Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§ 19 Формули додавання

Теорема. Які б не були кути або числа а і β, завжди cos(а - β) = cos а cos β + sin а sin β.

Доведення. Нехай а і β — довільні кути. На одиничному колі їм відповідають точки A (cos a; sin а) і В (cos β; sin β) (мал. 137). Виразимо квадрат відстані між точками А і В двома способами. Якщо ∠ АОВ = а - β, де 0 < а — β <, то, за теоремою косинусів, АВ2 = ОА2 + ОВ2 - 2 ∙ ОА — OB cos(a- β) = 2 - 2cos(a- β).

А згідно з теоремою про квадрат відстані між двома точкамиАВ2 = (cos a- cos β)2+ (sin a - sin β)2 = cos2a - 2cos a cos β + cos2β + sin2a - 2sin a sin β + sin2β = 2 - 2 (cos a cos β+ sin a sin β).

Отже, 2 - 2cos(a - β) = 2 - 2 (cos a cos β + + sin a sin β), звідси cos (a - β) = cos a cos β + sin a sin β.

Ми розглянули випадок, коли ∠ AOB = a - β, де 0 < а - β <. В інших випадках кут АОВ може дорівнювати a- β + 2n або β - a+ 2n, де n ∈ N(мал. 138). Косинус кожного з таких кутів дорівнює cos (a- β). Тому доводжувана теорема правильна для будь-яких кутів а і β, а отже, і для довільних чисел а і β.

Мал. 137

Мал. 138

На основі доведеної теореми, формул зведення і властивостей тригонометричних функцій можна вивести аналогічні формули для перетворення виразів cos(а + β) і sin(а ± β).

Доведемо ще формули для перетворення виразів tg(a± β).

Отже, маємо 6 формул:

Це формули додавання. Чотири перші з них правильні для будь-яких кутів або чисел а і β, дві останні — для будь-яких допустимих значень а і β (коли всі тангенси у формулі мають значення).

Перевірте себе

1. Які тригонометричні рівності називають формулами додавання?

2. Чому дорівнює косинус різниці двох кутів?

3. Чи одне й те саме означає косинус суми і сума косинусів?

4. Чому дорівнює косинус суми двох кутів?

5. Чому дорівнює тангенс суми (різниці) двох кутів?

6. Чому дорівнює синус суми (різниці) двох кутів?

Виконаємо разом

1. За допомогою формул додавання перетворіть вираз:

Розв’язання.

2. Обчисліть значення sin 75°. Розв’язання.

Відповідь.

3. Обчисліть значення виразу cos 35° cos 25° - sin 35° sin 25°.

Розв’язання.

Знайдіть найбільше і найменше значення виразу sin а + соs а. Розв’язання. Запишемо даний вираз у вигляді синуса суми двох чисел:

Оскільки

то

Отже, найменше значення виразу дорівнює -2, а найбільше значення 2. Примітка. Щоб вираз A sin а + В cos а записати у вигляді синуса або косинуса суми, потрібно винести за дужки множник .

Виконайте усно

999. Обчисліть значення виразу:

1000. Спростіть вираз:

Рівень А

Спростіть вираз (1001-1003).

1001.

1002.

1003.

Обчисліть значення виразу (1004-1006).

1004.

1005.

1006.

Доведіть тотожність (1007-1008).

1007.

1008.

Обчисліть значення виразу (1009-1011).

1009.

a) sin 75°;

б) cos 75°;

в) tg 75°;

г) ctg 75°.

1010.

a) sin 15°;

б) cos 15°;

в) tg 15°;

г) ctg 15°.

1011.

a) sin 105°;

б) cos 105°;

в) tg 105°;

г) ctg 105°.

1012. Знайдіть tg(a + β) і tg(a - β), якщо tg a = , tg β = .

1013. Знайдіть tg ( - а) і tg ( + а), якщо tg a = 1,5.

Рівень Б

Обчисліть значення виразу (1014-1016).

1014.

«Життя прекрасне двома речами — можливістю вивчати математику та можливістю викладати її».

С. Пуассон

1015.

1016.

Спростіть вираз (1017-1022).

1017.

1018.

1019.

1020.

1021.

1022.

Доведіть тотожність (1023-1027).

1023.

1024.

1025.

1026.

1027.

1028. Знаючи, що sin a = і sin β = , причому 0 < а <, 0 < β <,обчисліть значення:

а) sin(a+ β);

б) cos (a+ β);

в) cos(а - β).

1029. Знайдіть tg β, якщо:

1030. Спростіть вираз:

Рівень В

Знайдіть найбільше і найменше значення виразу (1031-1032).

1031.

1032.

1033. На малюнку 139 зображено графіки двох тригонометричних функцій у1 = аsin х і у2 = βсоs х. Знайдіть:

а) значення коефіцієнтів а і β;

б) період кожної функції;

в) найбільше і найменше значення кожної функції;

г) період функції у = у1 + у2;

ґ) найбільше і найменше значення функції у = у1 + у2. Побудуйте графік функції у = у1 + у2.

1034. Доведіть, що а + β = 135°, якщо а і β — гострі кути і ctg а = , сtg β = .

Мал. 139

1035. Доведіть, що a + β = 45°, якщо кути а і β — гострі і tg a = , tg β = .

1036. Доведіть тотожність;

1037. Доведіть, що для будь-яких кутів a, β, у трикутника sin y = sin a cos β + cos a si nβ.

1038. Доведіть, що для будь-яких кутів а, β і у непрямокутного трикутника справджується рівність:

1039. Кути трикутника дорівнюють a, β, у, причому cos a = , cos β = .

Знайдіть:

a) sin y;

6) cos y;

в) tgy;

г) ctgy.

1040. Побудуйте графік функції:

«Найвище призначення математики — знаходити порядок у хаосі, який нас оточує».

Н. Вінер

1041. При яких значеннях параметра а можлива рівність

Вправи для повторення

1042. З двох міст, відстань між якими становить 500 км, виїхали назустріч один одному автомобіль і мотоцикл, які зустрілися через 5 год. Швидкість руху автомобіля у 3 рази більша, ніж швидкість руху мотоцикла. Яка швидкість руху автомобіля і яка — мотоцикла?

1043. Розв’яжіть нерівність:

а) (х + 3)(х - 2) > 0;

б) (2х - 1)(х - 5) < 0.

1044. Різниця між прибутком і видатком називається сальдо. У таблиці подано у гривнях розміри прибутків і видатків фірми «Фенікс» за чотири місяці. За даними таблиці установіть відповідність між місяцями (1-4) і розміром сальдо (А-Д) за кожен із цих місяців.



Прибуток

Видаток


Сальдо

1

Січень

3,15 -104

3,43 -104

А

3,07 -104

2

Лютий

6,15 -104

4,5 -104

Б

7,28 -104

3

Березень

1,15 -105

8,43 -104

В

-2,8 -103

4

Квітень

1,04 -105

1,35 -105

Г

-3,1 -104





Д

1,65 -104






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити