Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

§ 27 Асимптоти функції

Переважну більшість функцій, з якими ви ознайомилися раніше, ви­значено на нескінченних проміжках. Досліджуючи такі функції, бажано встановити їх поведінку для як завгодно великих за модулем значень ар­гументу x, тобто при x → ∞ і при x → - ∞.

Нехай функція у = f(x) визначена на інтервалі (- ∞; + ∞).

Число А називається границею функції у = f(x) на нескінченності (при x → ∞ ), якщо для будь-якого ɛ > 0 існує таке число М(ɛ) > 0, що для всіх |х| > М(ɛ) виконується нерівність |f(x) - A| < ɛ.

Пишуть:

Геометрично це означає, що для будь-якого ɛ > 0 існує число М(ɛ) > 0, що для всіх х ∈ (- ∞; - M) або х ∈ (М; + ∞) відповідні значення функції у = f(х) попадають в ɛ-окіл точки А, тобто відповідні точки графіка цієї функції лежать у смузі, обмеженій прямими у = А + ɛ та у = А - ɛ (мал. 186). У курсі математичного аналізу строго доводять, що

Для границі функції на нескінченності виконуються ті самі властивості і теореми про границі, що й для границі функції в точці (див. с. 250), а також використовують ще одне правило:

Для того, щоб обчислити границю дро­бово-раціональної функції у випадку, коли при х → ∞ чисельник та знаменник дробу мають границі, що дорівнюють нескінченності, необхідно спочатку кожен член многочленів чисельника та знаменника дробу розділити на степінь х з найбільшим показником, а потім знаходити границю.

Мал. 186

Приклад 1. Обчисліть

Розв’язання.

Поняття границі функції на нескінченності та нескінченної границі ви­користовуються для знаходження асимптот.

Пряма І називається асимптотою кривої, якщо відстань d від точки М(х; f(x)) кривої до цієї прямої прямує до нуля при віддаленні точки М по кривій у нескінченність.

Асимптоти є вертикаль­ні, похилі і горизонтальні (мал. 187).

Асимптотами, наприклад, є осі координат для графіка 1 функції у = :

х = 0 — вертикальна асимп­тота;

у = 0 — горизонтальна асимптота.

Крива у = f(х) має горизонтальну асимптоту у = b, якщо існує скінченна границя функції f(x) при х → + ∞ (х → -∞), і ця границя дорівнює b, тобто

Мал. 187

Приклад 2. Знайдіть горизонтальну асимптоту кривої у = .

Розв’язання. Обчислимо границю

image1

Отже, у = 0 — горизонтальна асимптота.

Пряма х = а буде вертикальною асимптотою кривої у = f(x), якщо при х →а (справа або зліва) значення функції у = f(x) прямує до нескінченності, тобто виконується одна з умов:

image2

Рівняння похилої асимптоти:

image3

Якщо обидві записані границі існують, то існує похила асимптота; якщо хоча б одна з них не існує або дорівнює ∞, то крива похилої асимптоти не має.

Якщо k = 0, то

image4

тому у = b — рівняння горизонтальної асимптоти.

Зверніть увагу. Розглянуті границі можуть бути односторонніми, а під символом ∞ слід розуміти +∞ і - ∞. При цьому вказані границі можуть бути різними при x → + ∞ і при x →- ∞.

Приклад 2. Знайдіть асимптоти кривих:

image5

Розв’язання. а) у =. Знайдемо вертикальні асимптоти. Оскількифункція не визначена в точках х = 1 та х = -1 і

image6

то прямі х = 1 і х = -1 — вертикальні асимптоти. Знайдемо похилу асимптоту:

image7

Крива має горизонтальну асимптоту; її рівняння: у = 0. Отже, задана крива має три асимптоти: х = 1, х = -1, у = 0.

б) у =. Знайдемо вертикальні асимптоти.

Оскільки функція не визначена в точках х = 2 та х = -2 і

image8

image9

то прямі х = 2 і x = -2 — вертикальні асимптоти.

Для похилої асимптоти

image10

image11

Маємо: пряма у = х — похила асимптота. Горизонтальної асимптоти немає.

Отже, асимптоти кривої: х = 2, х = -2, у = х.

в) y = . Будемо шукати похилі асимптоти.

Отже, у = х — похила асимптота, якщо х → + ∞.

2) якщо х → -∞; к = -1, b = 0 (перевірте самостійно), звідси у = -х — похила асимптота, якщо х → - ∞.

Отже, задана крива має дві асимптоти: y = х(х → + ∞) і у = х (х → —∞).

Перевірте себе

1. Що називають границею функції у = f(х) на нескінченності?

2. Як обчислити границю дробово-раціональної функції на нескінченності?

3. Що таке асимптота кривої? Які бувають асимптоти?

4. За яких умов крива має горизонтальну асимптоту?

Виконаємо разом

1. Обчисліть

Розв’язання.

2. Знайдіть горизонтальні асимптоти кривої:

Розв’язання.

Отже, у = -1 — горизонтальна асимптота.

3. Знайдіть асимптоти кривої

Область визначення функції — R, тому вертикальних асимптот немає. Знайдемо похилу асимптоту:

Отже, пряма у = х - — похила асимптота даної кривої. Інших асимптот крива не має.

Виконайте усно

1397. Яка з функцій має скінченну границю, якщо у = х (х → +∞);

1398. Яка з функцій, поданих нижче, має скінченну границю, якщо х → - ∞:

1399. Яка з функцій, поданих нижче, має нескінченну границю, якщоx→ + ∞;

1400. Обчисліть:

1401. Наведіть приклад функції, яка має горизонтальну асимптоту.

1402. Наведіть приклад функції, яка має вертикальну асимптоту.

Рівень А

Обчисліть, використовуючи теореми про границі (1403-1404).

1403.

1

1404.

Знайдіть границю (1405-1407).

1405.

1406.

1407.

Знайдіть асимптоти кривих (1408-1409).

1408.

1409.

Рівень Б

1410. Побудуйте графік функції, яка в точці х0 = 1 має нескінченну границю.

1411. Побудуйте графік функції, яка на нескінченності має границею число 2.

Знайдіть границю (1412-1414).

1412.

1413.

1414.

Знайдіть горизонтальні асимптоти кривої (1415-1416).

1415.

1416.

Рівень В

1417. Відомо, що непарна функція має єдину горизонтальну асимптоту. Запишіть рівняння цієї асимптоти.

1418. Знайдіть горизонтальні асимптоти кривої: а) f(х) = хsin. Знайдіть границю (1419-1420).

1419.

1420.

1421. Знайдіть асимптоти кривих.

Вправи для повторення

1422. Розкладіть многочлен на множники:

а) 2а4 - 13а2 + 6;

б) 64а6 - 1;

в) За4+12.

1423. Що більше - чи -?

1424. Розв’яжіть нерівність:






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити