Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ І ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§ 2 Числові функції

Функція — одне з найважливіших понять математики і зручна математична модель реальних об’єктів, процесів і явищ. Її використовують у різних галузях знань.

У фізиці — це висота, на якій перебуває тіло або на яку підняте тіло, кинуте вертикально вгору; залежить від початкової швидкості та часу руху й у будь-який момент часу визначається формулою h =vot - де v0 — початкова швидкість, g— прискорення вільного падіння, t — час руху.

У хімії — молярна концентрація Св розчиненої речовини В залежить від кількості розчиненої величини та об’єму розчину і задається формулою Св = , де nB — число молів, V — об’єм розчину.

В астрономії — роздільна здатність телескопа залежить від діаметра об’єктива і визначається формулою r = , де r — кутова роздільна здатність телескопа у секундах, D— діаметр об’єктива у міліметрах.

Повторимо відомості про функцію, які ви знаєте з попередніх класів.

Якщо кожному значенню змінної х з деякої множини D відповідає єдине значення змінної у, то таку відповідність називають функцією.

При цьому х називають незалежною змінною, або аргументом, у — залежною змінною, або функцією.

Усі значення, які може набувати аргумент функції, називають областю визначення даної функції і позначають буквою D.

Множину всіх значень у, яких може набувати функція, називають її областю значень і позначають буквою Е (мал. 15). Якщо області визначення і області значень функцій є числовими множинами, то такі функції називають числовими функціями. Щоб задати функцію, досить зазначити її область визначення і правило відповідності.

Задавати функції можна різними способами. Часто їх задають формулами. Наприклад.

• Відповідність між довжиною а ребра куба і його об’ємом V можна задати формулою V = а3.

• Відповідність між силою F притягання тіла до Землі і його масою т можна задати формулою F = mg

Мал. 15

• Відповідність між значеннями змінної х і значеннями виразу х2 - 1 можна задати формулою у = х2 - 1.

Задання функції формулою зручне тим, що дає можливість знаходити значення функції для довільного значення аргументу. Якщо функцію задають формулою і нічого не говорять про область її визначення, то вважають, що ця область — множина всіх значень змінної, при яких формула має зміст. Наприклад, область визначення функції у = х2 + х - 1 — множина R, а функції у = — множина (-∞; 1) U (1; +∞).

Задавати функції можна і у вигляді таблиці. Наприклад, функцію у = х2 - 1 для перших десяти натуральних значень х можна задати у вигляді такої таблиці:

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y

0

3

8

15

24

35

48

63

80

99

Тут: D(у) = {1, 2, 3, 5, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Е(у) = {0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99}.

Табличний спосіб задання функції зручний тим, що для певних значень аргументу до таблиці вже занесено відповідні значення функції, тому не треба робити будь-яких обчислень. Незручний він тим, що таблиця займає більше місця. До того ж, як правило, містить значення функції не для всіх значень аргументу, а тільки для деяких.

Функцію можна задавати і словесно. Наприклад, якщо кожному цілому числу поставити у відповідність його квадрат, то одержимо функцію, областю визначення якої є множина цілих чисел, а областю значень — множина квадратів натуральних чисел і число нуль.

Часто функції задають у вигляді графіків, побудованих у декартовій системі координат.

Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, ординати — відповідним значенням функції.

Маючи графік функції, можна для будь-якого значення аргументу (з області визначення) вказати відповідне значення функції, тобто графік задає функцію. Графічний спосіб задання функції зручний своєю наочністю. Дивлячись на графік, одразу можна з’ясувати властивості функції, яку він задає.

Чи задає функцію графік, зображений на малюнку 16? Ні, бо на цьому графіку одному значенню аргументу х (наприклад, х = 3) відповідає три різних значення у. А згідно з означенням функцією вважається тільки така відповідність, при якій одному значенню аргументу х з області визначення відповідає єдине значення функції у.

Мал. 16

Існує багато різних видів функцій. Деякі з них ви вже знаєте.

• у = kх — пряма пропорційність (k ≠ 0);

• у = ах + b — лінійна функція;

• у = — обернена пропорційність (k ≠ 0);

• у = ах2 + bх + с — квадратична функція (а ≠ 0).

Графіки найуживаніших функцій подано в таблиці.

Щоб будувати графіки складніших функцій (як ви вже знаєте з курсу алгебри 9 класу), використовують такі правила.

1. Графіки функцій у = f(x) і у = -f(x) симетричні відносно осі х.

2. Щоб побудувати графік функції у = kf(x), де k > 0, треба графік функції у = f(x) розтягнути від осі х у kразів, якщо k > 1, або стиснути його в — разів до осі х, якщо 0 < k < 1.

3. Щоб одержати графік функції у = f(x) + n, треба графік функції у = f(x) перенести на n одиниць у напрямку осі у, якщо n > 0, або на -n одиниць у протилежному напрямку, якщо n < 0.

4. Щоб одержати графік функції у = f(x- m), досить графік функції у = f(x) перенести на m одиниць у напрямку осі х, якщо m > 0, або на -m одиниць у протилежному напрямку, якщо m < 0.

Приклади побудови графіків у = х2, у = 2х2, у = -2х2, у = -0,5х2 подано на малюнку 17, а графіків у = х2, у = (х - 3,5)2, у = (х - 3,5)2 + 3 — на малюнку 18.

Розглянемо детальніше, як будують графіки функцій за допомогою інших перетворень.

5. Щоб за допомогою графіка функції у = f(x) побудувати графік функції у = f(kx), (k > 0), потрібно:

— стиснути графік функції у = f(x) у kразів до осі у, якщо k > 1;

— розтягнути графік функції у = f(x) у разів від осі у, якщо 0 < k < 1.

Мал. 17

Мал. 18

Наприклад, на малюнку 19 подано графіки трьох функцій: 1) у = f(x) (синя лінія); 2) у = f(2х) (зелена лінія) — отриманий стисненням у 2 рази синьої лінії до осі у;3)у = f(0,5х) (червона лінія) — отриманий розтягом у 2 рази синьої лінії від осі у.

Зверніть увагу на послідовність кроків під час побудови графіків функцій, що потребують здійснення кількох геометричних перетворень. Побудову, наприклад, графіка функції у = 0,5 виконують у такій послідовності (мал. 20):

Мал. 19

Мал. 20

1) Записати функцію у вигляді у = 0,5

2) Побудувати графік функції у =

3) Стиснути у 2 рази побудований графік у = до осі у (у = ).

4) Перенести отриманий графік уздовж осі х паралельно на 1,5 одиниці праворуч (у =).

5) Стиснути у 2 рази (1 : 0,5 = 2) побудований графік до осі х (у = 0,5).

6. Щоб за допомогою графіка функції у = f(x) побудувати графік функції y =|f(x)| , скористаємося означенням модуля:

Як бачимо, значення функції y = |f(x)|і у = f(x) однакові за умови, що f(x) ≥ 0 і протилежні, якщо f(x) < 0. Оскільки графіки функцій у = f(x) і у = -f(x) симетричні відносно осі х, то щоб побудувати графік функції y = |f(x)|, досить ті частини графіка функції у = f(x), які лежать нижче від осі х, замінити симетричними їм відносно цієї осі, а все інше залишити без змін. Наприклад, маючи графік функції у = х2 - 4, можна одразу побудувати графік функції у = |х2 - 4| (мал. 21).

7. Розглянемо функцію y = f(|x|). За означенням модуля:

Мал. 21

Як бачимо, графік функції y = f(|х|) складається з двох частин (1) і (2). Для побудови першої частини потрібно побудувати графік функції у = f(х) для х ≥ 0. Для побудови другої частини слід відобразити побудований графік (1) симетрично відносно осі у. Графіком функції y = f(|х|) буде об’єднання обох побудованих частин. Наприклад, маючи графік функції у = (х - 2)2 - 1, (х ≥ 0), можна одразу побудувати графік функції у = (|х| - 2)2 - 1 (мал. 22).

Мал. 22

Хочете знати ще більше?

Розглянемо ще дві цікаві функції:

1) y = [х], де [х] — ціла частина числа х (найбільше ціле число [х], яке не більше від х).

Графік функції у = [х] — на малюнку 23.

2) у = {х}, де {х} — дробова частина дійсного числа х ({х} = х - [х]) — різниця між даним числом і його цілою частиною.

Графік функції у = {х} — на малюнку 24.

Мал. 23

Мал. 24

Перевірте себе

1. Що таке функція? Як позначають функції?

2. Що таке аргумент функції?

3. Що таке область визначення функції?

4. Що таке область значень функції?

5. Як можна задавати функцію?

6. Що таке графік функції?

7. Назвіть основні види функцій. Які їх графіки?

8. Задано графік функції у = f(х). Як побудувати графік функції:

а) у = f(х - m);

б) у = f(х) + n;

в) у = kf(x);

г) у = f(kx)?

9. Задано графік функції у = f(х). Як побудувати графік функції: a) y = |f(x)|; б) у = а(|х|)?

Виконаємо разом

Знайдіть область визначення функції:

а) y =;

б) y = .

Розв’язання. а) Проаналізуємо функцію у =.

Змінна х може набувати будь-яких значень, крім тих, при яких знаменник дробу дорівнює нулю. Щоб їх знайти, розв’яжемо рівняння

9 - х2 = 0, (3 - х)(3 + х) = 0, звідси х1 = 3, х2 = -3. Отже, область визначення функції — множина всіх дійсних чисел, крім х = ±3. D (у) = (- ∞; - 3) U (-3; 3) U (3; + ∞).

б) Розглянемо функцію у = . Виконаємо тотожні перетворення:

При будь-яких значеннях змінної х вираз |1 - х| ≥ 0, а тому область визначення функції — уся множина дійсних чисел. D(y) = R.

2. Чим різняться графіки функцій у = х + 3 і у = ?

Розв’язання. Праві частини даних рівностей тотожно рівні, оскільки

Але перший вираз має числові значення при всіх дійсних значеннях х, а другий — при всіх, крім х = 3. Тому графік першої функції — пряма, а другої — пряма без однієї точки (мал. 25).

3. Розв’яжіть графічно рівняння 2 - х2 =

Розв’язання. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій у = 2 - х2 і у = (мал. 26).

Мал. 25

Мал. 26

Графіком першої функції є парабола, вітки якої напрямлені донизу, піднята на 2 одиниці у напрямі осі у (червона лінія). Друга функція містить змінну під знаком модуля. Її графік складається з двох частин: із графіка функції у = 4х і графіка, симетричного йому відносно осі у (зелена лінія). Побудовані графіки перетинаються в точках, абсциси яких дорівнюють (можливо наближено) —1 і -1. Перевірка переконує, що це — точні корені.

Виконайте усно

59. Знайдіть область визначення функції:

а) у = Зх2 - 2;

б) у = ;

в) у = 2,5;

г) у = 4 - х.

60. Як називається графік функції, заданої формулою:

а) у = Зх + 1;

б) у = х2;

в) у = 3;

г) у = х-1?

61. Графік якої з функцій проходить через початок координат:

а) у = -5х;

б) у = Зх - 2;

в) у = 2х2;

г) у = х(х - 2)?

62. Які з функцій, заданих формулами у = 15-х, у = |х|, у = 3(х - 2), у = х2 + 5, не можуть набувати від’ємних значень?

63. Чи є площа круга функцією його радіуса? А його діаметра?

64. Чи є графіком функції фігура, зображена на малюнку 27?

65. Укажіть область визначення і область значень функцій, зображених на малюнку 28.

Мал. 27

Мал. 28

66. Задайте формулою функцію, яка виражає площу квадрата через його периметр Р.

67. Побудуйте графік функції, яка виражає залежність:

а) периметра правильного шестикутника від довжини його сторони;

б) периметра квадрата від його площі.

68. Знайдіть f(-2), f(-1), f(0), f(1), f(2), якщо функцію задано формулою:

a) f(x) = 3х - 1;

б) f(x) = 2х2 + 3;

в) f(x) = .

69. Функцію задано формулою у = -0,5х + 2. Знайдіть значення функції, яке відповідає значенню аргументу, що дорівнює -24; -10; 0; 5. При якому значенні аргументу значення функції дорівнює -6; 0; 5; 7,5?

70. Знайдіть значення функції, заданої формулою:

а) у = 8х - 5, якщо значення аргументу дорівнює -2; 0; 1,5; 12; 25;

б) у = - +1 , якщо значення аргументу дорівнює -8; -1; 0; 1; 20.

71. Знайдіть значення аргументу, при якому:

а) значення функції у = -3х + 2 дорівнює -7; 0; 5;

б) значення функції у = х(х - 3) дорівнює -2; 0; 10.

72. На малюнку 29 зображено графіки руху двох електропоїздів. Проаналізуйте ці рухи: скільки зупинок робив кожен поїзд; коли вони зустрілися; скільки часу тривала кожна зупинка? Знайдіть швидкість кожного поїзда до першої зупинки.

Мал. 29

73. На малюнку 30 зображено частину круга радіуса 4 см, з якого вирізано квадрат зі стороною х. Задайте функцію залежності площі частини круга від сторони вирізаного квадрата х. Обчисліть з точністю до десятих значення цієї функції, якщо х = 2 і х = 4.

Мал. 30

74. Функцію задано формулою у = 0,25x; - 1. Заповніть таблицю.

x

-10

-5








y



-2

-1

0

1

1,5

4

25

75. Функцію задано формулою у = + 5 при області визначення D = {-4; -2,75; -1; 1,25; 4; 11}. Задайте її таблично і графічно.

76. Функцію задано таблицею.

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Задайте її формулою. Укажіть її область визначення й область значень.

77. У яких точках графік функції у = х2 - 3х перетинає: а) вісь у, б) вісь х?

78. Знайдіть область визначення функції:

79. Побудуйте графіки функцій і знайдіть їх області значень:

80. Яких значень (додатних чи від’ємних) набувають параметри а, b, с для графіків, зображених на малюнку 31?

Мал. 31

81. Відомо, що графік лінійної функції проходить через точки А(-2; 1) і В(3; 6). Задайте цю функцію формулою.

82. Задайте формулою обернену пропорційність, графік якої проходить через точку А(3; 4).

83. Чи проходить графік функції у = х2 - 5х + 6 через точку А(0; 5)? А через точку В(5; 6)?

84. Функцію задано формулою у =, де -7 < х < 1. Заповніть таблицю.

x

-7

-3

-2

-1

-0,5

0

0,5

y








Побудуйте графік цієї функції.

85. Функцію задано формулою y = + 3, де 1 < х < 6. Побудуйте графік цієї функції, склавши спочатку таблицю її значень.

Побудуйте графік функції. Для кожної функції знайдіть область визначення та область значень (86—87).

86.

87.

Рівень Б

88. Спростіть функцію і побудуйте її графік:

а) у = х2 - 4х + 4;

б) у = х2 + 6х + 9.

89. Чим відрізняються графіки функцій:

Побудуйте графіки цих функцій.

Побудуйте в одній системі координат графіки функцій (90—92).

90.

91.

92.

93. Розв’яжіть графічно рівняння:

а) 2х - 6 = ;

б) х2 = х + 2;

в) х = х3;

г) = 3х.

94. Маса порожньої бочки — 40 кг, а маса 1 л бензину — 0,8 кг. Виразіть формулою залежність маси m бочки з бензином від об’єму V бензину в ній. Чи є ця залежність

95.Прямокутний паралелепіпед зі сторонами основи а см, b см і висотою 6 см має об’єм, що дорівнює 72 см3. Задайте залежність b від а.

96. У таблиці подано обсяг споживання електроенергії (у кВт ∙ год) родиною у першому півріччі 2012 і 2017 років. Складіть таблицю про споживання електроенергії за минулий рік у вашій родині. Побудуйте в одній системі координат:

а) графік споживання електроенергії за перше півріччя минулого року у вашій родині;

б) графік споживання електроенергії за перше півріччя 2017 року в родині Рахувальників. Зробіть висновки.

Місяць

1

2

3

4

5

6

2012

150

130

145

120

125

110

2017

105

100

90

90

95

70

97. Під дією електричного струму в тілі людини виникають достатньо складні біохімічні й фізіологічні процеси, які знижують опір її тіла. Залежність опору тіла людини від напруги електричної мережі наведено на малюнку 32. Використовуючи графік, установіть:

а) чому дорівнює опір тіла людини, якщо напруга дорівнює 20 В;

б) починаючи з якої напруги, опір тіла людини не перевищує 1 кОм;

в) зростаючою чи спадною є задана функція;

г) які чинники впливають на зміну опору тіла людини.

Що означає знак на малюнку 33?

98. Задано функцію у = f(x). Установіть відповідність між геометричними перетвореннями (1— 4), які потрібно виконати, щоб із графіка функції у = f(x) отримати графік іншої функції (А — Д).

Мал. 32

Мал. 33

1.

Симетрія відносно осі x

А

У = f(x - с)

2.

Паралельне перенесення вздовж осі х

Б

у = kf(x) (k > 1)

3.

Паралельне перенесення вздовж осі у

В

у = f(kx) (k > 1)

4.

Розтягнення від осі x

Г

У = -f(x)



Д

у = f(x) + с

99. Ательє виготовляє та продає вишиванки, вартість кожної з яких 750 грн. Щоб пошити одну таку сорочку, потрібно 2,4 м тканини. Запишіть формулу для обчислення залишку тканини після пошиття х сорочок, якщо в сувої 50 м тканини. Яких значень може набувати х? Скільки тканини залишиться в сувої, якщо пошиють 15 сорочок? Який дохід матиме ательє від продажу цих 15 сорочок? Який дохід матиме ательє, якщо продасть усі сорочки, виготовлені з одного сувою?

Побудуйте графік функції (100-103).

100.

101.

102.

103.

104. Установіть, який із графіків (мал. 34) відповідає кожній з описаних нижче ситуацій:

1) на газоні росте трава, яку регулярно скошують (х — час, у — висота трави);

2) груша росте, потім її зривають і висушують (х — час, у — маса груші);

3) м’яч падає з деякої висоти на підлогу (х — час, у — відстань від м’яча до підлоги);

4) через кожну годину робочого часу на склад здають однакову кількість виготовлених деталей (х — час, у — кількість деталей на складі).

Мал. 34

105. Практичне завдання. Складіть завдання, аналогічне завданню № 104, і запропонуйте його для розв’язання однокласникам.

Розв’яжіть графічно рівняння (106—107).

106.

107.

108. Транспортні витрати (в умовних грошових одиницях) на перевезення одиниці вантажу залізничним транспортом виражаються функцією у = 2х + 100, а автомобільним — функцією у = х + 200, де х вимірюється у кілометрах. Установіть, на які відстані вигідніше перевозити вантаж залізничним транспортом, а на які — автомобільним.

Рівень Б

109. Вважають, що в разі заглиблення на кожні 30,5 м внутрішня температура Землі підвищується на 1 °С. На глибині 5 м вона дорівнює 15 °С. Задайте залежність температури t від глибини h. Яка температура на глибині 1 км? А на глибині 3 км?

110. Для кожного значення параметра а вкажіть кількість розв’язків рівняння:

а) 4 - х2 = а;

б) 2 =а;

в) |х|-3 = а;

г) = а.

111. Знайдіть область визначення функції:

112. На малюнку 35 зображено два резервуари, що мають форму прямокутного паралелепіпеда, і подано їх розміри. Перший резервуар наповнено водою на об єму, а другий — на об’єму. З першого резервуара щодня беруть 35 л води, а з другого — 25 л. Запишіть функцію, яка показує, у скільки разів через х днів у першому резервуарі залишиться води більше, ніж у другому. Обчисліть, у скільки разів у першому резервуарі залишиться води більше, ніж у другому через 15 днів. Що означає рівність = 4? Розв'яжіть це рівняння і зробіть висновок.

Мал. 35

Побудуйте графіки функцій (113-120).

113.

114.

115.

116.

117.

118.

119.

120. Відкрита задача. Побудуйте графік функції у = 2|х| + … і знайдіть її область значень.

121. Знайдіть область значень функції:

а) у = 2х2 + 3;

б) у = -5;

в) у = ;

г) у = 2|х + 4| + 7.

122. Розв’яжіть графічно рівняння:

а) |х3| = х;

б) = 4 -|х|;

в) 4 - х2 = |х - 2|;

г) = |3 - х2|.

Скільки спільних точок мають графіки заданих функцій залежно від значень параметра а (123 — 124)?

123.

а) у = ||х|-2| і у = а;

б) у = |х2 - 2х - 3| і у = а.

124.

а) у = |х2 - 4х| і у = а - 2;

б) у = |х + 2| + |х - 3| і у = а.

125. При яких значеннях параметра а рівняння ||х - 3| - 2| = х - а має безліч коренів?

126. При яких значеннях параметра а рівняння |3|х - 4| - 2| = а - х має три корені?

127. Для кожного значення параметра а знайдіть кількість коренів рівняння |2|х + 2|- 4| = х - а.

Вправи для повторення

128. У перший день робітник виконав всього замовлення, а у другий . У скільки разів робота, виконана за два дні, більша за невиконану?

129. Скоротіть дроби:

130. Розв’яжіть нерівність:

а) 5х + 6 < 18 - Зх;

б) х2 - х(3 + х) > 2(х - 1);

в) -2(х + 15) < -30;

г) (х + 2)2< (х - З)2;

ґ) |х - 3| < 6;

д) |15 + 3х| > 30.

131. Головними чинниками негативного впливу на тваринний світ є знищення та трансформація природних екосистем, надмірне комерційне використання тваринного світу та браконьєрство. Особливої охорони та відновлення потребують різні види тварин, занесені до Червоної книги України: ракоподібні (31 тип), комахи (226), молюски (20), риби (69), птахи (87), ссавці (68), інші (41). Побудуйте стовпчасту і секторну діаграми, які відображають співвідношення між цими видами тварин.






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити