Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік
Розділ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
§ 25 Найпростіші тригонометричні нерівності
Тригонометричною називають нерівність, у якій невідомі містяться тільки під знаком тригонометричних функцій. Приклади тригонометричних нерівностей:
Розв’язування тригонометричних нерівностей зводиться до розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей, тобто нерівностей виду: sin x > а, cos х < а, tg x < а, ctg х > а і т. д.
Розв’язують такі нерівності на одиничному колі або використовуючи графіки тригонометричних функцій.
Приклад 1. Розв’яжіть нерівність sin x > 
.
Розв’язання. Знайдемо на колі точки, для яких sinх = , тобто точки,у яких ордината дорівнює . Для цього проведемопряму у = , яка перетне коло в точках Рх1 і Рx2 .
Мал. 161
Точки кола, які задовольняють нерівність sinх > , лежать на дузі кола Рx1 Рx2 , яка розміщена вище від прямої у = (мал. 161).
Оскільки точка Рx1 лежить у І чверті і значення синуса в ній дорівнює
, то х1 = 
. Тоді х2 = 
- =
. Отже, дану нерівність задовольняє кожне з чисел проміжку (; ). Враховуючи періодичність функції у = sin х, всю множину розв’язків можна записати у вигляді
n ∈ Z. Або у вигляді подвійної нерівності
Дану нерівність sin х > 
можна розв’язати і графічно. Для цього требапобудувати в одній системі координат графіки функцій у = sin х і у = (мал. 162). Ті значення х, при яких sin x більший за , утворюють безлічпроміжків. Вони і становлять відповідь.
Мал. 162
Оскільки функція у = sinх набуває значень від -1 до 1, то нерівності sin х > 1 і sin x < -1 розв’язків не мають, а нерівності sin х ≤ 1 і sin x ≥ -1 виконуються для довільного значення х.
Приклад 2. Розв’яжіть нерівність соs х ≤ 
.
Розв’язання. Знайдемо точки одиничного кола, у яких соs х =. Дляцього проведемо пряму х =2.
Виділимо ту частину дуги кола, для точок якої соs х ≤ (мал. 163).
Знайдемо значення у крайніх точках цієї дуги. Точці, яка лежить у І чверті, відповідає значення , а значення у другій точці дорівнює 2 - 
= 
. Тоді, враховуючи періодичність функції косинус, можемо записати відповідь:
або
Мал. 163
Очевидно, що нерівності cos x > 1 і cos x < -1 розв’язків не мають, а нерівності cos x ≤ 1 і cos x ≥ -1 виконуються для всіх значень х.
Приклад 3. Розв’яжіть нерівність tg x > 1.
Розв’язання. Щоб розв’язати цю нерівність на одиничному колі, проведемо лінію тангенсів — пряму, яка проходить через точку (1; 0) паралельно до осі ординат (мал. 164).
Мал. 164
Позначимо на лінії тангенсів точку 1 і через неї та центр кола проведемо пряму, яка перетне коло в точках, для яких тангенс дорівнює 1. Точки, для яких tg x ≥ 1, належать виділеним дугам. Точці в І чверті відповідає кут чи число 
. Враховуючи періодичність тангенса, можемо записати
відповідь:
Цю нерівність можна розв’язати і графічно (мал. 165).
Приклад 4. Розв’яжіть нерівність ct g x ≤
.
Розв’язання. Проведемо лінію котангенсів (пряму, яка проходить через точку (0; 1), паралельну осі абсцис) і відмітимо на колі точки, для яких ctg х < (мал. 166). Оскільки ctg x = 
, якщо х = , то, враховуючи періодичність котангенса, отримаємо відповідь:
Мал. 165
Мал. 166
Дану нерівність можна розв’язати і графічно (мал. 167).
До розв’язування розглянутих вище найпростіших тригонометричних нерівностей зводиться розв’язування складніших нерівностей. Розглянемо кілька прикладів.
Приклад 5. Розв’яжіть нерівність:|cos x| <
.
Розв’язання. Оскільки обидві частини нерівності невід’ємні, то піднесемо кожну з них до квадрата. Маємо: cos2x < 
або 
<
, звідки cos 2x <
і
Остаточно:
Мал. 167
Приклад 6. Розв’яжіть нерівність: 4 sin2х - 3sin x cos х +3cos2х > 2. Розв’язання. Оскільки 2 = 2∙(sin2x + cos2х), то
1) Перевіримо, чи будуть розв’язками нерівності точки, де соs2х = 0. За цієї умови sin2х = 1, а нерівність 4 > 2 — правильна.
Отже, х = 
+ k, k ∈ Z— розв’язок заданої нерівності.
2) Якщо соs2 х ≠ 0, то поділимо обидві частини нерівності на соs2х. Маємо: 2tg2x — Зtg x + 1 > 0, звідки tg х < 0,5 або tg х > 1.
Розв’яжемо отримані нерівності (мал. 168). Враховуючи результат пункту 1, маємо:
Мал. 168
Перевірте себе
1. Які нерівності називають тригонометричними?
2. Наведіть приклади тригонометричних нерівностей.
3. Як розв’язати нерівність sin х > а, |а|<1?
4. Скільки розв’язків має нерівність sin х > 1, соs х < -1?
Виконаємо разом
1. Розв’яжіть нерівність:
Розв’язання. а)cos x ≥ - . Розв’яжемо дану нерівність на одиничному колі. Проведемо пряму х =-
і виділимо ту частину кола, точки якої задовольняють дану нерівність (мал. 169). Оскільки arccos
= 
, то
Тоді
Знайдемо точки на одиничному колі,які задовольняють дану нерівність (мал. 170). Маємо:
Мал. 169
Мал. 170
Отже,
З малюнка 171 видно, що:
Розв’яжемо дану подвійну нерівність:
або
Звідси
або
Мал. 171
Мал. 172
2. Розв’яжіть нерівність:
Розв'язання. а) tg2 х + 2tg x - 3 ≥ 0. Зробимо заміну tg x = t й отримаємо нерівність t2 + 2t - 3 ≥ 0. Розв’яжемо цю квадратичну нерівність:
t2 + 2t - 3 = 0, звідки t1 = -3, t2 = 1, тому t ∈ (- ∞; - 3] ⋃ [1; + ∞).
Маємо:
Розв’яжемо отриману сукупність нерівностей на одиничному колі (мал. 172).
Тоді:
б) Нерівність 
(x2 - 7х + 6) < 0 рівносильна сукупності:
Остаточно маємо:
Виконайте усно
1287. Укажіть множину розв’язків нерівності sin x ≤ 1.
1288.Укажіть множину розв’язків нерівності: cos x < -1; cos x ≥ -1.
1289. Знайдіть розв’язки нерівності:
a) sin x > 1;
б) cos х < -1;
в) sin x < -1;
г) cos x > 1.
1290. Розв’яжіть нерівність:
a) cos х < 0;
б) cos x > 0;
в) sin x < 0;
г) sin x > 0.
1291.Яка з нерівностей не має розв’язків і чому:
a) 2sin2 x ≥ 1;
б) 3cos x ≥ 6;
в) |cos x| ≥ 1;
г) tg2 x ≥ 4?
Рівень А
Розв’яжіть нерівність (1292-1307).
1292.
1293.
1294.
1295.
1296.
1297.
1298.
1299.
1300.
1301.
1302.
1303.
1304.
1305.
1306.
1307.
1308. Знайдіть область визначення функції:
Рівень Б
Розв’яжіть нерівності (1309-1316).
1309.
1310.
1311.
1312.
1313.
1314.
1315.
1316.
Розв’яжіть нерівність графічно (1317-1319).
1317.
1318.
1319.
Розв’яжіть нерівності (1320-1321).
1320.
1321.
Рівень В
Знайдіть область визначення функції (1322-1323).
1322.
1323.
Розв’яжіть нерівність (1324-1325).
1324.
1325.
Розв’яжіть систему нерівностей (1326-1327).
1326.
1327.
1328. Для кожного значення параметра а розв’яжіть нерівність
1329. При яких значеннях параметра а нерівність виконується для довільного дійсного числа:
Вправи для повторення
1330. Розв’яжіть рівняння:
1331. Доведіть, що для довільних дійсних чисел х і у виконується нерівність: х2 + 2у2 + 2ху + 6у + 10 > 0.
1332. У сплаві міді й цинку масою 36 кг міститься 45 % міді. Скільки кілограмів міді потрібно додати до цього сплаву, щоб новий сплав містив 60 % міді?