Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

§ 11 Ірраціональні нерівності

Нерівність, яка містить змінну під знаком кореня, — ірраціональна. Наприклад, ірраціональними є нерівності:

Розв’язують ірраціональні нерівності найчастіше методом піднесення обох її частин до одного і того самого степеня. При цьому можна користуватися теоремою, подібною до теореми на с. 96.

Теорема. Нерівності f(х) >g(х) і fn(х) >gn(х) рівносильні, якщо натуральне число n непарне або функції f(х) і g(х) можуть набувати тільки невід’ємних значень.

(Доведіть теорему самостійно за аналогією до доведення теореми на с. 96).

Наприклад.

1) Нерівність - х > х рівносильна нерівності 2 - х > х³. Її неважко розв’язати графічно. Зробіть це самостійно. Отримаємо: х (-∞; 1).

2) Нерівність > 3 рівносильна нерівності х - 1 > 9.

Розв’язавши її, отримаємо: х (10; +∞).

Розглянемо ірраціональну нерівність виду < g(x). Цю нерівність задовольняють тільки такі значення х, при яких:

1) f(x) > 0, бо підкореневий вираз не може бути від’ємним;

2) g(х) > 0, бо невід’ємне число f(х) не може бути менше за від’ємне;

3) f(х) < g²(x), бо якщо обидві частини нерівності невід’ємні, то їх можна підносити до квадрата.

Отже, нерівність

рівносильна системі нерівностей:

Приклад 1. Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Дана нерівність рівносильна системі нерівностей:

Розв’язавши останню систему (мал. 81), отримаємо: х > 4.

Відповідь. (4; +∞).

Мал. 81

Розглянемо тепер нерівність виду

Зрозуміло, що розв’язки даної нерівності мають задовольняти умову f(x) ≥ 0. Очевидно, що при g(x) < 0 дана нерівність (на множині розв’язків нерівності f(x) ≥ 0) виконується завжди. Якщо ж g(х) ≥ 0, то обидві частини нерівності будуть невід’ємними, і їх можна піднести до квадрата. Отже, дана нерівність рівносильна сукупності двох систем:

У другій системі перша нерівність є наслідком третьої, тому її можна не враховувати. Тоді отримаємо сукупність таких двох систем:

Приклад 2. Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Дана нерівність рівносильна сукупності двох систем нерівностей:

З першої системи х [-0,5; 1), а з другої — х[1; 4). Об’єднуючи ці розв’язки, отримаємо: х[-0,5; 4).

Відповідь. [-0,5; 4).

Хочете знати ще більше?

Інколи потрібно не розв’язати ірраціональну нерівність, а довести її. До ірраціональних належать нерівності, пов’язані із середнім квадратичним і середнім геометричним, які часто використовують у сучасній математиці та прикладних науках.

Вирази

називають відповідно середнім арифметичним, середнім геометричним і середнім квадратичним чисел а₁, а₂, …, а_n і позначають відповідно літерами А_n, Г_n, К_n. Можна довести, що для додатних чисел а₁, а₂, …, аn завжди Г_n ≤ А_n ≤ К_n. Запишіть такі твердження для n = 3 і n = 4 і спробуйте їх довести. Нерівність Г_n ≤ А для n додатних чисел називають нерівністю Коші:

Розглянемо ще одну нерівність.

Приклад 3. Доведіть, що для невід’ємних чисел а, b, с, d і виконується нерівність

Скористаємося методом від супротивного. Припустимо, що існують невід’ємні числа а, b, с, d, для яких виконується нерівність

Оскільки обидві частини невід’ємні, то можемо піднести їх до квадрата. Отримаємо:

звідси

тобто

чого не може бути. Отже, наше припущення неправильне, тобто має місце нерівність (*).

Перевірте себе

1. Яка нерівність називається ірраціональною?

2. Наведіть кілька прикладів ірраціональних нерівностей.

3. За яких умов можна підносити обидві частини нерівності до парного степеня?

4. Як розв’язувати нерівність виду <g(х)?

5. Як розв’язувати нерівність виду >g(х:)?

Виконаємо разом

1. Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Піднесемо обидві частини нерівності до куба. Отримаємо рівносильну нерівність 7х + 1 ≤ х³ + Зх² + 3х + 1. Розв’яжемо її:

х³ + 3х² - 4х ≥ 0,

х(х² + 3х - 4) ≥ 0,

х(х + 4)(х - 1) ≥ 0.

З малюнка 82 видно, що х[-4; 0] ⋃ [1; +∞). Відповідь: [-4; 0] ⋃ [1; +∞).

Мал. 82

2. Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Спосіб 1. Нерівність > рівносильна системінерівностей

Отже,

Маємо:

Спосіб 2. Вираз - 1 має зміст тільки при х ≥ 1. При кожному з таких значень х значення підкореневих виразів невід’ємні і перше більше за друге. Отже, кожне значення х ≥ 1 задовольняє дану нерівність. Відповідь. [1; +∞).

3. Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Розкриємо дужки і запишемо дану нерівність у вигляді

Зробимо заміну:

= t, t ≥ 0. Отримаємо нерівність t₂ + Зt - 10 ≥ 0, звідси t ≤ - 5, що неможливо, бо t ≥ 0 або t ≥ 2. Повертаючись до заміни, отримаємо нерівність - Зх ≥ 2, звідси х² — 3 х ≥ 4 або х² - 3х - 4 ≥ 0. Розв’язавши останню нерівність, отримаємо: х(-∞; - 1] ⋃ [4; +∞).