Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§ 18 Властивості та графіки тригонометричних функцій

Одна з найважливіших властивостей тригонометричних функцій поля­гає в тому, що кожна з них — функція періодична. Функцію у = f(х) на­зивають періодичною, якщо існує таке дійсне число Т ≠ 0, що для всіх значень х з області її визначення f(х - Т) = f(x) = f(x + Т).

Число Т називають періодом даної функції. Якщо Т — період деякої функції, то nТ, де n ∈ Z і n ≠ 0, також є її періодом. Графік такої функції паралельним перенесенням уздовж осі x на Т, 2Т, …, nТ одиниць уліво чи вправо відображається на себе (мал. 121).

Мал. 121

Покажемо, що функція у = sin x— періодична. Оскільки числу 2 відпо­відає повний оберт точки одиничного кола, то числам х, х + 2, х + 4, …, х + 2n, де n — число ціле, на одиничному колі відповідає одна й та сама точка. Синуси усіх цих чисел рівні. Тому для кожного цілого значення n:

Звідси

тому за означенням 2 — період функції у = sin x. А якщо б ця функція мала додатний період І < 2, тоді правильною була б рівність

А за умови, що 0 < І < 2, ця рівність є неправильною (переконайтесь у цьому за допомогою одиничного кола). Отже, найменший додатний період функції у = sinх дорівнює 2.

Аналогічно, на області визначення функцій у = соs х, у = tg x, у = ctg x мають місце рівності:

Тоді з означення періодичних функцій випливає, що функція у = соs х є періодичною з періодом 2, а функції у = tg x і у = ctg x періодичні з періодом . Можна довести, що найменший додатний період функції у = соs х дорівнює 2, а функції у = tg x i y = ctg x — (доведіть самостійно).

Одну з властивостей періодичних функцій сформулюємо у вигляді теореми.

Теорема. Якщо функція y = f(x) періодична з періодом Т, то функціяy= аf(kх + b) теж періодична з періодом (k ≠ 0).

Доведення. Для будь-якого х з області визначення функції y = af(kx + b) маємо:

Отже, має місце рівність:

Отже, число є періодом функції y = af(kx + b).

Зверніть увагу! Якщо потрібно знайти найменший додатний період функції у = af(kx + b), то це буде число (k ≠ 0), де T — найменший додатний період функції у = f(x).

Наприклад, найменшими додатними періодами для функції y1 = sin2x,

будуть, відповідно, числа

Розглянемо інші властивості тригонометричних функцій.

Функція у = sin х. Щоб виявити важливіші властивості цієї функції, побудуємо її графік. Спочатку — тільки на проміжку [0; 2]. Складемо таблицю значень:

x

0

2

y

0

1

0

-1

0

Точки з відповідними координатами нанесемо на координатну площину (мал. 122).

Якщо обчислити значення sin х для всіх дійсних значень х і позначити на координатній площині всі відповідні їм точки, то дістанемо криву, зо­бражену на малюнку 123. Це графік функції у = sin х на [0; 2]. (Значення sinх можна не обчислювати, а визначати вимірюванням відповідних ліній синуса одиничного кола).

Мал. 122

Мал. 123

На побудованому графіку показано, як змінюється ордината точки оди­ничного кола, здійснюючи один повний обхід цього кола. На другому, третьому і наступних обходах усе повторюється. Це випливає також із тотожності sin(х + 2n) = sinх. Тому якщо криву, зображену на малюн­ку 123, перенести на кожний із проміжків [2n; 2(n + 1)], де n — числа цілі, дістанемо весь графік (мал. 124). Криву, яка є графіком функції у = sin x називають синусоїдою.

Область визначення функції у = sin х — множина всіх дійсних чисел R, а область значень — відрізок [-1; 1]. Функція непарна, періодична, її найменший додатний період дорівнює 2. Графік функції зображено на малюнку 124.

Мал. 124

Функція у = cos x. Оскільки для кожного значення х є правильною рівність

то графік функції у = соs х — така сама синусоїда, тільки зміщена вздовж осі х на одиниць вліво (мал. 125).

Її називають косинусоїдою.

Зазначимо основні властивості функції у = соs х.

Її область визначення — множина всіх дійсних чисел R, область зна­чень — відрізок [-1; 1]. Функція парна, періодична, її найменший додатний період дорівнює 2. Графік функції у - соsх зображено на малюнку 125.

Мал. 125

Функція у = tg x. Графік функції у = tgxзображено на малюнку 126. Її область визначення — множина всіх дійсних чисел, за винятком чисел+ n, де n ∈ Z. Область значень — множина всіх дійсних чисел R.

Якщо х збільшувати від - до , то значення tg x збільшуватиметься від -∞ до +∞. При збільшенні х від до все повторюється, бо при кожному х з області визначення і будь-якому цілому ntg x= tg(x+ n). Функція у = tg x— періодична з найменшим додатним періодом . Ця функція непарна, бо для кожного х з області визначення tg(-x) = -tg x. Графік функції у = tg x називають тангенсоїдою, він складається з безлічі окремих віток. Кожна з цих віток — нескінченна крива, яку паралельним перенесенням можна відобразити на будь-яку іншу вітку даної тангенсоїди (мал. 126).

Мал. 126

Функція у = ctg x. Графік функції у = ctg x зображено на малюнку 127. Її область значень — множина R, а область визначення — множина R за винятком чисел n, де n ∈ Z. Функція у = ctg x також непарна: ctg(-x) = -ctg x.

Її найменший додатний період дорівнює . Графік функції у = ctg x складається з безлічі рівних між собою нескінченних і центрально симетричних ліній (мал. 127).

Інші властивості тригономе­тричних функцій (нулі, проміжки знакосталості, зростання і спадання) можна прочитати за відповідними графіками. Спробуйте це зробити самостійно.

Досі йшлося про графіки найпрос­тіших тригонометричних функцій.

А як побудувати графіки складніших функцій? Для цього слід згадати правила перетворення графіків (с. 18, форзац 3).

Знаючи, який вигляд має, наприклад, графік функції у = cos x, мож­на побудувати графік функції у = 3 + cos х (мал. 128).

А дивлячись на графік, можна вка­зати й основні властивості функції у = 3 + cos х. Її область визначен­ня — множина R, область значень — відрізок [2; 4]. Функція парна, пе­ріодична з найменшим додатним періодом 2. Побудову складніших графіків тригонометричних функцій розглянемо у наступному параграфі.

Для порівняння всі властивості тригонометричних функцій зведено в таблицю (с. 168). З часом всі вони будуть обґрунтовані, і ви навчитеся ви­значати їх й аналітично.

Мал. 127

Мал. 128

Розглянемо застосування тригонометричних функцій у фізиці. Нехай точка М рухається по колу радіуса А в додатному напрямку зі сталою кутовою швидкістю рад/с (мал. 129). Якщо в початковий момент часу (тобто коли t = 0) точка М займала положення М0, яке визначається кутом , то через час t вона займе деяке положення М, яке визначається кутом t + . Орди­ната точки М дорівнює А sin(t + ).

Формула у = А sin(ωt + ) визначає змінну у як функ­цію часу t. Це — формула гармонічного коливання, де у — значення функції; t — аргумент; а числа А, і — сталі: А — амплітуда коливання; — кутова швидкість; — початкова фаза; t + — фаза коливання.

Амплітуда визначається в лінійних одиницях довжини, фаза і початкова фаза — у радіанах. Амплітуда — це величина найбільшого відхилення від положення рівноваги.

Число показує кількість повних коливань за 2 одиниці часу.

Період Т гармонічного коливання — це найменший додатний період функції у - А sin(t + ), тобто Т = — час, протягом якого точка М здійснює один повний оберт по колу. За цей час точка М проходить Т рад або 2 рад.

Мал. 129

Частотою гармонічного коливання називають кількість коливань, здійснюваних за 1 с: = = . Її частіше позначають грецькою буквою (ню).

Частоту визначають у герцах (1 Гц = 1 с-1).

Приклади гармонічних коливань наведено на малюнках 130-132.

Хочете знати ще більше?

Якою може бути область визначення періодичної функції? Оскільки періодом періодичної функції є число, відмінне від нуля, то одне з чисел х —Т і х + Т є меншим від х, а друге — більшим від х. Тому якщо якась періодична функція визначена в якійсь точці х, то вона визначена також у кожній точці х + nТ, де n — довільне ціле число, додатне чи від’ємне. З цього випливає, що область визначення періодичної функції — нескін­ченна в обидва боки осі х. Вона може бути: 1) всією множиною дійсних чисел; 2) нескінченною послідовністю рівномірно розташованих рівних проміжків; 3) нескінченною множиною точок.

Ця властивість області визначення періодичної функції використовується для розв’язування задач, наприклад, такого виду.

Задача. Областю визначення періодичної функції у = f(x) із періодом Т = 9 є множина всіх дійсних чисел. На проміжку (-6; 3] цю функцію за­дано формулою f(x) = 11 - х3. Обчисліть значення f(5).

Розв’язання. Оскільки функція визначена на проміжку (-6; 3] і має період 9, то вона визначена також у кожній точці х + 9n, де n — довільне ціле число, х ∈ (-6; 3], зокрема й у точці 5. Знайдемо f(5).

За означенням періодичної функції f(х - Т) = f(х) = f(x+ Т).

Маємо: f(5) = f(-4 + 9) = f(-4) = 11 - (-4)3 = 75.

Перевірте себе

1. Яку функцію називають періодичною?

2. Назвіть область визначення і множину значень кожної з тригономет­ричних функцій.

3. Назвіть найменший додатний період кожної з тригонометричних функцій.

4. Чи мають нулі тригонометричні функції?

5. Як називають графіки основних тригонометричних функцій?

Виконаємо разом

1. Знайдіть період функції

Розв’язання. Щоб знайти період даної функції, потрібно знайти спільний період функцій

тобто число, що ділиться на цілий період кожної функції. Маємо: Т1 =, Т2 = = 3.

Очевидно, що спільним періодом буде число Т = 6.

2. Побудуйте графік функції:

а) у = 3sin x;

б) у = sin 2x;

в) у = sin|х + 2|.

Розв’язання, а) Щоб побудувати графік функції у = 3sin x, треба графік функції у = sin x «розтягнути» від осі х у 3 рази (мал. 130) (див. с. 18).

Мал. 130

б) Щоб побудувати графік функції у = sin 2х, треба графік функції у =sin х «стиснути» до осі у вдвічі (мал. 131).

Мал. 131

в) Щоб побудувати графік функції у = sin|х + 2|, треба побудувати графік функції:

1) у = sin x;

2) у = sin|х|;

3) у = sin |х + 2| (мал. 132).

Мал. 132

3. Побудуйте графік функції у = 3соs(2х + 4).

Розв’язання. Запишемо функцію у вигляді у = 3соs2(х + 2). Побудову виконуємо в такій послідовності:

1) у = соsх;

2) у = соs2х;

3) у = соs2(х + 2);

4) у = Зсоs(2х + 4).

1) Будуємо графік функції у = соs х;

2) стискаємо його до осі у у 2 рази;

3) отриманий графік переносимо на 2 одиниці ліворуч (мал. 133, а);

4) розтягом від осі х у 3 рази дістанемо потрібний графік (мал. 133, б).

Мал. 133

Так само можна перетворювати й інші графіки тригонометричних функцій.

Виконайте усно

931. Які з функцій періодичні:

932. Знайдіть найменший додатний період функції.

933. Опишіть усно, як змінюється значення функції у = sin x при збіль­шенні її аргументу х від 0 до 2.

934. Як змінюється значення функції у = cos х при збільшенні її аргументу х від 0 до 2?

935. Чи можна вважати парною функцію у = cos x, задану на множині (0; +∞)? А на множині [-; ]?

936. Хід поршня в циліндрі двигуна дорівнює 12 см. Знайдіть амплітуду його коливання.

937. Визначте амплітуду, фазу, початкову фазу і кутову швидкість гармо­нічного коливання, заданого формулою:

938. Чи правильно, що графік функції

є також графіком функції у = sin х?

939. Чи правильно, що графік функції y = |1 + cos x| є також графіком функції у = 1 + cos х?

Рівень А

Використовуючи періодичність тригонометричних функцій, знайдіть зна­чення виразу (940-941).

940.

941.

942. Чи проходить графік функції

через точку:

943. Еколог, що вивчає популяцію жуків-плавунців протягом 8 тиж­нів, змоделював зміну їх кількос­ті за допомогою функції К(t) = 5 + 2sin () де t — кількість тижнів дослідження, 0 ≤ t ≤ 8, а K(t) — кількість жуків-плавун­ців у тисячах. На малюнку 134 побудовано графік цієї функції. Встановіть:

а) чисельність популяції на по­чатку дослідження;

б) чи зменшувалася кількість по­пуляції жуків плавунців до 2000;

в) найбільшу і найменшу чисельність популяції за час дослідження.

944. Побудуйте графік функції у = х2 на відрізку [-1; 1]. Продовжте цей графік на відрізок [-12; 12] так, щоб він задавав періодичну функцію. Знайдіть період цієї функції.

Мал. 134

945. Побудуйте графік функції у = 2 - |х| на відрізку [-2; 2]. Продовжте цей графік на відрізок [-12; 12] так, щоб він задавав періодичну функцію. Знайдіть період цієї функції.

Побудуйте графік функції (946-949).

946.

947.

948.

949.

950. Побудуйте графік функції

Укажіть: а) нулі функції; б) найбільше і найменше значення; в) про­міжки зростання і спадання.

951. Побудуйте графік функції у = соs х, х ∈ [0; 2].

Укажіть: а) нулі функції; б) найбільше і найменше значення; в) про­міжки зростання і спадання.

Побудуйте графік функції та встановіть її множину значень (952-953).

952.

а) у = sin х - 1;

б) у = 2 + соs х;

в) у = tg x + 1;

г) у = -1 + ctg x.

953.

а) у = 2sin х;

б) у = 0,5соs х;

в) y= 2tg x;

г) y = 0,5ctg х.

Побудуйте графіки функцій та встановіть, яка з них є парною (непарною) (954-955).

954.

а) у = -sin х - 1;

б) у = -соs х;

в) у = -tg x;

г) у = -ctg x.

955.

а) у = 2sin х;

б) у = -2соs х;

в) y = 0,5tg x;

г) y = 2ctg x.

Побудуйте графік функції (956-957).

956.

957.

958. Практичне завдання. Розглянемо одну матеріальну модель синусоїди. Якщо обгорнути свічку кілька разів папером, потім перерізати її го­стрим ножем під кутом 45° до осі свічки (мал. 135) і розгорнути папір, матимемо матеріальну модель частини синусоїди. Спробуйте виготовити таку мо­дель синусоїди, обгорнувши кольоровим папером свічку чи циліндр, виготовлений із пластиліну.

Мал. 135

Рівень Б

Знайдіть період функції та побудуйте її графік (959-961).

959.

image1

960.

image2

961.

image3

962. Знайдіть абсциси точок перетину графіка функції у = sin з віссю х.

963. Знайдіть абсциси точок перетину графіків функцій у = соs 2х і у = 0,5.

964. Знайдіть область значень функції:

image4

Знайдіть найменший додатний період функції (965-966).

965.

image5

966.

image6

Побудуйте графік функції (967-969).

967.

image7

968.

image8

969. Областю визначення періодичної функції у = f(x) із періодом Т = 5 є множина всіх дійсних чисел. Обчисліть:

а) f(7), якщо f(x) = Зх2 - 1 для х ∈ (-2; 3];

б) f(4), якщо f(x) = для х ∈ (-5; 0].

970. Областю визначення періодичної функції у = f(x) із періодом Т = 0,5 є множина всіх дійсних чисел. Обчисліть:

а) f(1,25), якщо f(x) = 1 — sin 2x для х ∈ (0; 0,5];

б) f(), якщо f(x) = 2cos2x - 1 для х ∈ [0; 0,5).

971. Парною чи непарною є функція:

image9

972. Розмістіть у порядку зростання числа:

а) sin 0, sin 1, sin 2, sin З, sin 3,1, sin З,5, sin 5;

б) соs 0, соs 1, соs 2, соs 2,5, соs З,3, соs 4, соs 6,3.

Побудуйте графік і визначте важливіші властивості функції (973-974).

973.

а) у = 4sin х на [-; ];

б) у = -0,5соs х на [-; ].

974.

Скільки коренів має рівняння (975-976)?

975.

а) tg x = ;

б) = 2х;

в) tg x = х3.

976.

а) соs х = 1;

б) sin х = х;

в) соs х = 0,5.

977. Дивлячись на графіки гармонічних коливань у = А sin(t + ) (мал. 136), напишіть відповідні їм функції.

Мал. 136

978. Побудуйте графік функції у = 1-х2, х ∈ [-1; 1]. Продовжте графік так, щоб він задавав періодичну функцію. Який період має утворена функція? Чи задає ця функція гармонічне коливання?

979. Електричний струм, який живить міську освітлювальну мережу, є змінним струмом. Його сила І постійно змінюється, здійснюючи гармонічне коливання

де І — максимальне значення сили струму; Т — період коливання; — початкова фаза.

З’ясуйте, у які моменти часу сила струму досягає мінімального або максимального значення і коли дорівнює нулю.

Рівень В

980. Побудуйте графік функції:

Побудуйте графік і визначте важливіші властивості функцій (981-982).

981.

982.

Побудуйте графіки функцій (983-989).

983.

984.

985.

986.

987.

988.

989.

990. Розв’яжіть графічно рівняння:

Знайдіть найменший додатний період функції (991-992).

991.

992.

Побудуйте графік функції (993-994).

993.

994.

995. При якому значенні параметра а рівняння має єдиний розв’язок:

Спростіть вираз (996-997).

996.

997.

998. Чи є число 143 членом арифметичної прогресії 3, 8, 13, …? Якщо так, то знайдіть номер цього члена прогресії.






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити