Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§ 23 Найпростіші тригонометричні рівняння

Рівняння називають тригонометричним, якщо його невідомі входять тільки під знаки тригонометричних функцій. Приклади тригонометричних рівнянь:

Задача. Сторони трикутника дорівнюють 15 см і 8 см. Знайдіть кут між ними, якщо площа трикутника становить 30 см 2.

Розв’язання. Площу S трикутника можна визначати за формулою S = аb sin а, де а, b — його сторони; а — кут між ними. Якщо шуканий кут даного трикутника містить х градусів, то 30 = ∙ 15 ∙ 8 ∙ sin х, звідси sin х = .

Мал. 145

Одержали тригонометричне рівняння. Розв’яжемо його. Синус кута дорівнює 0,5, коли кут становить 30° або 150° (мал. 145).

Трикутники з такими кутами існують.

Відповідь. 30° або 150°.

У розглянутому випадку кути не можуть бути від’ємними або більшими за 180°. А взагалі рівняння sinх = має безліч розв’язків: 30° + 360° ∙ n і 150° + 360° ∙ n, де n ∈ Z.

Розв’язуючи тригонометричне рівняння, найчастіше знаходять усю множину його розв’язків. І виражають їх здебільшого не в градусах, а в абстрактних числах.

Наприклад, множину розв’язків рівняння sinх = записують так: + 2 k, + 2 k, де k ∈ Z.

Те, що рівняння sіnx має безліч розв’язків, видно з його графічного розв’язання: графіки функцій у = sin х і у = мають безліч спільних точок (мал. 146).

Мал. 146

З’ясуємо, як у загальному вигляді розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння, тобто рівняння виду sin x= a, cos x= a, tg x= a, ctg x= а.

1. Розв’язування рівняння виду sin x = а.

Якщо |а| >1, то рівняння розв’язків не має,оскільки завжди -1 ≤ sin х ≤ 1.

Якщо |а| ≤ 1, то рівняння має безліч коренів (мал. 146).

Запишемо формулу для їх знаходження. Пряма у = а, якщо -1 ≤ а ≤ 1, перетинає одиничне коло у двох точках: Р x1 і Р x2, де х 1 і х 2 — корені рівняння sin х = а (мал. 147).

Мал. 147

тому х 1 = arcsin а. З малюнка 147 видно, що х 2 = - x 1 тобто х 2 = — arcsin а. Враховуючи періодичність функції у = sin x, можемо записати множину всіх розв’язків рівняння sin x = а. Вона складається з двох серій: x 1= arcsin a + 2 n і х 2 = k — arcsin a + 2 n, n ∈ Z.

Дві останні формули можна об’єднати в одну.

x 1 = arcsin a + ∙ 2n, х 2 = -arcsin a + n(2 + 1).

Якщо множник при парний чи непарний, то arcsin a береться відповідно зі знаком «плюс» чи «мінус». Ці випадки об’єднує рівність

х = (-1) narcsin a + n, n ∈ Z.

Така загальна формула розв’язків рівняння sin x = а, якщо |а| ≤ 1. Якщо а дорівнює 0, 1 або -1, рівняння sin x= а можна розв’язувати і за загальними формулами, але зручніше — уявляючи одиничне коло (мал. 148):

якщо sin x= 1, то х = + 2 k, k ∈ Z;

якщо sin x= 0, то х = k, k ∈ Z;

якщо sin x= -1, то х = - + 2 k, k ∈ Z.

Мал. 148

Зауваження. Традиційно невідомі змінні у рівняннях позначають буквою х, як і вісь абсцис. Усе ж їх не слід ототожнювати, розв’язуючи тригонометричні рівняння на одиничному колі.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання.

а)

Корені рівняння sin x =- знайдемо за загальноюформулою:

Оскільки

то отримаємо

б) Рівняння sin 2x= 0 краще розв’язувати так:

в) 3 рівняння sin x = 0,2 випливає, що х = (-1) karcsin 0,2 + k, k ∈ Z. Оскільки arcsin 0,2 — нетабличне значення, то розв’язок залишається у такому самому вигляді, а в разі потреби обчислюється наближено за допомогою калькулятора чи програми Excel на комп’ютері: arcsin0,2 ≈ 0,2.

Відповідь.

2. Розв’язування рівняння виду cos x = а.

Якщо |а| >1, то рівняння розв’язків не має, оскільки завжди-1 ≤ cos х ≤ 1.

Якщо |а| ≤ 1, то рівняння має безліч коренів.

Пряма х = а, -1 ≤ а ≤ 1, перетинає одиничне коло у двох точках: Р x1 і Р x2 де х 1 і х 2 — корені рівняння cos х = а (мал. 149).

Оскільки х 1 ∈ [0; ], то х 1 = arccos а. Точки Р x1 і P x2 симетричні відносно осі абсцис, тому кути(числа) х 1 і х 2 — протилежні. Отже, х 2 = -х 1 = -arccos а. Враховуючи, що функція у = cos х періодична з періодом 2 , можемо записати множину всіх розв’язків рівняння cosх = а:

Мал. 149

Одержана формула є загальною. Але якщо а дорівнює 0, 1 або -1, зручніше уявляти одиничне коло (мал. 150) і відразу писати:

якщо соs х = 1, то х = 2 k, k ∈ Z;

якщо соs х = 0, то х = + k, k ∈ Z;

якщо соs х = -1, то х = p + 2 k, k ∈ Z.

Мал. 150

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання. а) За загальною формулою коренів рівняння cos x = а отримаємо:

б) За загальною формулою отримаємо:

Оскільки

в) Уявивши малюнок, можна писати одразу: 2х - 2 k, n ∈ Z; х = n, n ∈ Z.

Відповідь.

3. Розв’язування рівняння виду tg x = а і ctg x = а.

Побудуємо графік функції у = tg x для х ∈ (- ; ).

Пряма у = а перетинає цей графік (мал. 151) в одній точці, для якої tg x = а, тоді х = arctg a. Враховуючи, що функція у = tg x періодична з періодом p, множину всіх розв’язків рівняння tg x = а можна визначити за формулою:

Аналогічно, використовуючи графік функції у = ctg x (мал. 152), можна визначити розв’язки рівняння ctg x = а: х = arcctg a + к, k ∈ Z.

Мал. 151

Мал. 152

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання. а) За формулою

Оскільки

Обчислимо аrcctg(-1):

Тоді

Відповідь.

Формули розв’язків найпростіших тригонометричних рівнянь наведено в таблиці. У ній k ∈ Z.

Рівняння

Формула розв’язків

sin x = а,

a ≤1

х = (-1)karcsin а + k,

a >1

розв’язків немає

cos х = а,

a ≤1

х = ±arccos a + 2 k,

a >1

розв’язків немає

tg x = а

х = arctg a + k,

ctg x = а

х = arcctg а + k

Хочете знати ще більше?

До тригонометричних рівнянь звичайно відносять рівняння, невідомі яких входять тільки під знаки тригонометричних функцій. А наприклад, у рівнянні х 2 — cos х + 1 = 0 невідома змінна х входить не тільки під знак косинуса, айв одночлен х 2. Такі рівняння не вважають тригонометричними, їх відносять до ширшого класу рівнянь — трансцендентних (transcendens— той, що виходить за межі). Тригонометричні рівняння — один із видів трансцендентних рівнянь (мал. 153).

Мал. 153

Більшість трансцендентних рівнянь найзручніше розв’язувати (наближено) графічним способом. Наведене вище рівняння можна записати у вигляді соs х - х 2 + 1. Побудуємо графіки функцій у = соs х і у = х 2 + 1 (мал. 154). Очевидно, що дане рівняння має єдиний корінь х = 0.

Мал. 154

Перевірте себе

1. Які рівняння називають тригонометричними?

2. За якою формулою розв’язують рівняння sin x = а?

3. При яких значеннях а рівняння sin x = а не має розв’язків?

4. Назвіть корені рівнянь sin x = 0; sin x = 1; sin x = -1.

5. За якою формулою знаходять розв’язки рівняння cos x = а?

6. Як найкраще знайти розв’язки рівнянь cos x = 0; cos x = 1; cos x = -1?

7. За якими формулами розв’язують рівняння tg x = а, ctg х = а?

Виконаємо разом

1. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання. Запишемо рівняння у вигляді:

Тоді, за загальною формулою коренів рівняння cos x = а, маємо:

Отриману відповідь можна так і залишити, а можна записати у вигляді сукупності:

Відповідь.

2. Розв'яжіть рівняння: sin 2х = .

Розв’язання. Спосіб 1. Рівняння рівносильне сукупності рівнянь:

Спосіб 2 (пониження степеня).

Відповідь. ± + n, n ∈ Z.

3. Знайдіть область визначення функції

Розв’язання. Область визначення даної функції знайдемо, розв’язавши систему:

або

звідси

Які значення х з множини х = k, k ∈ Z, належать даному відрізку? Оскільки k — число ціле, будемо надавати k різних цілих значень і обчислювати х. При k = 0 х = 0 і 0 ∈ [-1; 4]. При k = 1 х - k і також ∈ [-1;4].

При інших значеннях k значення k виходять за межі відрізка [- 1; 4].

Отже, відрізку [-1; 4] належать числа х = 0 (при k = 0) і х = (при k = 1). Тому область визначення даної функції — множина всіх дійсних чисел з відрізка [-1; 4], крім х = 0 і х = , тобто х ∈ [-1;0) ⋃ (0; ) ⋃ ( ;4] (мал. 155).

Відповідь. x ∈ [-1; 0) ⋃ (0; ) ⋃ ( ; 4].

Мал. 155

4. При якому значенні параметра а рівняння 3соs х = а - 1 має розв’язки? Знайдіть ці розв’язки.

Розв’язання. Запишемо рівняння у вигляді: соs х =a - .

Оскільки -1 ≤ соs х ≤ 1, то рівняння матиме розв’язки при -1 ≤ a - ≤ 1, звідки -3 ≤ а - 1 ≤ 3, -2 ≤ а ≤ 4.

Отже, дане рівняння має розв’язки при a ∈ [-2; 4]. Знайдемо ці розв’язки:

Відповідь. Якщо а ∈ [-2; 4], то рівняння має розв’язки

Виконайте усно

1183. Які з рівнянь є тригонометричними?

1184. Чи має розв’язки рівняння:

а) sin х = 1,5;

б) соs х = 1;

в) tg x = 3,5;

г) ctg x = 0,5;

ґ) sin х = p?

Розв’яжіть рівняння (1185-1186).

1185.

а) sin х = 1;

б) соs х = -1;

в) tg x = 0;

г) ctg x = 1.

1186.

а) sin х = -1;

б) соs х = 0;

в) tg х = 1;

г) ctg x = 0.

1187. При яких значеннях параметра а рівняння не має розв’язків:

a) sin x = а;

б) cos x = 2а;

в) tg x = а?

1188. При яких значеннях параметра а рівняння має розв’язки:

a) cos 2x = а;

б) sin x = 3а;

в) ctg x = а?

1189. На малюнку 156 зображено графік функції у = cos x і пряму, рівняння якої у = 0,5. Укажіть абсциси точок їх перетину.

Мал. 156

Рівень А

Розв’яжіть рівняння (1190-1200).

1190.

1191.

1192.

1193.

1194.

1195.

1196.

1197.

1198.

1199.

1200.

1201. Практичне завдання. На цупкому папері зобразіть модель «тригонометричного кола» (мал. 157). За його допомогою ви зможете швидко і впевнено розв’язувати простіші тригонометричні рівняння. Наприклад, sin x = 0,5. Запишіть кілька рівнянь та їх розв’язки, що подані на малюнку 157.

Мал. 157

Рівень Б

Розв’яжіть рівняння (1202-1209).

1202.

1203.

1204.

1205.

1206.

1207.

1208.

1209.

1210. При яких значеннях параметра а число х = є коренем рівняння:

1211. Укажіть координати точок перетину графіків функцій у = tg x і у = -1.

1212. Висота припливу (H(t), у метрах) над середнім рівнем моря у пункті М моделюється приблизно такою формулою H(t) = 3 sin t, де t — кількість годин після півночі, 0 ≤ t ≤24. Установіть, коли висота припливу дорівнювала 1,5 м.

Рівень В

1213. Скільки коренів рівняння належать проміжку [0; 2 ]; [1; 7]:

1214. Скільки коренів рівняння належать проміжку

1215. Знайдіть (у градусах) найменший додатний корінь рівняння:

Знайдіть область визначення функції (1216-1217).

1216.

1217.

Розв’яжіть рівняння (1218-1219).

1218.

«Цифри не керують світом, але вони показують, як світом керують».

Й. В. Гете

1219.

1220. Розв’яжіть графічно рівняння:

а) |sin х| = -х 2;

б) |соs х| = x+ 1.

1221. При яких значеннях параметра а рівняння має розв’язки? Знайдіть ці розв’язки:

1222. При яких значеннях параметра а рівняння:

а) (2sin 3х - 1)(sin 3x - а) має три корені на відрізку [ ; ] ;

б) (2соs 3х - 1)(соs 3x - а2 +4) має п’ять коренів на відрізку [- ; ]?

1223. Відкрита задача. Для кожного значення параметра а знайдіть кількість коренів рівняння

на проміжку….

Вправи для повторення

1224. Спростіть вираз

1225. Розв’яжіть систему нерівностей:

1226. У 100 г апельсина вітаміну С у 10 разів менше, а в 100 г лимонів — у 15 разів менше, ніж у 100 г чорної смородини. Разом в 1 кг чорної смородини, 1 кг апельсинів і 1 кг лимонів міститься 3 г 500 мг вітаміну С. Скільки вітаміну С міститься:

а) у 100 г лимона;

б) у 100 г апельсина;

в) у 100 г чорної смородини;

г) у 5 кг апельсинів і 3 кг лимонів;

ґ) в 1 кг чорної смородини?






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити