Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

§ 28 Дотична до графіка функції і похідна

Ви вже знаєте, яку пряму називають дотичною до кола. А що розуміють, наприклад, під дотичною до синусоїди? Пряма а може бути дотичною до синусоїди в якійсь її точці Т і перетинати цю синусоїду в інших точках (мал. 188). Що ж розуміють під дотичною до графіка функції?

Нехай дано графік функції у = f(x) і на ньому точку Т, яка не є кінцем графіка (мал. 189). Позначимо на даному графіку по різні боки від Т довільні точки Т1 і Т2. Прямі ТТ1 і ТТ2, узагалі кажучи, — січні. Якщо ж точки Т1 і Т2, рухаючись по графіку, наближати досить близько до Т, то ТТ1 і ТТ2 як завгодно близько наближатимуться

до деякої прямої а. Таку пряму а (якщо вона існує) називають дотичною до графіка функції у = f(х) у точці Т.

Якщо графік функції такий, як показано на малюнку 190, то при необмеженому наближенні точок Т1 і Т2 до Т граничні положення січних — прямі ТТ1 і ТТ2 — не збігатимуться. Говорять, що в точці Т дотичної до графіка не існує.

Мал. 188

Мал. 189

Мал. 190

Мал. 191

І якщо Т — кінцева точка графіка, то дотичної до нього в точці Т не існує.

Поняття дотичної до графіка часто використовують для дослідження функцій.

Розглянемо це питання спочатку в загальному випадку.

Дотична — це пряма. Її рівняння має вигляд у =kх + b, де k — кутовий коефіцієнт — тангенс кута між променем дотичної, розміщеним вище від осі Ох, і додатним напрямом цієї осі. Зверніть увагу на кутовий коефіцієнт й дотичної, проведеної до графіка якої-небудь функції в його точці з абсцисою х0. Якщо число х0 належить проміжку зростання функції, то відповідне значення k додатне (мал. 191). Якщо х0 належить проміжку спадання функції, то відповідне значення k від’ємне (мал. 192).

І навпаки: якщо кожному значенню х0 з деякого проміжку (а; b) відповідає додатне значення k, то на (а; b) дана функція зростає; якщо кожному значенню х0 з деякого проміжку (с; d) відповідає від’ємне значення k, то на (с; d) функція спадає. Заслуговують на увагу і ті точки графіка функції, у яких дотична не існує і в яких вона паралельна осі Ох, тобто коли її кутовий коефіцієнт дорівнює 0.

Отже, знаючи кутові коефіцієнти дотичних до графіка функції в тих чи інших точках, можна зробити висновок, чи зростає дана функція в цих точках, чи спадає, а також відповісти на багато інших важливих питань.

Оскільки для дослідження функцій важливо вміти визначати кутовий коефіцієнт дотичної до її графіка, то розглянемо детальніше зв’язок цього коефіцієнта з досліджуваною функцією.

Нехай дано графік функції у = f(х) і на ньому точку А, у якій існує дотична до графіка (мал. 193). Якщо абсциса точки А дорівнює х0, то її ордината f(х0). Надамо значенню аргументу х0 приріст ∆х. Нарощеному значенню аргументу х0 + ∆х на графіку функції відповідає точка Т з абсцисою х0 + ∆х і ординатою f(х0 + ∆х).

Мал. 192

Мал. 193

Через точки А і Т проведемо прямі АК і ТК, паралельні осям абсцис і ординат; вони перетнуться в деякій точці К. Тоді АК = ∆х — приріст аргументу, а ТК = ∆у — приріст функції на [х0; х0 + ∆х].

Кутовий коефіцієнт січної АТ дорівнює тангенсу кута β, тобто відношенню ∆у до ∆х:

Якщо ∆х → 0, то січна АТ, повертаючись навколо точки А, наближається до дотичної, проведеної в точці А до графіка даної функції. Отже, якщо k — кутовий коефіцієнт цієї дотичної і ∆х → 0, то

Так визначається кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = f(х) у деякій точці х0, якщо дотична в ній не паралельна осі Оу. Якщо дотична до графіка функції у деякій точці паралельна осі Ох, то кутовий коефіцієнт цієї дотичної дорівнює нулю.

Для обчислення значення виразу

чи

приводить розв’язування багатьох задач з механіки, електрики, біології, економіки, статистики тощо. Саме тому цей вираз отримав спеціальну назву — похідна.

Похідною функції f(x) у точці х0 називають границю відношення приросту функції у точці х0 до приросту аргументу, якщо приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує.

Похідну функції f(х) в точці х0 позначають f'(х0). Її означення записують також у вигляді рівності:

Приклад 1. Знайдіть похідну функції f(х) = х2 в точці х = 3. Розв’язання. Надамо аргументу х = 3 приріст ∆х. Відповідний приріст функції

Тому

Якщо ∆х → 0, то

Отже,

Відповідь. f'(3) = 6.

Так розв’язують задачу, користуючись означенням похідної функції в точці.

Досі йшлося про похідну функції в точці. А можна розглядати похідну функції і як функцію. Нехай, наприклад, дано функцію у = х2. Знайдемо її похідну в довільній точці х. Для цього надамо значенню х приріст ∆х. Відповідний йому приріст функції ∆у = (х + ∆х)2 - х2 = 2х ∙ ∆х + (∆х)2.

Тому

Якщо ∆х → 0, то

Маємо

Отже, похідна функції у = х2 в кожній точці х її області визначення дорівнює 2х. Пишуть: (х2)' = 2х або якщо у = х2, то у' = 2х.

Зверніть увагу! Похідна функції в точці — це число. Коли ж говорять про похідну, не вказуючи «в точці», мають на увазі похідну як функцію: похідною функції у = х2 є функція у' = 2х, похідною функції у = х3 є функція у' = 3х2 і т. д.

Знаючи це, похідну функції в точці можна обчислювати простіше, ніж за означенням похідної функції в точці.

Приклад 2. Дано функцію f(х) = х2. Знайдіть f'(3), f'(0), f'(-2).

Розв’язання. Похідною функції f(х) = х2 є функція f'(х) = 2х. Тому f'(3) = 2-3 = 6; f'(0) = 2-0 = 0; f'(-2) = 2 ∙ (-2) = -4.

Знаходження похідної називається диференціюванням. Функція, яка має похідну в точці х0, називається диференційовною в точці х0. Функція, диференційовна в кожній точці деякого проміжку, називається диференційовною на цьому проміжку.

Доведемо, наприклад, що лінійна функція у = ах + b диференційовна в кожній точці х, х ∈ R. Справді, приросту ∆х її аргументу х відповідає приріст функції ∆у = а(х + ∆х) + b - (ах + b) = а∆х. Тому

Якщо ∆х → 0, то→ a. A це й означає, що в кожній точці х функція у = ах + b має похідну у' = а.

Пишуть (ах + b)' = а.

Зокрема: х' = 1, b' = 0.

Похідна сталої дорівнює нулю.

З курсу планіметрії відомо, що рівняння прямої, яка проходить через задану точку М(х0; у0), має вигляд у - у0 = k(х - х0), де k — кутовий коефіцієнт прямої.

Як показано на с. 271, для дотичної до графіка функції у = f(х) кутовий коефіцієнт дорівнює значенню похідної у точці дотику (k = f'(х0)), то можемо записати загальний вигляд рівняння дотичної, проведеної до графіка функції у = f(х) у точці дотику (х0; у0):

Досі йшлося про дотичні до криволінійних графіків. Але ж графіком функції може бути і пряма або частина прямої. Тому для загальності міркувань домовляються дотичною до прямої у будь-якій її точці вважати цю саму пряму. Дотичною до відрізка чи променя у будь-якій його внутрішній точці вважають пряму, якій належить цей відрізок чи промінь.

Вище було встановлено, що похідна лінійної функції дорівнює коефіцієнту при змінній, тобто (ах + b)' = а.

Одержаний результат має очевидний геометричний зміст: дотична до прямої — графіка функції у = ах + b — ця сама пряма, її кутовий коефіцієнт дорівнює а.

Перевірте себе

1. Що таке дотична до графіка функції в даній точці?

2. Що таке кутовий коефіцієнт дотичної?

3. Сформулюйте означення похідної функції в даній точці.

4. Як називають операцію знаходження похідної функції?

5. Чим є похідна функції в точці? А похідна функції на проміжку?

6. Чому дорівнює похідна сталої?

7. Яким є рівняння дотичної, проведеної до графіка функції f(х) у точці х0?

8. Що означає запис (ах + b)' = а? Який його геометричний зміст?

Виконаємо разом

Знайдіть кут, який утворює з додатним напрямом осі Ох дотична до графіка функції у = 0,5х2 - 2 в точці х0 = 1.

Розв’язання. Визначимо спочатку кутовий коефіцієнт цієї дотичної за формулою

де ∆y і ∆х — приріст функції і приріст аргументу відповідно.

Знайдемо приріст функції у = 0,5х2 - 2 в точці х0.

Знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної:

Оскільки х0 = 1, то k = 1.

Відомо також, що k = tg a, тому tg a = 1, звідси а = 45°.

Відповідь. 45°.

2. Доведіть, що для функції у = х3 похідною є функція у' = 3х2.

Розв’язання.

Якщо ∆х → 0, то

А це й означає, що похідною функції у =x3 є функція у' = Зх2.

3. Напишіть рівняння дотичної до графіка функції у = х2 у його точці з абсцисою х0 = 5.

Розв’язання. Спосіб 1. Рівняння дотичної має вигляд у = kx+ b. Кутовий коефіцієнт kдорівнює значенню похідної функції у = х2 в точці х0 = 5. (х2)' = 2х, k= 2 ∙ 5 = 10. Отже, рівняння дотичної у = 10х + b. Координати точки дотику х0 = 5, у0 = 25. Точка з такими координатами лежить на дотичній, тому 25 = 10 ∙ 5 + b, звідси b= -25. Отже, рівняння дотичної набуває вигляду у = 10х - 25.

Спосіб 2. Запишемо загальний вигляд рівняння дотичної: у = f'(х0)(х - х0) + f(х0).

Знайдемо f'(x), f'(x0), f(х0): f'(x) = 2х, f'(х0) = 2 ∙ 5 = 10, f(х0) = 52 = 25. Підставимо знайдені значення у рівняння дотичної: у = 10(х - 5) + 25 або у = 10х - 25.

Відповідь, у = 10х - 25.

Виконайте усно

1425. Назвіть кутовий коефіцієнт прямої, заданої рівнянням:

а) у = 2х;

б) у = -х + 3;

в) у = 2 + 0,5х;

г) у = 2.

1426. Чи може пряма, зображена на малюнках 194 і 195, бути дотичною до графіка функції g(х)?

Мал. 194

Мал. 195

1427. Чи можна провести дотичну до графіка функції у = |х| у точці:

а) (-1; 1);

б) (0; 0);

в) (1; 1)?

1428. Чи можна у точці (0; 0) провести дотичну до графіка функції:

а) у = ;

б) у = ;

в) у = tg x?

1429. Знайдіть значення похідної функції у = 2х + 5 у точці:

а) х0 = 1;

б) х0 = 0;

в) х0 = 10;

г) х0 = -10.

1430. Знайдіть значення похідної функції у = х2 у точці:

а) х0 = 1;

б) х0 = 5;

в) х0 = 10;

г) х0 = -15.

1431. Чому дорівнює похідна функції:

а) у = 3;

б) у = х;

в) y = х2;

г) y = х3?

Рівень А

Мал. 196

1432. Укажіть кілька точок, в яких дотична до графіка функції f(х)(мал. 196) утворює з додатним напрямом осі Ох:

а)гострий кут; б) тупий кут.

1433. У яких точках дотична до графіка функції f(х) (мал. 197) паралельна осі Ох?

1434. Укажіть проміжки, на яких кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції f(х) (мал. 196) набуває: а) додатних значень; б) від’ємних значень.

1435. Які кутові коефіцієнти мають дотичні до графіка функції φ(х) (мал. 197), проведені в точках x1; х2?

1436. Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції φ(х) (мал. 197), проведений в деякій точці, дорівнює k. Чи існують точки, в яких:

а) k< 0;

б) k = 0?

1437. Запишіть рівняння прямої, кутовий коефіцієнт якої дорівнює 3 і яка проходить через точку А(2; 5).

1438. Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої, заданої рівнянням:

а) у - х + 5 = 0;

б) х + 2у + 3 = 0;

в) 3х - 5y = 1.

1439. Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої, яка проходить через точки А(-3; 3) і B(2; 5).

1440. Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої, яка проходить через точки:

а) O(0; 0) і А(5; 3);

б) К(0; 5) і Р(4; 3).

Мал. 197

1441. Побудуйте графік функції у = і проведіть до нього дотичну в точці Т(2; 2). Знайдіть знак кутового коефіцієнта цієї дотичної.

1442. Функцію у = f(х) задано на проміжку (-3; 5). Кутовий коефіцієнт дотичної до її графіка в кожній точці проміжку (-3; 2) додатний, а в кожній точці проміжку (2; 5) від’ємний. Знайдіть проміжки зростання і спадання даної функції.

1443. Проведіть дотичну до графіка функції у = х2 через його точку з абсцисою х0 = 2. Прикиньте, чому дорівнює її кутовий коефіцієнт. Скориставшись формулою (х2)' = 2х, знайдіть точне значення кутового коефіцієнта дотичної до графіка функції у = х2 у точці х0 = 2.

1444. Користуючись означенням похідної функції в точці, обчисліть:

а) f'(2), якщо f(х) = х2;

б) f'(_3), якщо f(х) = 5х2;

в) f'(4), якщо f(х) = -х;

г) f'(1), якщо f(х) = -х3.

Рівень Б

1447. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = х2 у точці:

а) х0 = 2,5;

б) х0 = -2,5;

в) х0 = .

1448. Напишіть рівняння дотичної до графіка функції у = х3 в його точці з абсцисою:

а) х0 = 1;

б) х0 = -2;

в) х0 = 0.

1449. Знайдіть координати точки дотику дотичної до графіка функції у = х2, якщо кутовий коефіцієнт цієї дотичної дорівнює 6.

1450. На графіку функції у = 0,5х2 позначте точки Т1, Т2, Т3 з абсцисами 0, 1, 2 і знайдіть кутові коефіцієнти січних Т1Т2, Т1Т3 , Т2Т3.

1451. Доведіть за допомогою означення, що для функції у = похідною буде функція у' = - (х ≠ 0).

1452. Доведіть за допомогою означення, що для функції у = похідною буде функція у' = (х > 0).

1453. Знайдіть за допомогою означення значення похідної функції у = х2 + 2х - 1 у точці х0 = 10.

1454. Доведіть за допомогою означення, що для функції у = ах2 + bх + с похідною буде функція у' = 2ах + b.

1455. Знайдіть похідну функції у = х2 + 5х + 6 у точці:

а) х0 = -1;

б) х0 = 0;

в) х0 = 1;

г) х0 = 5.

1456. Використовуючи результат задачі 1454, знайдіть похідну функції:

а) у = Зх2 + х - 7;

б) у = -х2 + 5х;

в) у = 1 - 6х - х2.

1457. Перепишіть у зошит подану нижче таблицю похідних найпоширеніших функцій і вивчіть її напам’ять.

1445. Знаючи, що (х2)' = 2х, обчисліть значення похідної функції у = х2 у точці: а) х0 = -2;

б) х0 = 3;

в) х0 = 0,7;

г) х0 = -2,8.

1446.Знаючи, що (х3)' = Зх2, обчисліть значення похідної функції у = х3 у точці:

а) х0 = 1;

б) х0 = 5;

в) х0 = 10;

г) х0 = -1,5.

Рівень В

1458. Доведіть за допомогою означення, що для функції у = ах3 + с похідною буде функція у' = 3ax2.

1459. Знайдіть похідну функції у = 0,1х3 + 5 у точці:

а) х0 = -1;

б) х0 = -2;

в) х0 = 1;

г) х0 = 2.

1460. Використовуючи результат задачі 1458, знайдіть похідну функції:

а) у = 5х3 - 7;

б) у = -х3 + 5;

в) у = 1 - 6х3.

1461. Доведіть, що похідна заданої функції приймає невід’ємні значення при всіх допустимих значеннях аргументу:

а) у = 3x- 7;

б) у = х3 + 1;

в) у = .

1462. Знайдіть похідну функції в точці х0 = 5:

1463. Запишіть рівняння дотичної до графіка функції у = - у точці:

а) х0 = -1;

б) х0 = -2;

в) х0 = 3;

г) х0 = 6.

1464. Для даної функції у = 2х2 + 4х:

а)користуючись означенням, знайдіть її похідну;

б)напишіть рівняння дотичних, проведених до графіка функції у точках його перетину з віссю Ох;

в)знайдіть, у яких точках дотична до графіка функції утворює з додатним напрямом осі Ох кут 45°, 135°;

г)знайдіть, у якій точці дотична до графіка функції паралельна до прямої 2х + у - 6 = 0;

ґ) знайдіть, у якій точці до графіка функції можна провести горизонтальну дотичну. Напишіть рівняння цієї дотичної.

1465. Дотична до графіка функції у = х2 проходить через точку А(4; 7). Знайдіть координати точки дотику.

Вправи для повторення

1466. Розв’яжіть рівняння:

1467. Спростіть вираз:

1468. Порівняйте значення виразів:

«Важкі й складні задачі цікавіше розв’язувати, ніж прості. І нехай це не видасться парадоксом, — легше розв’язувати!»

Є. Патон






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити