Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

Михайло Васильович ОСТРОГРАДСЬКИЙ (1801-1862)

Всесвітньо відомий український математик і механік. Видатний учений, організатор наукової школи прикладної математики і механіки, популяризатор математики, прогресивний реформатор математичної освіти, великий лектор і талановитий педагог-новатор.

Досліджував проблеми математичного аналізу, теорії диференціальних рівнянь, математичної фізики тощо.

Усі гадають, ніби математика — наука суха, що полягає вона тільки в умінні рахувати. Це безглуздя. Цифри в математиці відіграють наймізернішу, найостаннішу роль. Це — найвища філософська наука, наука найвеличніших поетів… .

М. В. Остроградський

НАБУВАЄМО ДОСВІДУ ТА КОМПЕТЕНТНОСТЕЙ

• Границя і неперервність функції в точці і на проміжку

• Похідна, її геометричний і фізичний зміст.

• Правила диференціювання

• Застосування похідної до дослідження функцій

• Застосування похідної до розв’язування прикладних задач

• Формулювати означення понять теми

• Знаходити похідні функцій, кутовий коефіцієнт дотичної, найбільше і найменше значення функції

• Застосовувати похідні для знаходження проміжків монотонності І екстремумів функції; ПРОМІЖКІВ опуклості та точок перегину тощо

• Досліджувати функції за допомогою похідної та будувати їх графіки

Навчальний проект №5. ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ В ЕКОНОМІЧНИХ РОЗРАХУНКАХ

§ 26 Границя і неперервність функції

Реальні процеси можна моделювати за допомогою функції, а тому слід добре розуміти і вміти досліджувати поведінку функції біля конкретної точки, знати, як змінюються значення функції при зміні значення аргументу. Для цього вивчають значення функції в точці, границю функції в точці, приріст функції в точці, неперервність функції в точці. Про які точки йдеться? Про точки осі абсцис — значення аргументу.

Значення функції в точці. Нехай задано, наприклад, функцію f(х) = x2 + х + 1. Якщо x = 1, то відповідне значення функції дорівнює 3. Кажуть, що в точці х = 1 значення функції f(х) дорівнює 3. У точці х = 0 її значення дорівнює 1, у точці х = 10 значення функції f(x) дорівнює 111.

Пишуть: f(1) = 3, f(0) = 1, f(10) = 111.

Границя функції в точці. Розглянемо ту саму функцію f(x) = х2 + х + 1. Якщо значення її аргументу х досить близькі до числа 1 і з обох боків наближаються до 1, то відповідні значення функції як завгодно близько наближаються до числа 3 (мал. 173).

Про це свідчать дані таблиці (мал. 174), в якій містяться значення функції у = х2 + х + 1 для 10 значень аргументу, близьких до числа 1, і графік, зображений на малюнку 174.

Мал. 173

Мал. 174

Іншими словами: різниця |f(х) - 3| може стати і залишатись як завгодно малою, якщо різниця |х -1| буде досить малою. У цьому випадку кажуть, що границя функції f(х) у точці х =1 дорівнює 3. Пишуть: якщо х → 1, то f(х) → 3, або

Суттєва деталь: функція може мати границю навіть у такій точці, у якій вона не визначена.

Наприклад, функція ω(х) = у точці х = 1 не має значення, бо знаменник не може дорів­нювати нулю. В усіх інших точках функція ω(х) має такі самі значення, як і функція f(x), бо (х3 - 1) : (х - 1) = х1 + х + 1, якщо х ≠ 1. Графік функції ω(х) зображено на малюнку 175. Хоча значення функції ω(х) у точці х = 1 не існує, а її границя у цій точці існує і дорівнює 3.

Означення границі функції можна сформу­лювати так.

Мал. 175

Число b називається границею функції f(x) у точці х0, якщо для будь-якого додатного числа є можна вказати таке додатне число (ɛ), що для всіх значень х з проміжку (х0 - ; х0 + ), крім, можливо, самої точки х0, справджується нерівність |f(x) — b| < ɛ.

Пишуть так:

Означення границі функції має просте гео­метричне тлумачення: яке б не було досить мале наперед задане додатне число є, можна вказати таке додатне число (ɛ), що для всіх точок х, які віддалені від точки х0 не далі ніж на δ, графік функції у = f(х) лежить усередині смуги шириною 2ɛ, обмеженої прямими у=b - ɛ і у = b + ɛ (мал. 176).

Границя функції в точці має цікаві влас­тивості. Наприклад:

• функція не може мати двох різних границь у точці;

• якщо с — число, то

Мал. 176

Кілька властивостей сформулюємо у вигляді теореми.

Теорема. Якщо кожна з функцій f(х) і g(х) має границю в точці х0, то в цій точці існують границі функцій

і мають місце рівності:

Іншими словами можна сказати так.

Сталий множник можна виносити за знак границі. Границя суми (різниці, добутку) функцій дорівнює сумі (різниці, добутку) границь даних функцій. Границя відношення двох функцій дорівнює відношенню їх границь, якщо границя дільника не дорівнює нулю. Ці властивості використовують для обчислення границь функцій у заданих точках.

Приклад 1. За умови, що х → 5, обчисліть границю функції f(x), якщо:

Розв’язання.

Зауваження. Розв’язуючи такі вправи, деякі перетворення можна ви­конувати усно.

У попередніх прикладах для знаходження границі досить було підста­вити у даний вираз граничне значення аргументу. Але часто така підстановка призводить до невизначеностей виду ; , 0 *∞, ∞ - ∞, 0°, ∞0 , 1.

У таких випадках спочатку слід перетворити даний вираз, а вже потім обчислювати границю. Знаходження границі у такий спосіб називається розкриттям невизначеностей.

Приклад 2. Знайдіть

Розв’язання. Оскільки при х → 3 границя знаменника дорівнює нулю, то використовувати теорему про границю частки не можна. Безпосередня підстановка у даний вираз граничного значення аргументу х = 3 призводить до невизначеності виду . Щоб її розкрити, розкладемо чисельник і зна­менник дробу на множники. Маємо:

Приріст аргументу і функції. Нехай дано, наприклад, функцію f(x) = х2. У точці х0 - 2 її значення f(2) = 4. Збільшимо значення аргументу на 0,01, тобто нехай х - 2,01. Відповідне значення функції f(2,01) = 4,0401. Порівняно з попереднім значенням воно збільшилось на 0,0401. Тут 0,01 — приріст аргументу, а 0,0401 — відповідний приріст функції, а саме: при­ріст функції f(x) = х2 на проміжку [2; 2,01].

Приростом аргументу в точці х0 називають різницю х - x0, де х — довільне число, яке мало відрізняється від x0. Він може бути додатним або від’ємним. Відповідний приріст функції f(x) — різниця f(х) - f(х0).

Приріст аргументу х позначають символом ∆х, а приріст функції ∆f, ∆у (читають: дельта ікс, дельта еф, дельта ігрек). Так, у розглянутому прикладі ∆х = 0,01, ∆f = 0,0401.

Геометрично приріст аргументу зображується приростом абсциси точки кривої, а приріст функ­ції — приростом ординати цієї точки (мал. 177).

Властивості цих понять видно на малюнках 177 і 178. Якщо функція f(х) — зростаюча і ∆х > 0, то ∆f(х) — число додатне, а якщо f(х) — спадна функція і ∆х > 0, то ∆f(х) — число від’ємне.

Важливе значення для дослідження функції має відношення приросту функції до приросту аргументу в деякій точці. Це відношення на­зивають середньою швидкістю зміни функції.

Воно показує, скільки одиниць приросту функції припадає на одиницю приросту аргументу.

Неперервність функції. Як пов’язані між со­бою прирости аргументу х і функції f(х) = х2 в точці х0 = 2? Якщо ∆х = 0,01, то ∆f = 0,0401; якщо ∆х = 0,001, то ∆f = 0,004001 і т. д. Узагалі, якщо ∆х → 0, то і ∆f → 0, тобто приріст функції прямує до нуля, коли прямує до нуля приріст аргументу (зліва або справа). У такому випадку говорять, що функція f(х) неперервна в точці х0 = 2.

Мал. 177

Мал. 178

Функція f(x) називається неперервною в точці х0, якщо в цій точці досить малим приростам аргументу відповідають як завгодно малі прирости функції.

Інакше:

Перетворимо останню рівність:

Оскільки

і ∆х → 0, коли х → х0, то матимемо, що

звідси

Функція у = f(x) називається неперервною в точці х0, якщо існує гра­ниця функції в цій точці і вона дорівнює значенню функції в точці х0.

На основі цих умов знаходження границь неперервних функцій суттє­во спрощується. Для обчислення границі

неперервної в точці х0 функції f(х) досить обчислити значення функції у цій точці, тобто f(x0). Над неперервними функціями можна виконувати арифметичні операції.

Теорема. Нехай функції у = f(х) і у = g(х) неперервні в точці х0. Тоді їх сума, різниця, добуток і частка (за умови, що знаменник не дорівнює нулю) теж неперервні в точці х0, тобто

неперервні в точці x0 функції.

Доведення. Оскільки за означенням неперервні в точці х0 функції f(х) і g(x) мають границі, що дорівнюють f(х0) і g(х0), то за властивістю гра­ниці суми, різниці, добутку та частки границі вказаних функцій існують і відповідно дорівнюють

(g(x0) ≠ 0). Але ці величини дорівнюють значенням відповідних функцій.

Отже, вказані функції за означенням неперервності є неперервними в точці х0.

Приклад 1. Для яких значень х функція

буде неперервною?

Розв’язання. Дробово-раціональна функція є неперервною за умови, що знаменник не дорівнює нулю. Рівняння х2 - 6х + 8 = 0 має корені х1 = 2, х2 - 4. Отже, функція є неперервною у кожній точці множини (- ∞; 2) ⋃ (2;4) ⋃ (4; + ∞).

Функція називається неперервною на проміжку, якщо вона неперервна в кожній його точці. Графік такої функції — неперервна крива (її можна провести, не відриваючи олівець від паперу).

На малюнку 179 зображено графіки функцій, які мають розриви у точці х = 1; вони не є неперервними в цій точці.

Мал. 179

Неперервними у кожній точці своєї області визначення є елементарні функції — степеневі, тригонометричні, у = (n ∈ N), а також функції, утворені з них за допомогою чотирьох арифметичних дій. Графіки елемен­тарних функцій на кожному проміжку з області визначення є нерозрив­ними лініями.

Властивості функцій, неперервних на відрізку.

Теорема Больцано—Коші. Якщо функція у = f(x) неперервна на [a; b] і на кінцях цього відрізка набуває значення різ­них знаків, то на інтервалі (а; Ь) обов’язково існує точка с, така, що f(c) = 0.

Геометричний зміст цієї теореми по­лягає в тому, що неперервна крива при переході з однієї півплощини в другу, ме­жею яких є вісь Ох, перетинає цю вісь (мал. 180). Ця теорема застосовується при розв’язуванні рівнянь і нерівностей.

Зауваження! Розривні функції, взагалі кажучи, цих властивостей не мають.

Точки розриву. Точка, в якій функція не є неперервною, називається точкою розриву функції, а сама функція називається розривною в цій точці.

Точка х0 буде точкою розриву функції у = f(x), якщо виконується одна з умов:

1) функція в точці х0 не визначена;

2) не існує границі функції в точці х0 або вона є нескінченною;

3) границя функції в точці х0 не збігається зі значенням функції в цій точці.

Досліджуючи точки розриву, використовують односторонні границі. Це

означає, що розглядають поведінку функції для значень х лише праворуч або ліворуч від точки х0. У такий спосіб отримують відповідно правосторонню чи лівосторонню границі.

Мал. 180

Позначають:

— правостороння границя функції у = f(x) в точ­ці х0;

— лівостороння границя функції у = f(x) ) в точ­ці x0.

Приклад 2. Знайдіть точки розриву функції у = .

Розв’язання. Оскільки на нуль ділити не можна, то точкою розриву даної функції є х = 0.

Приклад 3. Дослідіть функцію

на неперервність та побудуйте її графік.

Розв’язання. На кожному з інтервалів (- ∞; 0) і (0; + ∞) функція неперерв­на як многочлен. Оскільки вся область визначення функції розділена на два проміжки точкою х = 0, то в цій точці функція може мати розрив. З’ясуємо, чи існує границя функ­ції в цій точці. Якщо х → 0 зліва, то функція має вигляд f(х) = х2 + 2 і

а при х → 0 справа f(x) = х + 1 і

Отже, не існує границі функції в точці х = 0, а тому х = 0 — точ­ка розриву. Графік даної функції зображено на малюнку 181.

Мал. 181

Хочете знати ще більше?

Теорія границь — великий і цікавий розділ курсу математичного аналізу, який вивчається в університетах. У школі цей матеріал вивчають оглядово, на основі наочних уявлень та інтуїції. Уявлення про границі та їх власти­вості бажано мати для вивчення похідної та її застосувань — могутнього апарату для дослідження багатьох реальних процесів.

Пропонуємо вам ознайомитися з одним із цікавих і важливих фактів теорії границь. Розгляньте таблицю, складену за допомогою програми Excel.

t

-0,1

-0,01

-0,001

0,001

0,01

0,1

sin t

-0,0998

-0,00999

-0,009999

0,009999

0,0099

0,0998

0,998

0,999

0,9999

0,9999

0,999

0,998

Як бачимо, при досить малих значеннях t, sin t ≈ t, а ≈ 1. У курсі математичного аналізу доводять, що

Ця рівність називається першою важливою (чудовою) границею. Її ви­користовують для знаходження границь функцій, пов’язаних із тригоно­метричними.

Приклад. Обчисліть границю

Розв’язання.

Відповідь. 8.

Перевірте себе

1. Що таке границя функції в точці?

2. Що таке приріст аргументу? Як його позначають?

3. Що таке приріст функції? Як його позначають?

4. Яку функцію називають неперервною в точці?

5. Які операції можна виконувати над функціями, неперервними в точці?

6. Сформулюйте означення функції, неперервної на проміжку.

7. Сформулюйте властивості функцій, неперервних на проміжку.

Виконаємо разом

Обчисліть:

Розв’язання. а) У точці х = 3 границя кожного з дробів не існує, тому скористатися теоремами про границі ми не можемо. Спростимо функцію, що міститься під знаком границі, виконавши дію віднімання. Маємо:

б) У точці х = 1 дана функція не визначена, але дріб

можна скоротити:

Оскільки для обчислення границі функції при х → 1 саму точку х = 1 можна виключити і не розглядати, то

в) Домножимо чисельник і знаменник дробу на вирази, спряжені до даних.

2. Знайдіть приріст функції у = х2 при переході значення аргументу від З до 3,5.

Розв’язання.

Спосіб 1. Маємо f(х) = х2, a f(х + ∆х) = (х + ∆х)2, тоді

За цією формулою можна обчислити значення ∆f(х) для будь-яких х і ∆х. Зокрема, у нашому прикладі х = 3, ∆х = 3,5 - 3 = 0,5, тому

∆f(х) = 2 · 3 · 0,5 + 0,52 = 3 + 0,25 = 3,25.

Спосіб 2. f(3) = З2, f(3,5) = 3,52.

3. Для функції у = х3 знайдіть:

а) приріст функції при переході від деякої точки х до точки х + ∆х;

б) границю відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля.

Розв’язання.

оскільки ∆х → 0, а х — не залежить від ∆х.

Чи має рівняння х3 - 3х - 1 = 0 принаймні один дійсний корінь на відрізку [0; 2]?

Розглянемо функцію а(х) = х3 - 3х - 1. Ця функція неперервна на від­різку [0; 2] і на його кінцях набуває різних за знаком значень: а(0) = -1 < 0, а(2) = 1 > 0. Отже, згідно з теоремою Больцано-Коші існує принаймні одна точка с (0 < с < 2), у якій значення функції дорівнює нулю. Число с і є коренем заданого рівняння. Переконайтеся у цьому, розв’язавши графічно рівняння х3 = 3х + 1.

Виконайте усно

1333. Обчисліть границю функції у = а(х) у точці х0 = 0, якщо:

1334. Чи має функція а(х) = границю в точці:

1335. Для кожної з функцій, графік якої зображено на малюнку 182, встановіть:

а) чи визначена ця функція в точці х0;

б) чи існує границя функції в точці х0;

в) якщо границя в точці х0 існує, то чи дорівнює вона значенню функції в цій точці.

1336. Яка з функцій, графіки яких зображені на малюнку 182, є неперерв­ною: а) для всіх х < 0; б) для всіх х > 0; в) на всій області визначення?

Мал. 182

1337. Скільки точок розриву має функція:

Рівень А

1338. Знайдіть значення функції f(х) = 0,5х2 у точці: а) х = 5; б) х = -0,5.

1339. Порівняйте значення функції f(х) = + х у точках х = -2 і х = -0,5.

1340. Дано функції f(х) = х2 - х + 1 і

Перемалюйте в зошит і заповніть таблицю.

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

f(х)








ω(х)








1341. Відомо, що

Обчисліть:

1342. Обчисліть границю функції у = f(х) у точці х0 = 1, якщо:

1343. Обчисліть границю функції у = f(х) у точці х0 = 2, якщо:

1344. Обчисліть границю функції:

Обчисліть (1345-1346).

1345.

1346.

1347. Знайдіть приріст аргументу при переході від 5 до: а) 5,5; б) 5,1; в) 5,05; г) 5,001.

1348. Знайдіть приріст аргументу при переході від точки х0 до точки х, якщо:

а) х0 = 1, х = 1,3;

б) х0 = 3, х = 3,5;

в) х0 = 2,1, х = 2,7.

1349. Знайдіть приріст функції у = 3х + 1 при переході від точки х0 до точки х, якщо:

а) х0 = 2, х = 2,3;

б) х0 = 5, х = 5,5;

в) х0 = 2,5, х = 2,7.

1350. Для функції у = 0,5х - 3 знайдіть х і ∆ у, якщо:

а) х0 = 1, ∆х = 0,2;

б) х0 = 3, ∆х = 0,4;

в) х0 = 2,1, ∆х = 0,9.

1351. Для функції у = 10х - 1 знайдіть ∆х і ∆ у, якщо:

а) х0 = 1, х = 1,2;

б) х0 = 3, х = 3,1;

в) х0 = 2,1, х = 2,5.

1352. Наведіть приклад зростаючої функції, неперервної на всій області визначення. Побудуйте її графік.

1353. Наведіть приклад спадної функції, неперервної на всій області ви­значення. Побудуйте її графік.

1354. Побудуйте графік функції, яка не є неперервною в точках:

а) -1 і 1;

б) -1; 0 і 1;

в) 0 і 2;

г) -3 і 1.

При яких значеннях х функція буде неперервною (1355-1356)?

1355.

1356.

1357.

Доведіть, що функція

є неперервною, якщо x ∈ R

1358. Знайдіть точки розриву функції у = - 2.

1359. Дослідіть функцію у = f(x) на неперервність у точках 1; 2; -1; 0, якщо:

Рівень Б

1360. Відомо, що

Обчисліть:

1361. Доведіть, що границя многочлена Р(х) = аnхn + аn-1 хn-1+ … + а0 при х → х0 дорівнює значенню цього многочлена при х = х0 , тобто

1362. Якщо Р(х) і Q(х)— многочлени, причому Q(x0) ≠ 0, то

Доведіть.

1363. Обчисліть границю функції f(х) у тій точці, у якій функція не визначена, якщо:

Обчисліть границі (1364-1366).

1364.

1365.

1366.

1367. Знайдіть приріст функції у = 2sin х cos х при переході від точки х0 = 0 до точки х, якщо:

1368. Для функції у = 0,5(cos 4x + 1) знайдіть ∆х і ∆у, якщо:

1369. Відомо, що для деякої фірми витрати на випуск х одиниць продукції описуються функцією: К(х) = 0,002х3 - 0,3х2 + 20х + 100 (грн), а до­хід, одержаний від реалізації х одиниць продукції, можна обчислити за формулою R(х) = 200х - 0,05х2 (грн). Визначте приріст витрат і доходу при збільшенні випуску продукції: а) з 20 до 100; б) з 30 до 50.

1370. За деякими підрахунками визначено, що при виробництві х оди­ниць продукції щомісяця фірма має витрати К(х), що виражається

формулою К(х) - 150 + 30х (грн), а дохід R(х), одержаний від продажу х одиниць цієї ж продукції, становить R(х) = 90х - 0,02х2 (грн). Якщо фірма збільшить щомісячний випуск продукції з 300 до 320 одиниць, як зміняться її витрати, дохід, прибутки?

1371. Кількість мишей у колонії записували щотижня і побудували від­повідний графік (мал. 183). Оцініть середню швидкість зростання по­пуляції мишей: а) з 4-го по 6-й тиждень; б) за перших п’ять тижнів.

1372. На малюнку 184 подано графік руху тіла. Оцініть середню швидкість руху за час t (час t — у секундах; шлях s — у метрах), якщо:

а) 1 ≤ t ≤ 4; б) 4 ≤ t ≤ 8.

Мал. 183

Мал. 184

1373. Побудуйте графік функції f(x) = . Чи неперервна вона у точці х0 = -1? А в точці х0 = 2?

1374. Чи визначена функція f(x) = у точці х = -3? Чи існує границя даної функції в цій точці? Якщо так, то чому вона дорівнює?

1375. Для функції у = 1 - 5х2 знайдіть границю відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля.

1376. Знайдіть границю відношення приросту функції у = f(х) до прирос­ту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, якщо:

а) f(х) = -х + 3;

б) f(х) = Зх2;

в) f(х) = х3 + 1.

1377. Чи завжди буде розривною в заданій точці х0 сума (добуток) двох функцій, якщо обидві функції в цій точці розривні? Наведіть приклад.

1378. Чи завжди буде розривною в заданій точці х0 сума (добуток) двох функцій, якщо тільки одна з функцій у цій точці розривна? Наведіть приклад.

1379. На малюнку 185 зображено графік за­лежності об’єму куска свинцю від темпе­ратури нагрівання. Чи є ця залежність функцією? Чи має функція точки роз­риву? Встановіть їх характер. Наведіть приклади інших розривних функцій, що описують фізичні та хімічні процеси.

Мал. 185

1380. Дослідіть функцію на неперервність та побудуйте її графік:

1381. Довизначте функцію f(х) в точці х = 0 так, щоб вона стала непе­рервною в цій точці:

1382. Доведіть, що рівняння х4 - 3х - 1 = 0 має хоча б один дійсний ко­рінь на відрізку [1; 2].

1383. Доведіть, що рівняння х3 + 4х + 3 = 0 має хоча б один дійсний ко­рінь на відрізку [-1; 0].

Рівень В

1384. Для функції y = знайдіть:

а) приріст функції при переході від деякої точки х до точки х + ∆х;

б) границю відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля.

1385. Знайдіть границю відношення приросту функції у = а(х) до прирос­ту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, якщо:

а) а(х) = ах + b;

б) f(х) = ах2;

в) f(х) = х-1.

1386. Доведіть за означенням, що функція f(х) = 2х2 - 1 неперервна на всій області визначення.

1387. Користуючись означенням, доведіть неперервність функції (х) на інтервалі (-∞; + ∞), якщо:

Обчисліть (1388-1389).

1388.

1389.

1390. Дослідіть задані функції на неперервність і знайдіть точки розриву:

Дослідіть функцію на неперервність та побудуйте схематично її графік (1391-1392).

1391.

1392.

1393. Доведіть, що рівняння х5 + х - = 0 має хоча б один дійсний корінь на відрізку [0,5; 1].

Вправи для повторення

1394. На скільки відсотків збільшиться площа прямокутника, якщо його довжину збільшити на 20 %, а ширину — на 10 % ?

1395. Спростіть вираз:

1396. Розв’яжіть нерівність:






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити