Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§ 24 Основні способи розв'язування тригонометричних рівнянь

Розв’язування складніших тригонометричних рівнянь зводиться до найпростіших. Для цього використовують тригонометричні формули та алгебраїчні перетворення. Якогось універсального методу розв’язування тригонометричних рівнянь не існує. Найчастіше їх розв’язують, використовуючи метод заміни, метод розкладання на множники та метод перетворення тригонометричних виразів за відомими формулами.

1. Заміна змінної. Зробивши у тригонометричному рівнянні заміну змінної, його можна звести до алгебраїчного рівняння, спосіб розв’язання якого відомий.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 2соs 2х + 7соs х -4 = 0.

Розв’язання. Дане рівняння квадратне відносно соs х. Зробимо заміну соs х = t, t ∈ [-1; 1]. Отримаємо рівняння 2t2 + 7t - 4 = 0, корені якого t1 = , t2 = -4. Оскільки t2 ∉ [-1; 1], то залишилося розв’язати тільки одне рівняння: соs х = . Множина його розв’язків:

Відповідь. ± + 2n, n ∈ Z.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння 2 sin2х — cos x+ 1 = 0.

Розв’язання. Дане рівняння містить дві тригонометричні функції: sin x і cos х. Користуючись формулою sin2х = 1 - cos2х, можемо перейти до рівняння відносно косинуса:

Зробивши заміну соs х = t, отримаємо квадратне рівняння 2t2 + t - 3 = 0,корені якого t1 = -, t2 = 1.Рівняння соs x = - коренів не має. А рівняння cos х = 1 має множину коренів х = 2n, n ∈ Z.

Відповідь. 2n, n ∈ Z.

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння tg x + ctg x = 2.

Розв’язання. Щоб звести дане рівняння до однієї тригонометричної функції, скористаємося формулою ctg х =. Отримаємо рівняння tg x + = 2. Зробимо заміну tg x= t і отримаємо рівняння t + = 2, яке при t ≠ 0 можна записати у вигляді: t2 - 2t+ 1 = 0 або (t - 1)2 = 0, звідси t = 1. Тоді tg x= 1, а х = + n, n ∈ Z.

Відповідь. + n, n ∈ Z.

2. Однорідні рівняння відносно синуса і косинуса. Так називають рівняння виду asinnх + bsinn-1 х cosx+ … + ccosnx= 0, які після ділення обох частин на cosnx (sinnх) можна звести до рівняння відносно tg x (ctg x).

Приклад 4. Розв’яжіть рівняння sin x+ cos x= 0.

Розв’язання. Тут cos x і sin x одночасно не дорівнюють нулю, бо якщо cos х = 0, то sin x ≠ 0 і навпаки. Тому можемо поділити обидві частини рівняння на cos х. Отримаємо рівняння tg x + 1 = 0 або tg x = -1, звідси

- + n, n ∈ Z.

Відповідь. -+ n, n ∈ Z.

Приклад 5. Розв’яжіть рівняння sin2x - sin x cos x - 2 cos2 x = 0. Розв’язання. Поділимо ліву і праву частини рівняння на cos2 x ≠ 0. Отримаємо tg2х — tgx- 2 = 0.

Зробимо заміну tg х = t й отримаємо рівняння t2 - t- 2 = 0; t1 = 2; t2 = -1.

Тоді tg x = 2 або tg x = -1.

Розв’яжемо ці рівняння: х = arctg 2 + n, n ∈ Z, або х = - + n, n ∈ Z.

Відповідь, arctg2 + n, n ∈ Z; - + n, n ∈ Z.

3. Розкладання на множники

Приклад 6. Розв’яжіть рівняння sіn х — sіn х tg x = 0.

Розв’язання. Розкладемо ліву частину рівняння на множники, винісши за дужки sinх. Маємо: sinх (1 — tg x) = 0. Тоді sin х = 0 або 1 — tg x = 0. Перше рівняння має розв’язки х = n, n ∈ Z, а друге рівняння запишемо у вигляді tg x = 1 й отримаємо розв’язки х = + n, n ∈ Z.

Відповідь. n, n ∈ Z; + n, n ∈ Z.

4. Перетворення рівняння за тригонометричними формулами

Приклад 7. Розв’яжіть рівняння sin х + sin 3х = 0.

Розв’язання. Скористаємося формулою суми синусів і перетворимо ліву частину рівняння в добуток. Отримаємо:

Тоді sin 2x= 0 або cos x= 0. Розв’яжемо кожне з рівнянь.

Кожне зі знайдених значень х є розв’язком рівняння. Але якщо ці розв’язки позначити на одиничному колі (мал. 158), то побачимо, що множина розв’язків другого рівняння (порожні кружечки) є підмножиною розв’язків першого рівняння (зафарбовані кружечки). Тому загальний розв’язок можна записати у вигляді:

Відповідь. , k ∈ Z.

Мал. 158

Приклад 8. Розв’яжіть рівняння cos2х + cos22х + cos2Зх = 1,5. Розв’язання. Домножимо дане рівняння на 2 : 2cos2х + 2cos22х + 2cos23х = 3.

Скористаємося формулою пониження степеня 1 + cos 2x = 2 cos2х і отримаємо рівняння:

Згрупуємо cos 2x і cos 6x та застосуємо формулу суми косинусів:

Тоді cos 4x = 0 або 2cos 2x + 1 = 0. Розв’яжемо кожне з отриманих рівнянь.

звідки

Відповідь.

5. Зведення рівняння до рівносильної системи

Приклад 9. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Враховуючи умови рівності дробу нулю, отримаємо систему:

Позначимо відповідні точки на одиничному колі (мал. 159). З малюнка видно, що дане рівняння задовольняють тільки значення

Відповідь.

Мал. 159

Хочете знати ще більше?

Іноді доводиться розв’язувати не тільки тригонометричні рівняння, а і їх системи.

Приклад 1. Розв’яжіть систему рівнянь:

Розв’язання. а) Додамо почленно рівняння системи. Маємо:

Віднімемо друге рівняння системи від першого:

Відповідь.

б) 3 другого рівняння системи виразимо у і підставимо у перше рівняння.

Отримаємо систему:

За формулами зведення sin(- х) = sin x. Тоді:

Множину розв’язків рівняння sinх = 0,5 запишемо у вигляді

Тоді

Відповідь.

Примітка. У відповіді до вправи а) числа n і n1 можуть бути різними.

Записавши відповідь у вигляді

ми втратили безліч розв’язків. А відповідь

до вправи б) була б неправильною, бо ці значення при n ≠ n1. дану систему не задовольняють.

Перевірте себе

1. Які тригонометричні рівняння належать до найпростіших?

2. Які методи розв’язування тригонометричних рівнянь ви знаєте?

3. Як розв’язують однорідні рівняння відносно синуса і косинуса?

4. Як використовують алгебраїчні методи для розв’язування тригонометричних рівнянь?

Виконаємо разом

Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання. а) Розкладемо sin4x за формулою синуса подвійного кута: соs 2х + 2sin 2х соs 2х = 0.

Тоді соs 2х (1 + 2sin 2х) = 0, звідси соs 2х = 0 або 1 + 2sin 2х = 0.

З першого рівняння маємо:

Розв’яжемо друге рівняння:

Маємо

Звідси

Відповідь.

б) За формулами зведення

Отже, маємо рівняння:

Перетворимо ліву частину рівняння в суму:

Тоді рівняння матиме вигляд:

звідси

Перетворимо ліву частину рівняння в добуток:

Тоді соs 5х = 0 або соs х = 0.

Розв’яжемо перше рівняння:

Множина розв’язків другого рівняння

є підмножиною розв’язків першого. Перевірте.

Відповідь.

Зведемо дане рівняння до однорідного рівняння другого степеня. Для цього число 2 запишемо у вигляді 2 = 2(sin2х + cos2х). Тоді рівняння матиме вигляд:

Поділимо дане рівняння на

Зробивши заміну tg x = t, отримаємо квадратне рівняння Зt2 - 14t -5 = 0, корені якого t1= 5, t2 = Тоді tg x = 5 або tg x = -, звідси

Відповідь.

2.Знайдіть кути прямокутного трикутника, якщо бісектриса його гострого кута відноситься до гіпотенузи як 1 :.

Розв’язання. Нехай у ∆ АВС ∠ C = 90°, ∠ CAD = ∠ DAB = х і = (мал. 160). Тоді ∠ АВ = 90° - 2х, ∠ ADB = 90° + х. За теоремою синусів

Підставимо в останню рівність дані умови. Маємо:

Звідси

За змістом задачі cos x > 0, тому cos x = , х - 30°.

Відповідь. 30°, 60°, 90°.

Мал. 160

Виконайте усно

Розв’яжіть рівняння (1227-1228).

1227.

a) cos х = 0,5;

б) cos x = 1;

в) sin x = -0,5;

г) sin x = -1.

1228.

a) 2sin x = ;

б) 2cos x = ;

в) tg x = 1;

г) tg x = .

1229. Чи задовольняє значення х - рівняння:

1230. Скільки розв’язків має рівняння:

1231. Розв’яжіть рівняння:

1232. Яку заміну потрібно зробити в рівнянні, щоб його розв’язати:

1233.Укажіть найбільший від’ємний корінь рівняння:

a) 2sin x = 0;

б) cos 2x = 1;

в) tg x(1 + cos2 3х) = 0;

г) ctg х = 1.

1234. Укажіть найменший додатний корінь рівняння:

Рівень А

Розв’яжіть рівняння (1235-1241).

1235.

1236.

1237.

1238.

1239.

1240.

1241.

1242. (Розв'яжіть рівняння (1-4). Установіть відповідність між цими рівняннями і кількістю їх розв’язків (А-Д) на проміжку

1

sin 6х - sin 4х = 0

А

один

2

соs х + соs Зх = 0

Б

два

3

sin 2х + sin 8х = 0

В

три

4

соs 5х - соs Зх = 0

Г

чотири



Д

п’ять

Знайдіть корені рівняння (1243-1247).

1243.

1244.

1245.

1246.

1247.

Рівень Б

Розв’яжіть рівняння (1248-1254).

1248.

1249.

1250.

«Рівняння — це золотий ключ, що відчиняє усі математичні сезами».

С. Коваль

1251.

1252.

1253.

1254.

Знайдіть корені рівняння (1255-1259).

1255.

1256.

1257.

1258.

1259.

1260. Знайдіть найменший додатний розв’язок рівняння:

1261. Знайдіть найбільший від’ємний розв’язок рівняння:

Рівень В

1262. Скільки коренів рівняння міститься у проміжку [0; 6]:

1263. Скільки коренів рівняння міститься у проміжку [-0,5р; 0,5р]:

1264. Знайдіть суму коренів рівняння:

Розв’яжіть рівняння (1265-1266).

1265.

1266.

При яких значеннях параметра а рівняння має розв’язки (1267-1268).

1267.

1268.

1269. Для кожного значення параметра а знайдіть кількість розв’язків рівняння на заданому проміжку:

1270. При яких значеннях параметра а рівняння 4sin2 2х - 4(а + 1)sin 2х + 2а + 1 = 0 на відрізку [0,5; 1,5] має: а) два корені; б) три корені; в) п’ять коренів?

1271. При яких значеннях параметра а рівняння має єдиний розв’язок:

1272. Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння:

1273. Миттєві значення двох синусоїдальних напруг задаються формулами: u1 = Umsint; u2 = Umsin(t + ). Визначте перший момент часу, коли миттєві значення напруг рівні між собою.

1274. Миттєві значення сили струмів, які проходять паралельними вітками кола, задаються формулами: і1 = Imsin(t + 1); і2 = Imsin(t + 2). Як мають співвідноситися фази 1 і 2 , щоб загальний струм у колі дорівнював нулю?

Розв’яжіть систему рівнянь (1275-1280).

1275.

!!!!!!!!!!!!!!!!!!

1276.

1277.

1278.

1279.

1280.

1281. Паралельні площини відітнули від двох прямих відрізків, довжини яких відносяться як 1: . Під якими кутами вони нахилені до площин, якщо один із цих кутів удвічі більший за другий?

1282. МА — перпендикуляр до площини трикутника ABC, ∠A MB= ∠ ACM. Знайдіть ці кути, якщо АВ : АС = 1:3.

1283. У гострокутному рівнобедреному трикутнику ABC(АВ = ВС) висота ВН ділить висоту AMу відношенні 2: , рахуючи від вершини А. Знайдіть кути трикутника.

1284. Обчисліть:

1285. Розв’яжіть рівняння:

1286. Розв’яжіть нерівність:

«Натуральні числа — це вільні витвори людського розуму».

Р. Дедекінд






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити