Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ І ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

Михайло Пилипович КРАВЧУК (1892-1942)

Всесвітньо відомий математик, академік, педагог, громадський діяч. Його ім’ям названо терміни: «многочлени Кравчука», «формули Кравчука», «q-функції Кравчука — Мейкснера» га ін. Співавтор першого словника української математичної термінології. Організатор першої в Україні математичної олімпіади школярів (1935).

image2

Хочете навчитися математики, беріться за завдання. Кожне розв’язання є своєрідним мистецтвом пошуку.

Немає у світі машин, які йшли не від математики, немає повнокровного життя творця техніки без цієї науки… Ніякої достовірності немає в науках там, де не можна застосувати математику. Тим-то вона, математика, для вас має стати душевною потребою, якщо хочете, хлібом і піснею .

М. П. Кравчук

image3

НАБУВАЄМО ДОСВІДУ ТА КОМПЕТЕНТНОСТЕЙ

• Множини і операції над ними

• Числові функції, їх графіки та властивості

• Ділення многочленів

• Метод інтервалів

• Задачі з параметрами

• Метод математичної індукції

• Виконувати операції над множинами

• Розуміти суть функціональних залежностей, їх завдання та використання

• Зображувати графіки та встановлювати властивості функції

• Розв’язувати рівняння і нерівності та доводити твердження

• Моделювати реальні процеси за допомогою функцій і рівнянь

Навчальний проект № 1. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ ЗА ДОПОМОГОЮ ІКТ

§ 1 Множини та операції над ними

Сукупність тих чи інших об’єктів називають різними словами, наприклад: бригада (робітників), клас (учнів), рій (бджіл), табун (коней), зібрання (творів), набір (олівців), комплект (деталей) тощо. У математиці в таких випадках використовують одне слово — множина. Можна говорити про множину робітників, множину учнів, множину бджіл, множину олівців, множину деталей і т. ін. Множина — поняття неозначуване.

Об’єкти, які входять до множини, називають її елементами. Наприклад, одним із елементів множини зір, які входять до сузір’я Велика Ведмедиця, є зірка Дубхе (з арабської — ведмідь) (мал. 1).

Щоб записати множину, використовують фігурні дужки. Наприклад:

• {2; 3; 5; 7} — множина чисел 2, 3, 5, 7;

• {○, ●, ■} — множина, що складається з кола ○, круга ● і квадрата ■.

Вважають, що всі елементи множини різні. Наприклад, не прийнято

записувати {5; 5; 7}. Цю множину можна записати так: {5; 7} або {7; 5}. Порядок елементів у записі множини значення не має. Наприклад, записи {2; 3; 5; 7} і {3; 5; 2; 7} означають одну й ту саму множину. Можна також сказати, що ці множини рівні.

Дві множини називаються рівними, якщо вони складаються з тих самих елементів.

Рівними є також множини розв’язків рівнянь 2х + 3 = 0 і = 1.

Мал. 1

Перевірте.

Множини часто позначають великими буквами латинського алфавіту: А, В, С,…, а їхні елементи — малими: а, b, с,….

Якщо елемент а належить множині М, то записують аМ; якщо неналежить, то пишуть: аМ. Наприклад, 5 {1, 3,4, 6}, 2{1, 3,4, 5}.

Множину, що складається зі скінченної кількості елементів, називають скінченною. Такими є: множина всіх двоцифрових чисел, множина вершин шестикутника, множина його діагоналей тощо.

Множину, яка містить нескінченну кількість елементів, називають нескінченною. Нескінченною є, наприклад, множина всіх натуральних чисел, множина всіх точок деякого відрізка, множина розв’язків рівняння

х2 - 4 = (2 + х)(х - 2).

Якщо множина містить дуже багато або безліч елементів і перерахувати їх важко або й неможливо, такі множини записують інакше, використовуючи характеристичну властивість.

Наприклад:

{х|х>5} — множина всіх чисел, більших від 5;

{p|р — просте і р < 120} — множина всіх простих чисел, менших від 120.

Отже, множину можна задати переліком усіх її елементів або описом їх характеристичної властивості.

Розглядають множини, що містять тільки по одному елементу або не мають жодного елемента. Наприклад, множина коренів рівняння х + 3 = 15 містить одне число 12. Цю множину записують так: {12}. Рівняння +3 = 0 коренів не має. Кажуть, що множина його коренів — порожня.

Порожньою називають множину, яка не містить елементів. Її позначають символом —.

У математиці найчастіше розглядають числові множини (елементами яких є тільки числа) і точкові множини (елементами яких є точки). Проте нерідко доводиться говорити і про множини виразів, рівнянь, нерівностей, функцій, відображень, відношень, переміщень, векторів тощо.

Математичний термін множина (і пов’язані з ним множення, множник, многочлен та ін.) походить від давньоукраїнського слова много. І. Франко писав: «Якби ти знав, як много важить слово…»

Для деяких числових множин існують усталені позначення. їх ви знаєте з попередніх класів.

N — множина натуральних чисел;

Z — множина цілих чисел;

Q — множина раціональних чисел;

R — множина дійсних чисел.

Ці множини пов’язані такими співвідношеннями:

NZQR (мал. 2).

Знак (означає «є підмножиною»: кожна множина N, Z, Q є частиною (підмножиною) наступної множини.

Мал. 2

Якщо кожний елемент множиниA є елементом множини В, то множинуA називають підмножиною множини В.

Наприклад, множина дівчаток з якогось класу є підмножиною множини всіх учнів цього класу. Множина {1, 2, 3, 5} є підмножиною множини {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Записують це так: {1,2,3,5}{1,2,3,4,5,6,7,8}. Взагалі, якщо А — підмножина В, то пишуть А В, або В А. Підмножиною множини В вважають також порожню множину і саму множину В.

Не обов’язково одна з двох множин є підмножиною іншої. Наприклад, множини квадратів К і трикутників Т не мають жодного спільного елемента, а множини прямокутників А і ромбів В мають спільну частину — множину квадратів К, але ні А не є підмножиною В, ні В не є підмножиною А (мал. 3).

У цьому випадку множина К є підмножиною множини А і множини В.

Відомі вам числові проміжки є підмножинами множини дійсних чисел. Якщо а і b — довільні дійсні числа, то використовують такі позначення і відповідні зображення (мал. 4):

Мал. З

Мал. 4

Розглянемо основні операції, які можна виконувати над множинами.

Перерізом двох множин називають таку множину, яка складається з усіх їх спільних елементів і тільки з них.

Переріз множин позначають знаком . Наприклад, якщо М = {а, b, с, d}, Р = {b, с, р}, то МР = {b,с}.

У загальному вигляді (мал. 5):

АВ = {х|х А і х В}.

Об’єднанням двох множин називають множину, яка складається з усіх елементів, що належать принаймні одній із цих множин і тільки з них.

Об’єднання множин позначають знаком .

Наприклад, якщо М = {а, b, с, d), Р = {b, с, р), то МР = {а, b, с, d, р}. У загальному вигляді (мал. 6): А В = |х|х А або х В}.

Мал. 5

Мал. 6

Поняття «переріз» чи «об’єднання» можна застосовувати до будь-яких множин. Щоб краще запам’ятати, який із символів ⋂ або писати, зверніть увагу на записи «⋂ереріз», «nion».

Приклади.

1. На малюнках 7, а і 7, б зображено об’єднання та переріз відрізків АВ і CD відповідно:

а) [AB][CD] = [AD];

б) [AB]⋂[CD] = [CB].

Примітка. Якщо відрізки, промені, прямі розглядають як множини точок, то їх позначають різними символами: [АВ], [АВ), (АВ).

2. Об’єднанням двох квадратів на малюнку 8 є неопуклий 16-кутник (мал. 8, а), а їх перерізом — опуклий восьмикутник (мал. 8, б).

Мал. 7

Мал. 8

Хочете знати ще більше?

Різницею множин А і В називають множину, яка складається з усіх тих елементів множини А, які не належать множині В.

Позначають різницю множин А і В символом А \ В, а зображають схематично так, як показано на малюнку 9.

Приклади.

1. Якщо А = {а, b, с, k}, В = {b, с, р}, то А \ В = {а, k}.

2. Якщо А = {1, 3, 5}, В = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, то В \ А = {2, 4, 6}.

Якщо А В, причому А ≠ і А ≠ В, то різниця В \ А називається також доповненням множини А до множини В. Наприклад, доповненням множини раціональних чисел до множини дійсних чисел є множина ірраціональних чисел.

Мал. 9

Нескінченні множини бувають зчисленні і незчисленні (мал. 10). Кожна нескінченна множина називається зчисленною, якщо її елементи можна пронумерувати. Наприклад, множина натуральних чисел, множина квадратів натуральних чисел, множина парних чисел — усе це множини зчисленні. Нескінченна множина, яка не є зчисленною, називається незчисленною. Такою, наприклад, є множина всіх точок деякого відрізка, множина дійсних чисел тощо.

Мал. 10

Зверніть увагу! У підручнику всі математичні об’єкти розглядають на множині дійсних чисел або її підмножинах.

Перевірте себе

1. Наведіть приклад множини. Які бувають множини?

2. Як позначають множини та їх елементи?

3. Як можна задавати множини?

4. Які множини називають рівними?

5. Що таке підмножина?

6. Що називають об’єднанням двох множин?

7. Що називають перерізом двох множин?

Виконаємо разом

1. Запишіть усі підмножини множини М - {с, d, k).

Розв’язання. Підмножинами даної множини є множини:{с}, {d}, {k}, {с, d}, {с, k}, {d, к}, {с, d, k}, —.

2. Знайдіть об’єднання і переріз множин А і В, якщо А = {х|хN і 5 < х ≤ 10}, В = {х|хR і -1 < х ≤ 10}.

Розв’язання. Множину А можна задати переліком: А = {6, 7, 8, 9, 10}, а В — це проміжок (-1; 10] ( мал. 11).

Оскільки А Б, то А ⋃ B = B = (-1;10], а А ⋂ B = А = {б,7,8,9,10}.

Мал. 11

3. Анкетування учнів 10 класу показало, що 8 із них мають вдома собаку, а 15 — кішку. Скільки учнів навчаються в цьому класі, якщо п’ятеро не мають тварин, а двоє мають і кішку, і собаку?

Розв’язання.

Спосіб 1. Розглянемо підмножини учнів 10 класу: А — множина учнів, які мають лише кішок. Вона має 13 елементів (15 - 2 = 13).

В — множина учнів, які мають лише собак. Вона має 6 елементів(8 - 2 = 6).

С — множина учнів, які мають і кішку, і собаку. Вона має 2 елементи.

D— множина учнів, які не мають тварин. Ця множина має 5 елементів. Оскільки множина всіх учнів 10 класу — це об’єднання множин А, В, С і D, то в 10 класі навчається:

13+ 6 + 2 + 5 = 26 (осіб).

Спосіб 2. Собаку або кішку мають:

8 + 15 - 2 = 21 (учень).

Усього учнів 21 + 5 = 26.

Подібні задачі зручно розв’язувати на малюнках (мал. 12).

Мал. 12

Виконайте усно

1. Провідміняйте слово множина, множини.

2. Скільки елементів має множина двоцифрових чисел, кратних 10? Назвіть її елементи.

3. Скільки елементів має множина коренів рівняння:

а) х2 = 2;

б) х2 + 17 = 8;

в)— |х| = 0?

4.Знайдіть множину цілих чисел, які задовольняють умову:

а) 11 < х < 15;

б) |2х| ≤ 5;

в) |х + 3|< 1.

5. Нехай Р — множина парних цілих чисел, а Н — непарних. Чому дорівнюють переріз і об’єднання цих множин?

6. Знайдіть переріз і об’єднання множин букв:

а) {р, у, к, а} і {к, р, у, г};

б) {к, о, р, а, л} і {р, а, н, о, к}.

7. Яким може бути переріз і об’єднання множин точок:

а) двох відрізків;

б) двох площин;

в) двох півплощин?

8. Чим є переріз і об’єднання множин: а) натуральних чисел і цілих чисел; б) раціональних чисел та ірраціональних чисел?

9. Як називається:

а) множина корів;

б) множина людей, яких обслуговує банк;

в) множина квітів у вазі;

г) множина тварин, які населяють певну територію;

ґ) множина музикантів, які виступають разом?

10. Розгадайте ребуси (мал. 13).

Мал. 13

Рівень А

11. Випишіть усі елементи кожної з поданих нижче множин: А — множина назв днів тижня, В — множина кольорів світлофора, С — множина назв материків, D — множина цифр, Е — множина кольорів веселки.

12. Наведіть приклади множини, яка має:

а) два елементи;

б) п’ять елементів;

в) один елемент.

13. Запишіть множину букв, якими записують ваше ім’я та прізвище.

14. Запишіть множину цифр, якими записують дату вашого народження (день, місяць і рік).

15. Задайте переліком елементів множину одноцифрових чисел, які діляться:

а) на 3;

б) на 5;

в) на 15.

16. Випишіть усі підмножини для кожної з множин:

а) {; ■};

б) {*, ∆, #}.

17. Випишіть усі підмножини для кожної з множин вправи 15.

18. Практичне завдання. Намалюйте два квадрати так, щоб їх перерізом і об’єднанням також був квадрат.

Зобразіть на числовій прямій множини (19—21).

19.

а) (-∞; 5);

б) (1; 3);

в) [0; 2];

г) (7; +∞).

20.

а) (-∞; - 1];

б) [0; 3);

в) [1; 2);

г) [4; + ∞).

21.

а) (-3; 5);

б) [5; + ∞); 

в) (1; 2,5];

г) (-∞; 0).

Знайдіть об’єднання множин А і В (22—23).

22.

а) А = {1, 2, 3, 7}, В = {5, 7, 3, 1};

б) А = {0, 1, 2, 3}, В = {7, 6, 5, 4};

в) А = {1, 2, 3}, В = {-1, -2, -3};

г) А = {2, 3}, В = {1, 2, 3, 4}.

23.

а) А = {а, Ь, с}, В = {b, с, а};

б) А = {є, ї}, В = {f, в};

в) А = {а, m, n, k}, В = {а, b, с, m};

г) А = {а, б, в, г, д}, В = {α, β, γ, δ}.

Знайдіть переріз множин М і Р (24 — 25).

24.

а) М = {1, 3, 5, 7}, Р = {2, 4, 6, 8};

б) М = {-1, 2, -3, 4}, Р = {1, 2, 3};

в) М = {1, 2, 3, 4, 5}, Р = {2, 4};

г) М = {0, 1, -2}, Р = {-2, 1, 0}.

25.

Рівень Б

26. Серед наведених нижче множин укажіть скінченні й нескінченні:

а) множина від’ємних чисел;

б) множина цифр у записі числа р;

в) множина коренів рівняння х100 - 1 = 0;

г) множина дійсних чисел, які належать відрізку [0; 1];

ґ) множина розв’язків рівняння 2х + 3у = 5;

д) множина розв’язків нерівності х2 - 2х + 1 ≤ 0.

27. Випишіть усі підмножини множини {▲, О, ■, ∆}.

28. Скільки підмножин має множина, яка містить:

а) один елемент;

б) два елементи;

в) три елементи;

г) чотири елементи;

ґ) п’ять елементів?

29. Перевірте твердження «Множина, що складається з n елементів, містить 2" підмножин» для n, що дорівнює: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Знайдіть АВ і АВ (30-31).

30.

31.

32. Із 100 опитаних студентів 48 щодня користуються метро, 55 — тролейбусом. Відомо, що 45 студентів не користуються жодним видом транспорту. Скільки осіб користується лише тролейбусом?

33. Множини задано за допомогою характеристичної властивості. Випишіть їхні елементи, якщо:

34. Множини А, В і С задано переліком елементів. Запишіть їх за допомогою характеристичної властивості, якщо:

А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}, С = {2, 3, 5, 7}.

35. Запишіть переліком множину:

а) спільних дільників чисел 60 і 126;

б) спільних кратних чисел 12 і 18 з першої сотні;

в) простих чисел з першої сотні;

г) множину розв’язків рівняння х2 + у2 = 0.

Знайдіть об’єднання і переріз числових проміжків (36 — 38).

36.

37.

38.

39. Нехай X — множина операцій, які ліцензовані у банку М, а Y — множина операцій, які ліцензовані у банку Н. Перелік операцій ліцензії в банку М: 1) касове обслуговування клієнтів; 2) надання кредитів юридичним особам; 3) надання кредитів фізичним особам; 4) валютні операції на внутрішньому валютному ринку; 5) валютні операції на міжнародних грошових ринках; 6) ведення валютних рахунків клієнтів; 7) випуск цінних паперів (облігацій, ощадних сертифікатів тощо). Перелік операцій ліцензії у банку Н: 1) надання консультаційних послуг; 2) касове обслуговування клієнтів; 3) надання кредитів фізичним особам; 4) залучення депозитів фізичних осіб; 5) випуск цінних паперів (облігацій, ощадних сертифікатів тощо); 6) валютні операції на внутрішньому валютному ринку; 7) відкриття філій банку на території України. Знайдіть, які операції може здійснювати банк К, якщо перелік операцій у його ліцензії: а) X У; б) X ∩ У; в) X \ Y; г) Y \ X.

40. Нехай А — множина всіх коренів рівняння х5 - 2x4 + х3 - х2 + 1 = 0. Які з чисел -1; -0,5; 0; 0,5; 1 — є елементами цієї множини?

41. Для множин А = {2, 3, 7}, В = {5, 7, 3} і С = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3} знайдіть:

Знайдіть А ∩ В і АВ (42—45).

42.

43.

44.

45.

46. Знайдіть А\ В, В \ С, С \ А, С \ В, В \ А, А \ С для множин, наведених у вправі 41.

Мал. 14

47. На малюнку 14 зображено 12 прямокутних трикутників, у яких ОА = 2,

АА1 = А1А2 = ..А11А12 = 1. Запишіть множину довжин гіпотенуз утворених трикутників. Скільки ця множина містить ірраціональних чисел?

48. Скільки дітей у родині, якщо семеро з них залюбки їдять яблука, шестеро — груші, п’ятеро — сливи? Четверо дітей люблять їсти яблука і груші, троє — яблука і сливи, двоє — груші і сливи. Відомо, що одна дитина любить усі фрукти, а решта — принаймні один з перелічених.

49. На канікулах учні 10 класу відвідали дискотеку, театр і цирк. На дискотеці було 25 учнів, у театрі — 11, а в цирку — 17, на дискотеці і в театрі — 6, в цирку і на дискотеці — 10, а в театрі і цирку — 4. Скільки десятикласників побували і на дискотеці, і в театрі, і в цирку, якщо в класі навчаються 36 учнів і лише двоє не були ні на дискотеці, ні в театрі, ні в цирку?

50. Зобразіть множини А, В, А ∩ В, А U В, А \ В, В \ А, якщо:

51. Зобразіть множини А, В, А ∩ В, А U В, А \ В, В \ А і знайдіть площі утворених фігур, якщо:

52. Відкрита задача. Зобразіть множини А, В, А ∩ В, А U В, А \ В, В \ А і знайдіть площі утворених фігур, якщо: А = {(х, y)|х2 — у2 ≤ о} і В … .

53. Для кожного значення параметра а знайдіть А ∩ В, якщо А = {х|х2 ≥ 16} і В = {х|х2 ≤ а2}.

54. Задано множини А = {(х, у) | х2 + у2 = 4} і В = {(х, у) | |х| + |у| = а}. Залежно від значень параметра а знайдіть кількість елементів множини С, якщо С = А ∩ В.

55. Обчисліть значення виразу:

56. Спростіть вираз:

«Людина своїми звичками приводить у рух сили, які, зрештою, її й гублять».

Піфагор

57. Курець випалює 4 цигарки за добу. Після випалювання першої цигарки в легенях осідає 0,0002 г нікотину. З кожною наступною цигаркою ця кількість збільшується на 0,000001 г. Яка кількість шкідливих речовин осідає в легенях курця за тиждень? А за рік?

58. Розв’яжіть нерівність:

а) 2(х + 3) - 1 ≤ х - 3(3х - 1);

б) х2 + 6х + 6 < х.






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити