Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§ 20 Формули подвійного і половинного аргументів

Якщо у формулах додавання:

замість змінної β підставити а, дістанемо тотожності:

Це формули подвійних аргументів. Вони правильні при будь-яких значеннях а (остання — за умови, що tg a і tg 2a існують).

Якщо у формулі cos 2a = cos2 a - sin2 a замінити cos2 a = 1 - sin2 a або sin2 a = 1 - cos2 a, то отримаємо cos 2a = 1 - sin2 a - sin2 a = 1 - 2sin2 a або cos 2a = cos2 a - (1 - cos2 a) = 2cos2 a - 1. Отже,

Формули подвійних аргументів часто використовують для перетворень тригонометричних виразів. Наприклад,

Зверніть увагу на вирази

Отже,

Ці тотожності називають формулами пониження степеня. Замінивши а в них а на , дістанемо формули половинних аргументів:

Для прикладу обчислимо tg 15°. Оскільки tg 15° > 0, то

Отже, tg 15° = 2 - .

Примітка. Іноді аргумент а доцільно розглядати як подвійний відносно — або половинний — відносно 2а. Наприклад,

Для перетворення складніших виразів використовують формули потрійного аргументу — формули, які виражають тригонометричні функції аргументу За через тригонометричні функції аргументу а. А саме:

Доведемо дві з них.

1.

2.

Інші дві формули доведіть самостійно.

Формули потрійних кутів використовують для перетворення тригонометричних виразів та доведення тотожностей.

Приклад 1. Доведіть тотожність

Застосовуючи формули синуса і косинуса потрійного кута, отримаємо:

Для спрощення деяких виразів, доведення тотожностей, розв’язування тригонометричних рівнянь і нерівностей використовують формули, які виражають кожну з тригонометричних функцій через тангенс половинного аргументу.

Для доведення двох перших формул використовують формули подвійного аргументу для sin a і cos а, врахувавши, що a = 2 ∙:

Запишемо їх у дещо іншому вигляді і поділимо чисельник і знаменник кожної з них на cos2, вважаючи, що cos≠ 0 . Маємо:

Дві інші формули можна безпосередньо отримати з формул tg 2а і ctg 2а,врахувавши, що а = 2 ∙.

Приклад 2. Знайдіть sin а , соs а, tg a, ctg a, якщо tg= .

Скористаємося формулами, які виражають тригонометричні функції через тангенс половинного кута. Тоді отримаємо:

Перевірте себе

1. Сформулюйте формули додавання.

2. Як можна отримати формули подвійних аргументів?

3. Чому дорівнює синус подвійного аргументу? А косинус?

4. За якою формулою обчислюють тангенс подвійного аргументу?

5. Доведіть формули пониження степеня.

6. Які формули називають формулами половинних аргументів?

Виконаємо разом

1. Спростіть вираз:

Розв’язання.

2. Доведіть тотожність

Розв’язання. Перетворимо ліву частину тотожності:

тотожність доведено.

3. Знайдіть sin 2а, cos 2а, tg 2a і ctg 2a, якщо sin a = і < а <.

Розв’язання. Знайдемо cos а : cos2а = 1 - sin2а або cos a = ±.

Оскільки a — кут другої чверті, то cos a < 0. Маємо:

Оскільки sin 2a = 2sin a cos a, то

Знайдемо cos 2a, tg 2a і ctg 2a:

Відповідь.

4. Обчисліть

Розв’язання. Помножимо і поділимо даний вираз на 2sin і застосуємоформулу синуса подвійного кута. Тоді отримаємо:

5. Доведіть тотожність

Розв’язання. Скористаємося формулами додавання і отримаємо:

Зверніть увагу! Доведену тотожність часто використовують для обчислення значень виразів. Наприклад,

Виконайте усно

Спростіть вираз (1045-1047).

1045.

а) 2sin а соs а;

б) sin x соs х;

в) 4соs β sin β;

г) 4sin a соs а соs 2а.

1046.

1047.

1048. Обчисліть значення виразу:

Рівень А

1049. Обчисліть значення виразу:

Спростіть вираз (1050-1053).

1050.

1051.

1052.

1053.

Доведіть тотожність (1054-1056).

1054.

1055.

1056.

1057. Обчисліть:

а) sin 2a і cos 2a, якщо sin a = 0,6 і 0 <a < 90°;

б) tg 2a, якщо tg a = -3.

1058. Дано: sin a= 0,8; 90° < a < 180°. Знайдіть sin і cos.

1059. Дано:

Знайдіть sin За і cos За.

1060. Дано: tg= 3. Знайдіть sin a, cos a, tg a.

Рівень Б

1061. Обчисліть значення виразу:

Спростіть вираз (1062-1066).

1062.

1063.

1064.

1065.

1066.

Доведіть тотожність (1067-1070).

1067.

1068.

1069.

1070.

«Алгебра і геометрія — єдині країни, де панують тиша й мир».

Марія Аньєзі

1071. Спростіть вираз:

1072. Дано:

Знайдіть sin а, соs а, tg а, ctg a.

1073. Дано:

Знайдіть sin 2а, соs 2а, tg 2a, ctg 2a.

1074. Дано:

Знайдіть sin(2а + 2β), якщо а і β — го­стрі кути.

1075. Дано:

Знайдіть sin , cos , tg , ctg .

1076. Доведіть:

1077. Побудуйте графіки функцій:

Рівень В

1078. Спростіть вираз:

1079. Доведіть тотожність:

Використовуючи тотожності з № 1079, обчисліть значення виразу (1080-1082).

1080.

а) сos 20° соs 40° соs 80°;

б) соs 10 соs 30° соs 50°соs 70°;

1081.

а) tg 20° tg 40° tg 60° tg 80°;

б) tg10° tg 30° tg 50° tg 60° tg 70°;

1082.

а) 8соs 5° соs 15° соs 55° соs 65°;

б) tg5 ° tg 15° tg 45° tg 55° tg 65°.

Знайдіть значення (1083-1084).

1083.

1084.

1085. Знайдіть область значень функції:

1086. Обчисліть:

Спростіть вираз (1087-1088).

1087.

1088.

Вправи для повторення

1089. У загальному обсязі забруднення атмосфери питома вага різних га­лузей промисловості й транспорту становить (%): теплова енергетика - 25,7; чорна металургія - 23,4; нафтовидобувна і нафтохімічна - 13,7; транспорт - 11,6; кольорова металургія - 11,1; гірничодобувна -7,1; підприємства будівельного комплексу - 3,4; машинобудування - 2,8; інші галузі - 1,2. Побудуйте секторну діаграму.

1090. Птахоферма збільшила випуск продукції за перший рік на 10 %, а за другий — на 20 %. Як зріс випуск продукції на птахофермі за ці два роки?

1091. Знайдіть область визначення функції:








Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити