Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік
Розділ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ
§ 28 Дотична до графіка функції і похідна
Ви вже знаєте, яку пряму називають дотичною до кола. А що розуміють, наприклад, під дотичною до синусоїди? Пряма а може бути дотичною до синусоїди в якійсь її точці Т і перетинати цю синусоїду в інших точках (мал. 188). Що ж розуміють під дотичною до графіка функції?
Нехай дано графік функції у = f(x) і на ньому точку Т, яка не є кінцем графіка (мал. 189). Позначимо на даному графіку по різні боки від Т довільні точки Т1 і Т2. Прямі ТТ1 і ТТ2, узагалі кажучи, — січні. Якщо ж точки Т1 і Т2, рухаючись по графіку, наближати досить близько до Т, то ТТ1 і ТТ2 як завгодно близько наближатимуться
до деякої прямої а. Таку пряму а (якщо вона існує) називають дотичною до графіка функції у = f(х) у точці Т.
Якщо графік функції такий, як показано на малюнку 190, то при необмеженому наближенні точок Т1 і Т2 до Т граничні положення січних — прямі ТТ1 і ТТ2 — не збігатимуться. Говорять, що в точці Т дотичної до графіка не існує.
Мал. 188
Мал. 189
Мал. 190
Мал. 191
І якщо Т — кінцева точка графіка, то дотичної до нього в точці Т не існує.
Поняття дотичної до графіка часто використовують для дослідження функцій.
Розглянемо це питання спочатку в загальному випадку.
Дотична — це пряма. Її рівняння має вигляд у =kх + b, де k — кутовий коефіцієнт — тангенс кута між променем дотичної, розміщеним вище від осі Ох, і додатним напрямом цієї осі. Зверніть увагу на кутовий коефіцієнт й дотичної, проведеної до графіка якої-небудь функції в його точці з абсцисою х0. Якщо число х0 належить проміжку зростання функції, то відповідне значення k додатне (мал. 191). Якщо х0 належить проміжку спадання функції, то відповідне значення k від’ємне (мал. 192).
І навпаки: якщо кожному значенню х0 з деякого проміжку (а; b) відповідає додатне значення k, то на (а; b) дана функція зростає; якщо кожному значенню х0 з деякого проміжку (с; d) відповідає від’ємне значення k, то на (с; d) функція спадає. Заслуговують на увагу і ті точки графіка функції, у яких дотична не існує і в яких вона паралельна осі Ох, тобто коли її кутовий коефіцієнт дорівнює 0.
Отже, знаючи кутові коефіцієнти дотичних до графіка функції в тих чи інших точках, можна зробити висновок, чи зростає дана функція в цих точках, чи спадає, а також відповісти на багато інших важливих питань.
Оскільки для дослідження функцій важливо вміти визначати кутовий коефіцієнт дотичної до її графіка, то розглянемо детальніше зв’язок цього коефіцієнта з досліджуваною функцією.
Нехай дано графік функції у = f(х) і на ньому точку А, у якій існує дотична до графіка (мал. 193). Якщо абсциса точки А дорівнює х0, то її ордината f(х0). Надамо значенню аргументу х0 приріст ∆х. Нарощеному значенню аргументу х0 + ∆х на графіку функції відповідає точка Т з абсцисою х0 + ∆х і ординатою f(х0 + ∆х).
Мал. 192
Мал. 193
Через точки А і Т проведемо прямі АК і ТК, паралельні осям абсцис і ординат; вони перетнуться в деякій точці К. Тоді АК = ∆х — приріст аргументу, а ТК = ∆у — приріст функції на [х0; х0 + ∆х].
Кутовий коефіцієнт січної АТ дорівнює тангенсу кута β, тобто відношенню ∆у до ∆х:
Якщо ∆х → 0, то січна АТ, повертаючись навколо точки А, наближається до дотичної, проведеної в точці А до графіка даної функції. Отже, якщо k — кутовий коефіцієнт цієї дотичної і ∆х → 0, то
Так визначається кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = f(х) у деякій точці х0, якщо дотична в ній не паралельна осі Оу. Якщо дотична до графіка функції у деякій точці паралельна осі Ох, то кутовий коефіцієнт цієї дотичної дорівнює нулю.
Для обчислення значення виразу
чи
приводить розв’язування багатьох задач з механіки, електрики, біології, економіки, статистики тощо. Саме тому цей вираз отримав спеціальну назву — похідна.
Похідною функції f(x) у точці х0 називають границю відношення приросту функції у точці х0 до приросту аргументу, якщо приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує.
Похідну функції f(х) в точці х0 позначають f'(х0). Її означення записують також у вигляді рівності:
Приклад 1. Знайдіть похідну функції f(х) = х2 в точці х = 3. Розв’язання. Надамо аргументу х = 3 приріст ∆х. Відповідний приріст функції
Тому
Якщо ∆х → 0, то
Отже,
Відповідь. f'(3) = 6.
Так розв’язують задачу, користуючись означенням похідної функції в точці.
Досі йшлося про похідну функції в точці. А можна розглядати похідну функції і як функцію. Нехай, наприклад, дано функцію у = х2. Знайдемо її похідну в довільній точці х. Для цього надамо значенню х приріст ∆х. Відповідний йому приріст функції ∆у = (х + ∆х)2 - х2 = 2х ∙ ∆х + (∆х)2.
Тому
Якщо ∆х → 0, то
Маємо
Отже, похідна функції у = х2 в кожній точці х її області визначення дорівнює 2х. Пишуть: (х2)' = 2х або якщо у = х2, то у' = 2х.
Зверніть увагу! Похідна функції в точці — це число. Коли ж говорять про похідну, не вказуючи «в точці», мають на увазі похідну як функцію: похідною функції у = х2 є функція у' = 2х, похідною функції у = х3 є функція у' = 3х2 і т. д.
Знаючи це, похідну функції в точці можна обчислювати простіше, ніж за означенням похідної функції в точці.
Приклад 2. Дано функцію f(х) = х2. Знайдіть f'(3), f'(0), f'(-2).
Розв’язання. Похідною функції f(х) = х2 є функція f'(х) = 2х. Тому f'(3) = 2-3 = 6; f'(0) = 2-0 = 0; f'(-2) = 2 ∙ (-2) = -4.
Знаходження похідної називається диференціюванням. Функція, яка має похідну в точці х0, називається диференційовною в точці х0. Функція, диференційовна в кожній точці деякого проміжку, називається диференційовною на цьому проміжку.
Доведемо, наприклад, що лінійна функція у = ах + b диференційовна в кожній точці х, х ∈ R. Справді, приросту ∆х її аргументу х відповідає приріст функції ∆у = а(х + ∆х) + b - (ах + b) = а∆х. Тому
Якщо ∆х → 0, то
→ a. A це й означає, що в кожній точці х функція у = ах + b має похідну у' = а.
Пишуть (ах + b)' = а.
Зокрема: х' = 1, b' = 0.
Похідна сталої дорівнює нулю.
З курсу планіметрії відомо, що рівняння прямої, яка проходить через задану точку М(х0; у0), має вигляд у - у0 = k(х - х0), де k — кутовий коефіцієнт прямої.
Як показано на с. 271, для дотичної до графіка функції у = f(х) кутовий коефіцієнт дорівнює значенню похідної у точці дотику (k = f'(х0)), то можемо записати загальний вигляд рівняння дотичної, проведеної до графіка функції у = f(х) у точці дотику (х0; у0):
Досі йшлося про дотичні до криволінійних графіків. Але ж графіком функції може бути і пряма або частина прямої. Тому для загальності міркувань домовляються дотичною до прямої у будь-якій її точці вважати цю саму пряму. Дотичною до відрізка чи променя у будь-якій його внутрішній точці вважають пряму, якій належить цей відрізок чи промінь.
Вище було встановлено, що похідна лінійної функції дорівнює коефіцієнту при змінній, тобто (ах + b)' = а.
Одержаний результат має очевидний геометричний зміст: дотична до прямої — графіка функції у = ах + b — ця сама пряма, її кутовий коефіцієнт дорівнює а.
Перевірте себе
1. Що таке дотична до графіка функції в даній точці?
2. Що таке кутовий коефіцієнт дотичної?
3. Сформулюйте означення похідної функції в даній точці.
4. Як називають операцію знаходження похідної функції?
5. Чим є похідна функції в точці? А похідна функції на проміжку?
6. Чому дорівнює похідна сталої?
7. Яким є рівняння дотичної, проведеної до графіка функції f(х) у точці х0?
8. Що означає запис (ах + b)' = а? Який його геометричний зміст?
Виконаємо разом
Знайдіть кут, який утворює з додатним напрямом осі Ох дотична до графіка функції у = 0,5х2 - 2 в точці х0 = 1.
Розв’язання. Визначимо спочатку кутовий коефіцієнт цієї дотичної за формулою
де ∆y і ∆х — приріст функції і приріст аргументу відповідно.
Знайдемо приріст функції у = 0,5х2 - 2 в точці х0.
Знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної:
Оскільки х0 = 1, то k = 1.
Відомо також, що k = tg a, тому tg a = 1, звідси а = 45°.
Відповідь. 45°.
2. Доведіть, що для функції у = х3 похідною є функція у' = 3х2.
Розв’язання.
Якщо ∆х → 0, то
А це й означає, що похідною функції у =x3 є функція у' = Зх2.
3. Напишіть рівняння дотичної до графіка функції у = х2 у його точці з абсцисою х0 = 5.
Розв’язання. Спосіб 1. Рівняння дотичної має вигляд у = kx+ b. Кутовий коефіцієнт kдорівнює значенню похідної функції у = х2 в точці х0 = 5. (х2)' = 2х, k= 2 ∙ 5 = 10. Отже, рівняння дотичної у = 10х + b. Координати точки дотику х0 = 5, у0 = 25. Точка з такими координатами лежить на дотичній, тому 25 = 10 ∙ 5 + b, звідси b= -25. Отже, рівняння дотичної набуває вигляду у = 10х - 25.
Спосіб 2. Запишемо загальний вигляд рівняння дотичної: у = f'(х0)(х - х0) + f(х0).
Знайдемо f'(x), f'(x0), f(х0): f'(x) = 2х, f'(х0) = 2 ∙ 5 = 10, f(х0) = 52 = 25. Підставимо знайдені значення у рівняння дотичної: у = 10(х - 5) + 25 або у = 10х - 25.
Відповідь, у = 10х - 25.
Виконайте усно
1425. Назвіть кутовий коефіцієнт прямої, заданої рівнянням:
а) у = 2х;
б) у = -х + 3;
в) у = 2 + 0,5х;
г) у = 2.
1426. Чи може пряма, зображена на малюнках 194 і 195, бути дотичною до графіка функції g(х)?
Мал. 194
Мал. 195
1427. Чи можна провести дотичну до графіка функції у = |х| у точці:
а) (-1; 1);
б) (0; 0);
в) (1; 1)?
1428. Чи можна у точці (0; 0) провести дотичну до графіка функції:
а) у = 
;
б) у = 
;
в) у = tg x?
1429. Знайдіть значення похідної функції у = 2х + 5 у точці:
а) х0 = 1;
б) х0 = 0;
в) х0 = 10;
г) х0 = -10.
1430. Знайдіть значення похідної функції у = х2 у точці:
а) х0 = 1;
б) х0 = 5;
в) х0 = 10;
г) х0 = -15.
1431. Чому дорівнює похідна функції:
а) у = 3;
б) у = х;
в) y = х2;
г) y = х3?
Рівень А
Мал. 196
1432. Укажіть кілька точок, в яких дотична до графіка функції f(х)(мал. 196) утворює з додатним напрямом осі Ох:
а)гострий кут; б) тупий кут.
1433. У яких точках дотична до графіка функції f(х) (мал. 197) паралельна осі Ох?
1434. Укажіть проміжки, на яких кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції f(х) (мал. 196) набуває: а) додатних значень; б) від’ємних значень.
1435. Які кутові коефіцієнти мають дотичні до графіка функції φ(х) (мал. 197), проведені в точках x1; х2?
1436. Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції φ(х) (мал. 197), проведений в деякій точці, дорівнює k. Чи існують точки, в яких:
а) k< 0;
б) k = 0?
1437. Запишіть рівняння прямої, кутовий коефіцієнт якої дорівнює 3 і яка проходить через точку А(2; 5).
1438. Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої, заданої рівнянням:
а) у - х + 5 = 0;
б) х + 2у + 3 = 0;
в) 3х - 5y = 1.
1439. Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої, яка проходить через точки А(-3; 3) і B(2; 5).
1440. Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої, яка проходить через точки:
а) O(0; 0) і А(5; 3);
б) К(0; 5) і Р(4; 3).
Мал. 197
1441. Побудуйте графік функції у = 
і проведіть до нього дотичну в точці Т(2; 2). Знайдіть знак кутового коефіцієнта цієї дотичної.
1442. Функцію у = f(х) задано на проміжку (-3; 5). Кутовий коефіцієнт дотичної до її графіка в кожній точці проміжку (-3; 2) додатний, а в кожній точці проміжку (2; 5) від’ємний. Знайдіть проміжки зростання і спадання даної функції.
1443. Проведіть дотичну до графіка функції у = х2 через його точку з абсцисою х0 = 2. Прикиньте, чому дорівнює її кутовий коефіцієнт. Скориставшись формулою (х2)' = 2х, знайдіть точне значення кутового коефіцієнта дотичної до графіка функції у = х2 у точці х0 = 2.
1444. Користуючись означенням похідної функції в точці, обчисліть:
а) f'(2), якщо f(х) = х2;
б) f'(_3), якщо f(х) = 5х2;
в) f'(4), якщо f(х) = -х;
г) f'(1), якщо f(х) = -х3.
Рівень Б
1447. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = х2 у точці:
а) х0 = 2,5;
б) х0 = -2,5;
в) х0 = 
.
1448. Напишіть рівняння дотичної до графіка функції у = х3 в його точці з абсцисою:
а) х0 = 1;
б) х0 = -2;
в) х0 = 0.
1449. Знайдіть координати точки дотику дотичної до графіка функції у = х2, якщо кутовий коефіцієнт цієї дотичної дорівнює 6.
1450. На графіку функції у = 0,5х2 позначте точки Т1, Т2, Т3 з абсцисами 0, 1, 2 і знайдіть кутові коефіцієнти січних Т1Т2, Т1Т3 , Т2Т3.
1451. Доведіть за допомогою означення, що для функції у = 
похідною буде функція у' = - 
(х ≠ 0).
1452. Доведіть за допомогою означення, що для функції у = похідною буде функція у' = 
(х > 0).
1453. Знайдіть за допомогою означення значення похідної функції у = х2 + 2х - 1 у точці х0 = 10.
1454. Доведіть за допомогою означення, що для функції у = ах2 + bх + с похідною буде функція у' = 2ах + b.
1455. Знайдіть похідну функції у = х2 + 5х + 6 у точці:
а) х0 = -1;
б) х0 = 0;
в) х0 = 1;
г) х0 = 5.
1456. Використовуючи результат задачі 1454, знайдіть похідну функції:
а) у = Зх2 + х - 7;
б) у = -х2 + 5х;
в) у = 1 - 6х - х2.
1457. Перепишіть у зошит подану нижче таблицю похідних найпоширеніших функцій і вивчіть її напам’ять.
1445. Знаючи, що (х2)' = 2х, обчисліть значення похідної функції у = х2 у точці: а) х0 = -2;
б) х0 = 3;
в) х0 = 0,7;
г) х0 = -2,8.
1446.Знаючи, що (х3)' = Зх2, обчисліть значення похідної функції у = х3 у точці:
а) х0 = 1;
б) х0 = 5;
в) х0 = 10;
г) х0 = -1,5.
Рівень В
1458. Доведіть за допомогою означення, що для функції у = ах3 + с похідною буде функція у' = 3ax2.
1459. Знайдіть похідну функції у = 0,1х3 + 5 у точці:
а) х0 = -1;
б) х0 = -2;
в) х0 = 1;
г) х0 = 2.
1460. Використовуючи результат задачі 1458, знайдіть похідну функції:
а) у = 5х3 - 7;
б) у = -х3 + 5;
в) у = 1 - 6х3.
1461. Доведіть, що похідна заданої функції приймає невід’ємні значення при всіх допустимих значеннях аргументу:
а) у = 3x- 7;
б) у = х3 + 1;
в) у = .
1462. Знайдіть похідну функції в точці х0 = 5:
1463. Запишіть рівняння дотичної до графіка функції у = - 
у точці:
а) х0 = -1;
б) х0 = -2;
в) х0 = 3;
г) х0 = 6.
1464. Для даної функції у = 2х2 + 4х:
а)користуючись означенням, знайдіть її похідну;
б)напишіть рівняння дотичних, проведених до графіка функції у точках його перетину з віссю Ох;
в)знайдіть, у яких точках дотична до графіка функції утворює з додатним напрямом осі Ох кут 45°, 135°;
г)знайдіть, у якій точці дотична до графіка функції паралельна до прямої 2х + у - 6 = 0;
ґ) знайдіть, у якій точці до графіка функції можна провести горизонтальну дотичну. Напишіть рівняння цієї дотичної.
1465. Дотична до графіка функції у = х2 проходить через точку А(4; 7). Знайдіть координати точки дотику.
Вправи для повторення
1466. Розв’яжіть рівняння:
1467. Спростіть вираз:
1468. Порівняйте значення виразів:
«Важкі й складні задачі цікавіше розв’язувати, ніж прості. І нехай це не видасться парадоксом, — легше розв’язувати!»
Є. Патон