Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік
Розділ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
Леонард ЕЙЛЕР (1707-1783)
Видатний швейцарський, російський і німецький математик, фізик, астроном, інженер тощо. Майже в усіх галузях математики та її застосувань є терміни, пов’язані з його ім’ям.
Надав сучасного вигляду тригонометрії, зокрема, розширив поняття тригонометричних функцій та ввів відповідні позначення, обґрунтував знаки тригонометричних функцій у різних координатних чвертях і формули зведення.
Саме математика насамперед захищає нас від обману чуттів і вчить, що одна справа — як влаштовані предмети, які сприймаються чуттями, а інша — якими вони здаються; ця наука дає найнадійніші правила; хто керується ними, тому не страшний обман чуттів.
Л. Ейлер
НАБУВАЄМО ДОСВІДУ ТА КОМПЕТЕНТНОСТЕЙ
• Обернені тригонометричні функції
• Найпростіші тригонометричні рівняння і нерівності
• Основні способи розв’язування тригонометричних рівнянь і нерівностей
• Тригонометричні рівняння і нерівності з параметрами
• Рівняння і нерівності, які містять обернені тригонометричні функції
• Формулювати означення обернених тригонометричних функцій
• Обґрунтовувати формули коренів тригонометричних рівнянь
• Розв’язувати тригонометричні рівняння та нерівності, зокрема з параметрами
Навчальний проект №4. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬІ НЕРІВНОСТЕЙ З ПАРАМЕТРАМИ
§ 22 Обернені тригонометричні функції
Під час дослідження у галузі механіки, електротехніки, геодезії, оптики, геометрії виникає потреба розв’язувати рівняння та нерівності, у яких невідома змінна стоїть під знаком однієї з тригонометричних функцій (тригонометричні рівняння і нерівності). Щоб розв’язувати такі рівняння і нерівності, використовують обернені тригонометричні функції. З’ясуємо, що це за функції.
З теореми про обернену функцію випливає, що функція оборотна, якщо вона монотонна на всій області визначення. Тригонометричні функції на всій області визначення немонотонні, а тому, взагалі кажучи, необоротні. Але можна визначити проміжки, на яких тригонометричні функції монотонні, а отже, мають обернені функції. Розглянемо ці функції та їх властивості.
Функція у = arcsin х. Функція у = sinxна відрізку [-0,5
; 0,5
] зростає, а тому на цьому відрізку має обернену функцію. її називають арксинусом і позначають у = arcsin x. Оскільки графіки двох взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = х, то графік функції у = arcsin х можна отримати з графіка функції у = sinх, х∈ [-0,5; 0,5] за допомогоюперетворення симетрії відносно прямої у = х (мал. 140).
Мал. 140
Властивості функції у = arcsin x.
D(y) = [-1; 1].
2.
3. Функція непарна: arcsin(-x) = -arcsin x.
4. На всій області визначення функція зростає.
З властивостей взаємно обернених функцій випливають рівності:
Арксинусом числа а називають такий кут або число з відрізка
синус якого дорівнює а.
Приклад 1. Обчисліть:
Розв’язання.
Функція у = arccos х. Функція у = cos x на відрізку [0; ] спадає, а тому на цьому відрізку має обернену функцію. Її називають арккосинусом і позначають у = arccos х. Графік функції у = arccos х можна отримати з графіка функції у = cos x, х ∈ [0; ] за допомогою перетворення симетрії відносно прямої у = х (мал. 141).
Властивості функції у = arccos х.
1. D(y) =[-1;1].
2. Е(у) = [0; ].
3. Функція ні парна, ні непарна: arccos(-х) = 
— arccos х.
Мал. 141
4. На всій області визначення функція спадає.
З властивостей взаємно обернених функцій випливають рівності: cos (arccos х) = х, х ∈ [-1; 1] і arcco s (cos х) = х, х ∈ [0; ].
Арккосинусом числа а називають такий кут або число з відрізка [0; ], косинус якого дорівнює а.
Приклад 2. Обчисліть:
Розв’язання.
Можна було цей приклад розв’язати, використовуючи формулу, а саме:
Функція у = arctg x. Функція у = tg x на проміжку (-
; ) зростає, а томуна цьому проміжку має обернену функцію. Її називають арктангенсом і позначають у = arctg x. Графік функції у = arctg x можна отримати з графіка функції у = tg x, х ∈ (-; ) — за допомогою перетворення симетрії відносно прямої у = х (мал. 142).
Властивості функції у = arctg х
1. D(у) = R.
2. Е(у) = (-
; 
.
3. Функція непарна: arctg(-x) = -arctg x.
4. Функція зростає на всій області визначення.
З властивостей взаємно обернених функцій випливають рівності:
Мал. 142
Арктангенсом числа а називають такий кут або число з інтервалу
що його тангенс дорівнює а.
Приклад 3. Обчисліть: а) аrctg 1; б) аrctg(-
).
Розв’язання.
Функція у = аrcctg x. Функція у = ctg x на проміжку (0; ) спадає, а тому на цьому проміжку має обернену функцію. Її називають арккотангенсом і позначають у = arcctg x. Графік функції у = arcctg x можна отримати з графіка функції у = ctg x, х ∈ (0;), симетричним відображенням відносно прямої у = х (мал. 143).
Властивості функції у = arcctg x;.
1. D(у) = R.
2. Е(у) = (0; ).
3. Функція ні парна, ні непарна: arcctg(-x) = k — arcctg х.
4. Функція спадає на всій області визначення.
З властивостей взаємно обернених функцій випливають рівності:
Мал. 143
Арккотангенсом числа а називають такий кут або число з інтервалу (0; ), що його котангенс дорівнює а.
Приклад 4. Обчисліть:
Розв’язання.
оскільки
Можна було цей приклад розв’язати,використовуючи формулу, а саме:
Наближені значення обернених тригонометричних функцій можна знаходити за допомогою калькулятора або користуючись таблицею наближених значень тригонометричних функцій (див. форзац 4).
Наприклад, аrсsin0,4226 ≈ 25°, arctg0,8391 ≈ 40°.
Хочете знати ще більше?
Відомо багато співвідношень для обернених тригонометричних функцій, зокрема: arcsin х + arccos х = при x ∈ [-1; 1]; arctg x +arcctg x = 
для всіх x ∈ R.
Покажемо, як ці формули використовують для розв’язування рівнянь.
Приклад. Розв’яжіть рівняння arcsin х ∙ arccos х = 
.
Розв’язання. Оскільки arccos х = — arcsin х, то рівняння матиме вигляд 18arcsin 2х — 9karcsin х + 
=0. Зробимо заміну arcsin х = t, |t| ≤ .
Маємо: 18t2 -9t + =0, звідки t = 
; t = 
.
Якщо arcsin х = , то х = 
; якщо arcsin х = , то х = 
.
Відповідь:;.
Перевірте себе
1. Які властивості має функція у = arcsin х?
2. Сформулюйте означення арксинуса числа а.
3. Назвіть властивості функції у = arccos х.
4. Дайте означення арккосинуса числа а.
5. Які властивості мають функції у = arctg x і у = arcctg x?
6. Дайте означення арктангенса і арккотангенса числа а.
Виконаємо разом
1. Чи правильно, що arcsin
= 
?
Розв’язання. Ні, неправильно. Хоч
Тому arcsin
2. Порівняйте значення виразів arcctg 1 і arcctg 1,2.
Розв’язання. Оскільки функція у = arcctg x спадна і 1 < 1,2, то arcctg 1 > arctg 1,2.
3. Обчисліть:
Розв’язання.
б) Знайдемо спочатку значення тангенса даного виразу, тобто
Нехай arctg
= ф, a arctg
= β, тоді tg a = , tg β = .
Оскільки 0 < 
< 1, то 0 <arctg
<
або 0 < ф <
. Аналогічно 0 < β < 
.
Тоді 0< ф + β < .
Використаємо формулу тангенса суми:
Оскільки
Отже,
4. Розв’яжіть нерівність
Розв’язання. Оскільки функція у = arcsin х зростаюча на D(y) = [- 1; 1], то нерівність arcsin
< рівносильна системі:
Відповідь:
Виконайте усно
Обчисліть (1132-1134).
1132.
а) arcsin 0;
б) arcsin 1;
в) arcsin (-1);
г) arcsin.
1133.
а) arccos 0;
б) arccos 1;
в) arccos (-1);
г) arccos.
1134.
а) аrctg 0;
б) arcctg 0;
в) arctg 1;
г) arcctg 1.
1135. Знайдіть область визначення функції:
1136. Якого найменшого значення набуває функція:
а) у = 2аrсsin x;
б) у = 0,5аrсcos х;
в) arctg x?
1137. Скільки коренів має рівняння аrсsin x = а, якщо:
а) а = 0,5;
б) а = ;
в) а = З?
Рівень А
Обчисліть (1138-1141).
1138.
1139.
1140.
1141.
Обчисліть, користуючись калькулятором або таблицями (1142-1143).
1142.
1143.
Порівняйте (1144-1145).
1144.
1145.
1146. Використовуючи малюнок 144, знайдіть кількість коренів рівняння:
а) arccos х = х;
б) arccos х = х2 + 1.
Обчисліть (1147-1151).
1147.
Мал. 144
1148.
1149.
1150.
1151.
1152. Знайдіть область визначення функції:
1153. Знайдіть область визначення та область значень функції
1154. Розв’яжіть рівняння
Рівень Б
Обчисліть (1155-1161).
1155.
1156.
1157.
1158.
1159.
1160.
1161.
1162. Установіть відповідність між виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д).
1163. Знайдіть область визначення функції:
1164. Побудуйте графіки функцій:
1165. Розв’яжіть рівняння двома способами: 1) графічно; 2) використовуючи властивість функцій:
Розв’яжіть рівняння (1166-1167).
1166.
1167.
Розв’яжіть нерівність (1168-1169).
1168.
1169.
Рівень В
1170. Обчисліть:
1171.
1172.
1173. Побудуйте графік функції:
Розв’яжіть рівняння (1174-1179).
1174.
1175.
1176.
1177.
1178.
1179.
Вправи для повторення
1180. Відкрита задача. Знайдіть значення виразу … , якщо sin а = -0,6 і
1181. Доведіть тотожність
1182. Розв’яжіть рівняння
