Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік
Розділ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ
§ 21 Формули суми і різниці тригонометричних функцій
Суму і різницю синусів або косинусів можна подати у вигляді добутку тригонометричних функцій.
Мають місце такі формули:
Усі ці тотожності називають формулами перетворення суми тригонометричних функцій у добуток (різницю вважають окремим видом суми). Дві останні формули правильні тільки за умови, що tg a і tg β визначені.
Доведемо формулу
Припустимо, що a = x + y i β = x - y. Тоді sin а + sin β= sin(x+ у) + sin(x - у) = sin x cos у + cos x sin у + sin x cos у — cos x sin у = 2sin x cos y.
З рівностей a = x + y i β = x - yзнаходимо, що
Тому
Цю тотожність називають формулою суми синусів двох кутів.
Інші з наведених вище шести формул можна довести простіше, наприклад, так.
Приклад 1. Доведіть тотожність:
Доведення.
Існують також формули, які дають змогу перетворювати добуток тригонометричних функцій на суму.
Доведемо першу з цих формул. Перетворимо праву частину:
Аналогічно можна довести й інші формули. Зробіть це самостійно.
Приклад 2. Перетворіть у суму добуток 2sin а sin 2а sin 3а.
Розв’язання. 2sin а sin 2а sin За = 2 · 0,5 · (соs(-а) — соs За)sin За = соs а sin 3а — соs 3а sin 3а = 0,5(sin 4а + sin 2а) - 0,5sin 6а = 0,5sin 4а + 0,5sin 2а - 0,5sin 6а.
Часто для спрощення тригонометричних виразів та обчислення їх значень застосовують спеціальні прийоми. Розглянемо один із них.
Приклад 3. Обчисліть значення виразу
Розв’язання. Помножимо і поділимо задану суму на 2sin
.
Маємо:
Використаємо формули перетворення добутку в суму.
Отримаємо:
Формули, які дають змогу перетворювати добуток тригонометричних функцій у суму, використовують також для дослідження функцій, зокрема, для визначення їх періоду.
Приклад 4. Знайдіть найменший додатний період функціїf (х) = 2соs2х соs 3х.
Розв’язання. Подамо вираз, що задає функцію f(х) у вигляді суми тригонометричних функцій у першому степені. Маємо:
Найменший додатний період кожної з функцій у1 = 0,5соs х, у2 = соs 3х,
у2 = 0,5соs 5х дорівнює відповідно Т1 = 2
, Т2 =
, Т3 = 
,. Число 2
ділиться націло на кожне з чисел 2
, і , тому Т = 2 — найменшийдодатний період функції f(x) = 2соs2х соs 3х.
Перевірте себе
1. Чому дорівнює сума синусів кутів а і β? А їх різниця?
2. За якою формулою знаходять суму косинусів двох кутів? А різницю?
3. Доведіть формулу перетворення суми синусів двох кутів у добуток.
4. Доведіть формулу перетворення суми косинусів двох кутів у добуток.
5. За якими формулами добуток тригонометричних функцій перетворюють у суму? Доведіть одну з них.
Виконаємо разом
1. Доведіть тотожність:
Розв’язання. Перетворимо ліву частину тотожності:
tg 2a = tg 2a. Тотожність доведено.
2. Запишіть у вигляді добутку вираз 1 - 2cos a.
Розв’язання.
3. Спростіть вираз sin (60° - a) sin(60° + a) sin a.
Розв’язання. Скористаємося формулами перетворення добутку тригонометричних функцій у суму і отримаємо:
4. Відомо, що a, β, у — внутрішні кути трикутника.
Доведіть, що
Розв’язання. Якщо а, β, у — кути трикутника, то а + β + у = 180°, звідси у = 180° - (а + β). Тоді
Виконайте усно
Перетворіть у добуток (1092-1093).
1092.
1093.
Рівень А
1094. Спростіть вираз:
Запишіть у вигляді добутку вираз (1095-1099).
1095.
1096.
1097.
1098.
1099.
Перетворіть дані добутки на суми (1100-1101).
1100.
а) cos 20° cos 10°;
б) sin 5° cos 40°;
в) sin 10° sin 20°;
г) cos 15° cos 75°.
1101.
a) 2sin a sin 2a;
б) 2cos 3a cos 2a;
в) 2sin 4a sin a;
г) 2sin 6a cos 4a.
Доведіть тотожність (1102—1104).
1102.
1103.
1104.
a) 2sin 35° sin 55° = cos 20°;
6) 2cos 65° cos 25° = cos 40°.
1105. Перетворіть на добуток:
Рівень Б
1106. Спростіть вираз:
1107. Розкладіть на множники вираз:
1108. Доведіть:
1109. Спростіть вираз:
1110. Запишіть у вигляді суми:
Доведіть тотожність (1111-1113).
1111.
1112.
1113.
Запишіть у вигляді добутку (1114-1115).
1114.
1115.
Знайдіть найменший додатний період функції (1116-1117).
1116.
а) sin5a sin 7a + 2;
б) 2cos2a cos 3a;
в) sin2a sin 2a + 3.
1117.
а) 2cos 3a sin 7a;
б) sin2a cos 3a - 1;
в) 8sin32a cos2 2a.
1118. Доведіть тотожність Ейлера:
1119. Доведіть тотожність Вієта:
Рівень В
Доведіть тотожність (1120-1121).
1120.
1121.
1122. Доведіть, що при будь-яких а і β виконується рівність:
Доведіть тотожність (1123-1124).
1123.
1124.
1124
Обчисліть значення виразу (1125-1126).
1125.
1126.
1127. Відомо, що а, β, у — кути трикутника. Доведіть, що:
1128. Перетворіть на добуток різницю:
«…Головним скарбом життя є здоров’я, і щоб його зберегти, потрібно багато що знати».
Авіценна
Вправи для повторення
1129. Розв’яжіть рівняння:
1130. Спростіть вираз
і знайдіть його значення при а = 4.
1131. За даними Дитячого фонду ООН (ЮНІСЕФ) в Україні 120 000 підлітків 10-19 років належать до групи ризику. З них 75 % — це діти вулиці. 45 % підлітків із групи ризику внаслідок своєї поведінки наражаються на ризик інфікування ВІЛ. Установіть:
а) скільки підлітків із групи ризику становлять діти вулиці;
б)скільки підлітків із групи ризику наражаються на ризик інфікування ВІЛ — вірус імунодефіциту людини (англ)