Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік
Розділ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ
§ 20 Формули подвійного і половинного аргументів
Якщо у формулах додавання:
замість змінної β підставити а, дістанемо тотожності:
Це формули подвійних аргументів. Вони правильні при будь-яких значеннях а (остання — за умови, що tg a і tg 2a існують).
Якщо у формулі cos 2a = cos2 a - sin2 a замінити cos2 a = 1 - sin2 a або sin2 a = 1 - cos2 a, то отримаємо cos 2a = 1 - sin2 a - sin2 a = 1 - 2sin2 a або cos 2a = cos2 a - (1 - cos2 a) = 2cos2 a - 1. Отже,
Формули подвійних аргументів часто використовують для перетворень тригонометричних виразів. Наприклад,
Зверніть увагу на вирази
Отже,
Ці тотожності називають формулами пониження степеня. Замінивши а в них а на 
, дістанемо формули половинних аргументів:
Для прикладу обчислимо tg 15°. Оскільки tg 15° > 0, то
Отже, tg 15° = 2 - 
.
Примітка. Іноді аргумент а доцільно розглядати як подвійний відносно 
— або половинний — відносно 2а. Наприклад,
Для перетворення складніших виразів використовують формули потрійного аргументу — формули, які виражають тригонометричні функції аргументу За через тригонометричні функції аргументу а. А саме:
Доведемо дві з них.
1.
2.
Інші дві формули доведіть самостійно.
Формули потрійних кутів використовують для перетворення тригонометричних виразів та доведення тотожностей.
Приклад 1. Доведіть тотожність
Застосовуючи формули синуса і косинуса потрійного кута, отримаємо:
Для спрощення деяких виразів, доведення тотожностей, розв’язування тригонометричних рівнянь і нерівностей використовують формули, які виражають кожну з тригонометричних функцій через тангенс половинного аргументу.
Для доведення двох перших формул використовують формули подвійного аргументу для sin a і cos а, врахувавши, що a = 2 ∙
:
Запишемо їх у дещо іншому вигляді і поділимо чисельник і знаменник кожної з них на cos2
, вважаючи, що cos
≠ 0 . Маємо:
Дві інші формули можна безпосередньо отримати з формул tg 2а і ctg 2а,врахувавши, що а = 2 ∙.
Приклад 2. Знайдіть sin а , соs а, tg a, ctg a, якщо tg
= 
.
Скористаємося формулами, які виражають тригонометричні функції через тангенс половинного кута. Тоді отримаємо:
Перевірте себе
1. Сформулюйте формули додавання.
2. Як можна отримати формули подвійних аргументів?
3. Чому дорівнює синус подвійного аргументу? А косинус?
4. За якою формулою обчислюють тангенс подвійного аргументу?
5. Доведіть формули пониження степеня.
6. Які формули називають формулами половинних аргументів?
Виконаємо разом
1. Спростіть вираз:
Розв’язання.
2. Доведіть тотожність
Розв’язання. Перетворимо ліву частину тотожності:
тотожність доведено.
3. Знайдіть sin 2а, cos 2а, tg 2a і ctg 2a, якщо sin a = 
і 
< а <
.
Розв’язання. Знайдемо cos а : cos2а = 1 - sin2а або cos a = ±
.
Оскільки a — кут другої чверті, то cos a < 0. Маємо:
Оскільки sin 2a = 2sin a cos a, то
Знайдемо cos 2a, tg 2a і ctg 2a:
Відповідь.
4. Обчисліть
Розв’язання. Помножимо і поділимо даний вираз на 2sin
і застосуємоформулу синуса подвійного кута. Тоді отримаємо:
5. Доведіть тотожність
Розв’язання. Скористаємося формулами додавання і отримаємо:
Зверніть увагу! Доведену тотожність часто використовують для обчислення значень виразів. Наприклад,
Виконайте усно
Спростіть вираз (1045-1047).
1045.
а) 2sin а соs а;
б) sin x соs х;
в) 4соs β sin β;
г) 4sin a соs а соs 2а.
1046.
1047.
1048. Обчисліть значення виразу:
Рівень А
1049. Обчисліть значення виразу:
Спростіть вираз (1050-1053).
1050.
1051.
1052.
1053.
Доведіть тотожність (1054-1056).
1054.
1055.
1056.
1057. Обчисліть:
а) sin 2a і cos 2a, якщо sin a = 0,6 і 0 <a < 90°;
б) tg 2a, якщо tg a = -3.
1058. Дано: sin a= 0,8; 90° < a < 180°. Знайдіть sin і cos.
1059. Дано:
Знайдіть sin За і cos За.
1060. Дано: tg= 3. Знайдіть sin a, cos a, tg a.
Рівень Б
1061. Обчисліть значення виразу:
Спростіть вираз (1062-1066).
1062.
1063.
1064.
1065.
1066.
Доведіть тотожність (1067-1070).
1067.
1068.
1069.
1070.
«Алгебра і геометрія — єдині країни, де панують тиша й мир».
Марія Аньєзі
1071. Спростіть вираз:
1072. Дано:
Знайдіть sin а, соs а, tg а, ctg a.
1073. Дано:
Знайдіть sin 2а, соs 2а, tg 2a, ctg 2a.
1074. Дано:
Знайдіть sin(2а + 2β), якщо а і β — гострі кути.
1075. Дано:
Знайдіть sin 
, cos , tg , ctg .
1076. Доведіть:
1077. Побудуйте графіки функцій:
Рівень В
1078. Спростіть вираз:
1079. Доведіть тотожність:
Використовуючи тотожності з № 1079, обчисліть значення виразу (1080-1082).
1080.
а) сos 20° соs 40° соs 80°;
б) соs 10 соs 30° соs 50°соs 70°;
1081.
а) tg 20° tg 40° tg 60° tg 80°;
б) tg10° tg 30° tg 50° tg 60° tg 70°;
1082.
а) 8соs 5° соs 15° соs 55° соs 65°;
б) tg5 ° tg 15° tg 45° tg 55° tg 65°.
Знайдіть значення (1083-1084).
1083.
1084.
1085. Знайдіть область значень функції:
1086. Обчисліть:
Спростіть вираз (1087-1088).
1087.
1088.
Вправи для повторення
1089. У загальному обсязі забруднення атмосфери питома вага різних галузей промисловості й транспорту становить (%): теплова енергетика - 25,7; чорна металургія - 23,4; нафтовидобувна і нафтохімічна - 13,7; транспорт - 11,6; кольорова металургія - 11,1; гірничодобувна -7,1; підприємства будівельного комплексу - 3,4; машинобудування - 2,8; інші галузі - 1,2. Побудуйте секторну діаграму.
1090. Птахоферма збільшила випуск продукції за перший рік на 10 %, а за другий — на 20 %. Як зріс випуск продукції на птахофермі за ці два роки?
1091. Знайдіть область визначення функції:
