Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік
Розділ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ
§ 27 Асимптоти функції
Переважну більшість функцій, з якими ви ознайомилися раніше, визначено на нескінченних проміжках. Досліджуючи такі функції, бажано встановити їх поведінку для як завгодно великих за модулем значень аргументу x, тобто при x → ∞ і при x → - ∞.
Нехай функція у = f(x) визначена на інтервалі (- ∞; + ∞).
Число А називається границею функції у = f(x) на нескінченності (при x → ∞ ), якщо для будь-якого ɛ > 0 існує таке число М(ɛ) > 0, що для всіх |х| > М(ɛ) виконується нерівність |f(x) - A| < ɛ.
Пишуть:
Геометрично це означає, що для будь-якого ɛ > 0 існує число М(ɛ) > 0, що для всіх х ∈ (- ∞; - M) або х ∈ (М; + ∞) відповідні значення функції у = f(х) попадають в ɛ-окіл точки А, тобто відповідні точки графіка цієї функції лежать у смузі, обмеженій прямими у = А + ɛ та у = А - ɛ (мал. 186). У курсі математичного аналізу строго доводять, що
Для границі функції на нескінченності виконуються ті самі властивості і теореми про границі, що й для границі функції в точці (див. с. 250), а також використовують ще одне правило:
Для того, щоб обчислити границю дробово-раціональної функції у випадку, коли при х → ∞ чисельник та знаменник дробу мають границі, що дорівнюють нескінченності, необхідно спочатку кожен член многочленів чисельника та знаменника дробу розділити на степінь х з найбільшим показником, а потім знаходити границю.
Мал. 186
Приклад 1. Обчисліть
Розв’язання.
Поняття границі функції на нескінченності та нескінченної границі використовуються для знаходження асимптот.
Пряма І називається асимптотою кривої, якщо відстань d від точки М(х; f(x)) кривої до цієї прямої прямує до нуля при віддаленні точки М по кривій у нескінченність.
Асимптоти є вертикальні, похилі і горизонтальні (мал. 187).
Асимптотами, наприклад, є осі координат для графіка 1 функції у = 
:
х = 0 — вертикальна асимптота;
у = 0 — горизонтальна асимптота.
Крива у = f(х) має горизонтальну асимптоту у = b, якщо існує скінченна границя функції f(x) при х → + ∞ (х → -∞), і ця границя дорівнює b, тобто
Мал. 187
Приклад 2. Знайдіть горизонтальну асимптоту кривої у = 
.
Розв’язання. Обчислимо границю
Отже, у = 0 — горизонтальна асимптота.
Пряма х = а буде вертикальною асимптотою кривої у = f(x), якщо при х →а (справа або зліва) значення функції у = f(x) прямує до нескінченності, тобто виконується одна з умов:
Рівняння похилої асимптоти:
Якщо обидві записані границі існують, то існує похила асимптота; якщо хоча б одна з них не існує або дорівнює ∞, то крива похилої асимптоти не має.
Якщо k = 0, то
тому у = b — рівняння горизонтальної асимптоти.
Зверніть увагу. Розглянуті границі можуть бути односторонніми, а під символом ∞ слід розуміти +∞ і - ∞. При цьому вказані границі можуть бути різними при x → + ∞ і при x →- ∞.
Приклад 2. Знайдіть асимптоти кривих:
Розв’язання. а) у =
. Знайдемо вертикальні асимптоти. Оскількифункція не визначена в точках х = 1 та х = -1 і
то прямі х = 1 і х = -1 — вертикальні асимптоти. Знайдемо похилу асимптоту:
Крива має горизонтальну асимптоту; її рівняння: у = 0. Отже, задана крива має три асимптоти: х = 1, х = -1, у = 0.
б) у =
. Знайдемо вертикальні асимптоти.
Оскільки функція не визначена в точках х = 2 та х = -2 і
то прямі х = 2 і x = -2 — вертикальні асимптоти.
Для похилої асимптоти
Маємо: пряма у = х — похила асимптота. Горизонтальної асимптоти немає.
Отже, асимптоти кривої: х = 2, х = -2, у = х.
в) y = 
. Будемо шукати похилі асимптоти.
Отже, у = х — похила асимптота, якщо х → + ∞.
2) якщо х → -∞; к = -1, b = 0 (перевірте самостійно), звідси у = -х — похила асимптота, якщо х → - ∞.
Отже, задана крива має дві асимптоти: y = х(х → + ∞) і у = х (х → —∞).
Перевірте себе
1. Що називають границею функції у = f(х) на нескінченності?
2. Як обчислити границю дробово-раціональної функції на нескінченності?
3. Що таке асимптота кривої? Які бувають асимптоти?
4. За яких умов крива має горизонтальну асимптоту?
Виконаємо разом
1. Обчисліть
Розв’язання.
2. Знайдіть горизонтальні асимптоти кривої:
Розв’язання.
Отже, у = -1 — горизонтальна асимптота.
3. Знайдіть асимптоти кривої
Область визначення функції — R, тому вертикальних асимптот немає. Знайдемо похилу асимптоту:
Отже, пряма у = х - 
— похила асимптота даної кривої. Інших асимптот крива не має.
Виконайте усно
1397. Яка з функцій має скінченну границю, якщо у = х (х → +∞);
1398. Яка з функцій, поданих нижче, має скінченну границю, якщо х → - ∞:
1399. Яка з функцій, поданих нижче, має нескінченну границю, якщоx→ + ∞;
1400. Обчисліть:
1401. Наведіть приклад функції, яка має горизонтальну асимптоту.
1402. Наведіть приклад функції, яка має вертикальну асимптоту.
Рівень А
Обчисліть, використовуючи теореми про границі (1403-1404).
1403.
1
1404.
Знайдіть границю (1405-1407).
1405.
1406.
1407.
Знайдіть асимптоти кривих (1408-1409).
1408.
1409.
Рівень Б
1410. Побудуйте графік функції, яка в точці х0 = 1 має нескінченну границю.
1411. Побудуйте графік функції, яка на нескінченності має границею число 2.
Знайдіть границю (1412-1414).
1412.
1413.
1414.
Знайдіть горизонтальні асимптоти кривої (1415-1416).
1415.
1416.
Рівень В
1417. Відомо, що непарна функція має єдину горизонтальну асимптоту. Запишіть рівняння цієї асимптоти.
1418. Знайдіть горизонтальні асимптоти кривої: а) f(х) = хsin
. Знайдіть границю (1419-1420).
1419.
1420.
1421. Знайдіть асимптоти кривих.
Вправи для повторення
1422. Розкладіть многочлен на множники:
а) 2а4 - 13а2 + 6;
б) 64а6 - 1;
в) За4+12.
1423. Що більше 
-
чи 
-
?
1424. Розв’яжіть нерівність:
