Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

§ 13 Степеневі функції

Сучасна людина живе у світі, що постійно змінюється. І ці зміни дуже зручно відображати за допомогою функцій та їх графіків. У цьому параграфі ми розглянемо широкий клас функцій, які описують процеси реального світу.

Функцію, яку можна задати формулою у = х , де х — аргумент, — дане число, називають степеневою.

Уже відомі вам функції у = х 2 і у = х 3 (див. таблицю на с. 17) — приклади степеневих функцій. Подібні властивості мають також усі інші степеневі функції з натуральними показниками а. На малюнках 74 і 75 подано графіки степеневих функцій у = х 4 і у = х 5. Кожна степенева функція з натуральним показником степеня визначена на множині всіх дійсних чисел R.

Властивості функції у - х , k ∈ N, схожі на властивості функції у = х 2, а функції у = х 2к + 1, k ∈ N, подібні до властивостей функції у = х 3 (див. таблицю на с. 89).

Якщо показник а степеневої функції — ціле від’ємне число, то вона визначена на множині всіх дійсних значень аргументу х, крім х - 0.

Наприклад, функція у = х -1 — це вже відома нам обернена пропорційність у = (див. таблицю на с. 17). На малюнках 84 і 85 зображено графіки функцій у = х -2 і у = х -3.

Якщо — від’ємне парне ціле число, то графік функції у = х а симетричний відносно осі ординат, а якщо а — від’ємне непарне, то графік симетричний відносно початку координат.

Узагалі, при кожному цілому показнику степеня а функція у = х а парна, якщо — парне число, і непарна при непарному .

Скористаємося графіками, зображеними на малюнках 85 і 86, і визначимо ще кілька властивостей цих функцій.

Мал. 84

Мал. 85

Важливіші властивості функції у = із цілим від’ємним показником перелічені в таблиці.

Властивість

Функція у = (а ∈ Z, а < 0)

а = 2k

а = 2k + 1

D(у)

( -∞; 0) ⋃(0; +∞)

(-∞; 0) ⋃ (0; +∞)

Е(у)

(0; + ∞)

(-∞; 0) ⋃ (0; +∞)

Парність

Парна

Непарна

y > 0

x ∈ (-∞; 0) ⋃ (0; +∞)

x ∈ (0; +∞)

y < 0

x ∈ (-∞; 0)

Спадна

х ∈ (0; +∞)

х ∈ (-∞; 0); x ∈ (0; +∞)

Зростаюча

х ∈ (-∞; 0)

На малюнку 86 зображено графік функції у = х 0. Опишіть її властивості самостійно.

Якщо число а дробове, то степенева функція у = зазвичай розглядається лише на множині додатних значень аргументу або на множині невід’ємних значень, якщо а > 0.

Такою, зокрема, є функція у = , яку можна записати також у такому вигляді: у = .

Мал. 86

Властивість

Функція у = (а — дробове)

а > 0

а < 0

Dу)

[0; +∞)

(0; +∞)

Е(у)

[0; +∞)

(0; +∞)

y = 0

х = 0

y > 0

x ∈ (0; +∞)

х ∈ (0; +∞)

Спадна

х ∈ (0; +∞)

Зростаюча

x ∈ (0; +∞)

Графіки функцій з різними дробовими показниками зображено на малюнках 87-89.

Мал. 87

Мал. 88

Мал. 89

Мал. 90

Скориставшись графіками, зображеними на цих малюнках, визначимо ще кілька властивостей функцій з дробовими показниками і внесемо їх до таблиці. Властивості функції у = з дробовим показником наведено в другій таблиці на с. 120.

Зверніть увагу на те, який вигляд має графік степеневої функції з додатним показником степеня на проміжку [0; 1]. На цьому проміжку (мал. 90) графіком функції у = є:

1) відрізок ОА, якщо = 1;

2) крива, напрямлена опуклістю вниз, якщо > 1;

3) крива, напрямлена опуклістю вгору, якщо 0 < < 1.

Чим більше додатне значення ( > 1), тим нижче від відрізка ОА розміщується графік функції у = .

На практиці степеневі функції використовують для опису різних економічних процесів, зокрема, їх застосовують для опису кривих байдужості, а також попиту і пропозиції стосовно товарів різних категорій. Попит і пропозиція — важливі елементи ринкової економіки, оскільки їх співвідношення формує ціни на товари та послуги.

Крива попиту (мал. 91) показує можливу кількість товару, який вдається продати за певний час за цінами даного рівня, зокрема, і те, що при підвищенні ціни (Р 1 > Р 2) величина попиту зменшується (Q 1 < Q 2).

Мал. 91

Хочете знати ще більше?

Оскільки досі вам були відомі тільки степені з раціональними показниками, то й степеневі функції розглядаємо тільки з раціональними показниками. Згодом поняття степеня буде розширено: розглядатимемо також степені з довільними дійсними показниками. Відповідно і поняття степеневої функції буде розширено. Науковці тепер степеневою називають функцію у = , де а — довільне дійсне число.

Іноді поняття степеневої функції ще більш узагальнюють. Так називають кожну функцію, яку можна задати формулою у = k .

Степенева функція поєднує кілька різних видів функцій.

На малюнку 92 схематично зображено співвідношення між деякими видами функцій.

Мал. 92

Цифрами 1, 2 і 3 позначено: 1 — функція, яка водночас є лінійною і степеневою (тільки у = х); 2 — функція, яка водночас є квадратичною і степеневою (тільки одна: у = х 2); 3 — функція, яка водночас є і степеневою, і оберненою пропорційністю (тільки одна: у = х -1).

Перевірте себе

1. Сформулюйте означення степеневої функції з натуральним показником.

2. Які обмеження накладають на аргумент х функції у = х n, якщо n < 0?

3. Які види степеневої функції вам відомі?

4. Як розміщений на координатній площині графік функції у = х n, n ∈ N, якщо: а) n — непарне число; б) n — парне число?

5. Сформулюйте загальні властивості степеневих функцій.

Виконаємо разом

1. Чи проходить графік функції у = х 0,75 через точку (16; 8)?

Розв’язання. Якщо х = 16, то у = 16 0,75 = =8.

Відповідь. Проходить.

2. Побудуйте графіки функцій у = і у = 3 . Що є спільного у графіківцих функцій і чим вони різняться?

Розв’язання. у = — степенева функція з дробовим показником.

Її область визначення D = [0; +∞). Графік розташований у І чверті (мал. 93).

Область визначення функції у = 3 — множина всіх дійсних чисел R. Її графік розташований у І і III чвертях (мал. 94).

Мал. 93

Мал. 94

Для х ≥ 0 графіки функцій у = і y = 3 однакові.

Виконайте усно

670. Які з наведених функцій є степеневими:

671. Чи може графік степеневої функції проходити через початок координат? Якщо може, то наведіть приклад.

672. Чи є степеневою функція у = ? А функція у = (-х) -2?

673. Чи проходить графік функції у = через точку (27; 9)?

674. Чи проходить графік функції у = через точку (16; -8)?

675. Що більше:

а) чи ;

б) чи ?

Рівень А

676. Побудуйте графік функції у = х 2 на проміжку: а) [-3; 3]; б) [-2; 0]; в) [2; 3].

677. Дано функцію у = х 3 на проміжку [-2; 1]. Побудуйте її графік. Чи є дана функція парною або непарною?

678. Відомо, що функція у = х 8 при х = с має значення . Чому дорівнює значення цієї функції при х = -с?

679. Функція у = х 7 при х = с має значення m. Чому дорівнює значення цієї функції при х = -с?

680. Доведіть, що графік кожної степеневої функції проходить через точку А(1; 1).

681. Чи проходить графік функції у = х 0,25 через точку М( 16; 8)? А через точку М1( 16; 2)?

682. Які з точок належать графіку функції: а) у = х 2; б) у = :

683. Зіставте властивості функцій у = (-х) 2, у = -х 2, у = х- 2. Які з них степеневі? Побудуйте ескізи їхніх графіків.

684. Степенева функція задана таблицею. Якою формулою її можна задати?

x

1

2

3

4

y

64

27

8

1

Мал. 95

685. За графіком функції у = х 4 (мал. 95) опишіть її властивості: яка область визначення цієї функції; на яких проміжках вона зростає; на яких — спадає; при якому значенні х функція має найменше значення; чи має вона найбільше значення; чи є дана функція або парною, або непарною, або періодичною.

686. 3а графіком функції у = х 5 (див. мал. 75), опишіть її властивості.

687. Побудуйте графік функції:

а) у = х 4 + 1;

б) у = x 4 - 1.

688. Відомо, що графік функції у = проходить через точку Р (2; ). Чому дорівнює ?

689. Функцію задано формулою у = . Знайдіть , якщо графік функції проходить через точку:

а) А(7; 49);

б) D(81; 9);

в) B(13; 169);

г) М(-64; -4);

ґ) С(144; 12);

д) N(-216; -6).

690. При якому значенні графік функції у = проходить через точку

691. Знайдіть значення функції f(x) в точці х 0 якщо:

692. Для функції у = знайдіть: f(0), f(1), f(8), f(27), f(64).

693. Для функції у = знайдіть: f(1), f(4), f(16), f(25).

694. Знайдіть область визначення функції:

695. Побудуйте і порівняйте графіки функцій:

696. Побудуйте схематично графіки функцій:

а) у = x -2;

б) у = х 2,5;

в) у = х -5.

697. Побудуйте графіки функцій:

а) у = х 4;

б) у = ;

в) у = х -4;

г) у = .

698. Розв’яжіть графічно рівняння:

а) х 4 = х;

б) х 05 = 2 - х;

в) 2х 5 = 3 - х.

Рівень Б

699. Порівняйте вирази, якщо а > 0:

а) 0,15 а і 0,34 а;

б) 0,17 а і 0,23 а;

в) 3,1 а і 4,52 а;

г) 2,78 а і 6,9 а.

700. Порівняйте вирази, якщо 0 < q < 1:

а) 0,47 q і 0,51 q;

б) 0,39 q і 0,42 q;

в) 3,14 q і 4,73 q;

г) 9,2 q і 11,38 q.

701. Порівняйте числа:

702. Порівняйте числа:

703. Функцію задано формулою у = х q. Знайдіть q, якщо графік функції проходить через точку:

704. Для поданих нижче функцій вкажіть нулі функції (якщо такі є) та проміжки зростання чи спадання:

Побудуйте схематично графік функції (705-706).

705.

706.

707. Побудуйте графіки функцій:

708. Розв’яжіть графічно рівняння:

709. Знайдіть значення функцій

у точці х = 3, якщо відомо, що ≈1,73. Результати запишіть у таблицю.







Яка з функцій у точці 3 має найбільше значення, а яка — найменше?

Рівень В

710. Оцініть значення функції у = , якщо:

711. Оцініть значення х, якщо:

Знайдіть найбільше і найменше значення функції (712-714).

712. у = на проміжках [0; 1], [1; 9], [16; +∞).

713. у = на проміжках [1; 9], [0,25; 4], [25; +∞).

714. у = на проміжках [0; 1], [1; 8], [0; 8].

715. Запишіть рівняння степеневої функції у = f(x), якщо:

а) f(-2) = 4, f(3) = 9;

б) f(-1) = -1, f(2) = 8.

716. Зіставте властивості функцій у = і у = . Складіть порівняльну таблицю.

717. Використовуючи властивість функції, розв’яжіть рівняння:

Розв’яжіть графічно рівняння (718-719).

718.

719.

720. Знайдіть кількість цілих розв’язків нерівності:

721. Для кожного значення параметра а визначте кількість коренів рівняння:

а) - 1 = х 2 + а;

б) а - (х - 5) 4 = .

Вправи для повторення

722. Обчисліть значення виразу:

723. Якою цифрою закінчується число а = 123 6 + 111 12?

724. Морська вода містить 5 % солі. Скільки кілограмів прісної води треба додати до 40 кг морської води для того, щоб вміст солі в ній становив 2 %?

725. Щомісячна плата за оренду приміщення становить 2500 грн. Запишіть у вигляді формули залежність загальної суми коштів, витраченої на оренду приміщення протягом року, від кількості місяців. Побудуйте графік отриманої функції. Встановіть область визначення і область значень цієї функції.






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити