Відповідь. .

Зверніть увагу! Рівняння виду = рівносильне системі:

Обирають ту із систем, у якій нерівність розв’язати простіше.

Приклад 4. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата, маємо:

-х² - 16х - 3 = -8х - 3, або х² + 8х = 0. Звідки х₁ = 0, х₂ = -8. Оскільки g(х) = -8х - 3, а -8х - 3 ≥ 0, якщо х ≤ -0,375, то х = 0 не є коренем рівняння.

Відповідь. -8.

Деякі ірраціональні рівняння та їх системи розв’язують заміною змін­ної і зведенням їх у такий спосіб до раціональних. Це, зокрема, рівняння і системи такого виду:

Поміркуйте, яку заміну доцільно зробити в кожному з рівнянь, щоб розв’язати його. Деякі ірраціональні рівняння можна розв’язувати різними способами.

Приклад 5. Розв’яжіть рівняння х + - 4 = 0.

Розв’язання. Спосіб 1 (метод заміни).

Заміною = і, t ≥ 0 зведемо дане рівнян­ня до рівняння t₂ + Зt - 4 = 0, корені яко­го t₁ = -4, t₂ = 1. Оскільки t₁ < 0, то зали­шилося розв’язати рівняння = 1, звідси x = 1.

Спосіб 2 (графічний). Розв’яжемо рів­няння х + - 4 = 0 графічно. Для цього запишемо його у вигляді = 4 - х і по­будуємо в одній системі координат графіки функцій у = і у = 4 - х (мал. 80).

З малюнка видно, що графіки перетина­ються в точці з абсцисою х = 1.

Спосіб 3 (з використанням властивостей функцій). Запишемо рівняння у вигляді =4 - х. Для всіх х ≥ 0 функція у = є зростаючою, а функція у = 4 - х — спадною. Отже, рівняння може мати тільки один корінь. Випробуванням установлюємо, що х = 1.

Відповідь. 1.

Мал. 80

Перевірте себе

1. Які рівняння називають алгебраїчними?

2. Наведіть приклад алгебраїчного рівняння.

3. Які рівняння називають ірраціональними?

4. Наведіть приклад ірраціонального рівняння.

5. Як можна розв’язувати ірраціональні рівняння?

6. У яких випадках при розв’язуванні ірраціональних рівнянь слід ро­бити перевірку?

7. У чому полягає метод рівносильних перетворень при розв’язуванні ірраціональних рівнянь?

8. Як використовують властивості функцій для розв’язування ірраціо­нальних рівнянь?

Виконаємо разом

1. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. В одній частині рівняння містяться два квадратних корені. Відокремимо їх і обидві частини утвореного рівняння піднесемо до квадра­та. Маємо:

Спростимо його:

Піднесемо обидві частини останнього рівняння до квадрата:8 + х = 25, звідси х = 17.

Перевірка.

Відповідь. 17.

2. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Значення виразу - З не може бути від’ємним, тому + 5 ≤ 2.

Дане рівняння не можуть задовольняти числа, менші від 3. Тому воно рівносильне системі

Цю систему задовольняє єдине значення х = 3.

Перевірка. + = 2.

Дане рівняння можна розв’язати і заміною змінної. Якщо покладемо

то отримаємо систему рівнянь

розв’язком якої є числа а = 0, b = 2. Повертаючись до заміни

отримаємо, що х = 3. Відповідь. 3.

3. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Подамо дане рівняння у вигляді

яке рівносильне рівнянню |2х + 1| + |х - 1| = 6. Розв’яжемо його методом ін­тервалів, розкривши модулі на проміжках: (-∞; -0,5), [-0,5; 1], (1; +∞). Якщо х < -0,5, то -(2х + 1) - (х - 1) = 6, звідси х = -2.

Якщо -0,5 < х < 1, то 2х + 1 - (х - 1) = 6, звідси х - 4 — сторонній корінь. Якщо х >1,то 2х + 1 + х - 1 = 6, звідси х = 2.

Відповідь. -2; 2.

4. Розв’яжіть систему рівнянь:

Розв’язання. Нехай = u і = v тоді u - v = 1 і u³ - v³ = 7. З першо­го рівняння знаходимо: u = u + 1. Підставивши у друге рівняння v + 1 замість u, дістанемо: v³ + Зv² > 3v+ 1 - v³ = 7, або v² + v - 2 = 0.

Корені утвореного квадратного рівняння: -2 і 1. Отже, = - 2 або = 1, звідси у = -8 або у = 1. Відповідні значення х: -1 і 8.

Відповідь. (-1; -8); (8; 1).

Виконайте усно

507. Які з рівнянь є алгебраїчними, які — ірраціональними:

Розв’яжіть рівняння (508-511).

508.

509.

510.

511.

512. Скільки розв’язків має рівняння:

Рівень А

513. Скільки цілих розв’язків має рівняння:

514. Знайдіть суму коренів рівняння:

Розв’яжіть рівняння (515-523).

515.

516.

517.

518.

519.

520.

521.

522.

523.

Розв’яжіть рівняння заміною змінної (524-526).

524.

525.

526.

Розв’яжіть графічно рівняння (527-528).

527.

528.

529. Установіть відповідність між системами рівнянь (1-4) і сумами а + b (А-Д), отриманими з розв’язків цих систем.

Рівень Б

Розв’яжіть рівняння (530-538).

530.

531.

532.

533.

534.

535.

536.

537.

538.

Використовуючи метод заміни, розв’яжіть рівняння (539-540).

539.

540.

541. При якому значенні х значення функції у = - 1 дорівнює значенню функції y = - - 1?

542. При якому значенні х значення функції у = на 1 більше відзначення функції у = 0,5?

543. Відкрита задача. Знайдіть корені рівняння:

544. Розв’яжіть рівняння:

Розв’яжіть систему рівнянь (545-549).

545.

546.

547.

548.

549.

550. Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння:

551. При яких значеннях параметра а рівняння має один розв’язок:

Рівень В

Розв’яжіть рівняння (552-560).

552.

553.

554.

555.

556.

557.

558.

559.

560.

561. Розв’яжіть систему рівнянь:

562. При яких значеннях параметра а рівняння має розв’язки:

563. Знайдіть кількість коренів рівняння залежно від значень параметра а.

Вправи для повторення

564. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:

565. Розв’яжіть нерівність:

а) х² - х(3 + х) > 2(х - 1);

б) (х + 2)² ≤ (х - З)²;

в) 4x² + 6х > 9х² - 15х.

566. Прочитайте вислів М. Амосова: «У більшості хвороб винна сама людина. Найчастіше вона хворіє через лінощі й жадобу. Щоб бути здоровим, потрібні власні зусилля, постійні й значні». Підрахуйте частоту використання у цьому вислові літери «й».

567. Знайдіть катети прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза до­рівнює 13 см, а периметр — 30 см.

Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити