Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

§ 29 Техніка диференціювання

Ви вже знаєте, що таке диференціювання і яку функцію називають диференційовною (с. 272). У курсі математичного аналізу доводять таку теорему:

Якщо функція у = f(x) — диференційовна у точці х0, то вона неперервна в цій точці.

Це означає, що всі диференційовні функції обов’язково є неперервними.

Тобто якщо функція в точці x0 має похідну, то вона в цій точці неперервна. Обернене твердження не завжди є істинним - не кожна неперервна функція є диференційовною (див. мал. 190).

Зверніть увагу! У тих точках, в яких функція у = f(х) є розривною або має «злам», не існує похідної функції у = f(х).

Ви вже вмієте обчислювати похідні деяких елементарних функцій, користуючись формулами: а' = 0; х' = 1; (ах + b)' = а; (х2)' = 2х; (х3)' = Зх2;

У цьому параграфі будуть розглянуті теореми, які допоможуть знаходити похідні складніших функцій. Тут для спрощення записів замість u(х), u'(х), (х), … писатимемо також u, u', , … .

Теорема (про похідну суми). Якщо функції u і диференційовні в точці х, то в цій точці (u + )' = u' + '.

Доведення. Знайдемо приріст ∆(u + ) суми даних функцій на проміжку [х; х + ∆х]:

Тому

Якщо ∆х → 0, то → u' і'. Отже, (u + u)' = u' + '.

Аналогічно можна довести, що (u - )' = u' - '.

Теорема правильна також для трьох і більше функцій. Наприклад,

Теорема (про похідну добутку). Якщо функції u і диференційовні в точці х, то (u)' = u' + u'.

Доведення. Знайдемо приріст ∆(u) добутку даних функцій на проміжку [х; х + ∆х], врахувавши, що

Тому

Якщо

Отже, (u)' = u' + u'.

Наслідок. Сталий множник можна виносити за знак похідної. Адже якщо u= С, де С — сталий множник, то u' = 0 і за теоремою про похідну добутку (С)' = С+ С' = С', тобто (С)' = С'.

Теорема (про похідну частки). Якщо uі v — функції від х, диференційовні в точці х, причому в цій точці ≠ 0, то

Доведення теореми можна провести аналогічно до двох попередніх.

Теорема (про похідну степеня). Якщо n — число натуральне, то(хn)' = nхn-1.

Доведення. Доведемо формулу (хn)' = nхn-1, n ∈ N методом математичної індукції.

1. Перевіримо істинність рівності при n = 1: х' = 1 (рівність правильна).

2. Припустимо, що дана рівність справджується при n = k, k> 1, k ∈ А, тобто рівність (хk)' = kхk-1 — істинна.

Доведемо істинність рівності при n = k + 1, тобто доведемо рівність (хk+1)' = (k + 1)хk.

Розглянемо ліву частину і застосуємо до неї теорему про похідну добутку(хk+1)' = (х ∙ хk)' = х '∙ хk + х ∙ (хk)' = хk + х ∙ kхk -1 = хk + k ∙ хk = (k + 1)хk. Отже, (хk+1)' = (k + 1)хk.

3. За принципом математичної індукції дана рівність справджується для довільного натурального числа n.

Пізніше буде показано, що доводжувана формула правильна не тільки для натуральних значень n, ай для будь-яких дійсних.

Приклади.

1. Якщо у = х8, то у’ = 8х7.

2. Якщо у = 5х4, то у' = 5 ∙ (х4)' = 5 ∙ 4х3 = 20х3.

3. Якщо у = 2х5 + 3х - 7, то за теоремою про похідну суми у' = (2х5)' + (3х)' - 7' = 10х4 + 3.

4. Якщо у =, то за теоремою про похідну частки

З розглянутих теорем випливає, що кожна функція у = f(х), де f(х) — многочлен, диференційовна на всій множині R. Тому кожний графік такої функції — лінія без розривів і зламів. Бо коли б графік функції у якійсь точці мав розрив чи злам, то в цій точці функція не мала б похідної, тобто не була б диференційовною. Дробово-раціональна функція від х диференційовна в кожній точці х її області визначення.

Перевірте себе

1. Сформулюйте і доведіть теорему про похідну суми двох функцій.

2. Як знаходять похідну добутку двох функцій?

3. Як знаходять похідну частки?

4. Чому дорівнює похідна степеня з натуральним показником?

Виконаємо разом

1. Знайдіть похідну функції f(x) = 3х5(1 - х2).

Розв’язання. Спосіб 1. Скористаємося теоремою про похідну добутку:

Спосіб 2. Спочатку розкриємо дужки, а потім застосуємо теорему про похідну суми.

f'(х) = (3х5(1 - х2))' = (Зх5 - Зх7)' = 15х4 - 21х6.

2. Обчисліть значення похідної функції f(х) у точці х0 = 4, якщо:

Розв’язання.

Запишіть рівняння дотичної до графіка функції у = х4 + х2 в точці x0= -2.

Розв’язання. Рівняння дотичної має вигляд:

Знайдемо f(-2) і f'(-2).

Отже, у = -36(х + 2) + 20 або у = -36х - 52.

Виконайте усно

Знайдіть похідну функції (1469-1470).

1469. а) у = х10;

б) у = х17;

в) у = -5х20;

г) у = 0,1х10.

1470. а) у = х5 - 7х;

б) у = 1 - х7;

в) у = х4 + х2;

г) у = х3 + 5х

Обчисліть значення похідної в точці х = 1 (1471-1472).

1471.

1472.

Рівень А

Знайдіть похідну функції (1473-1479).

1473.

1474.

1475.

1476.

1477.

1478.

1479.

Обчисліть значення похідної в даних точках (1480-1482).

1480. f(х) = х2 - 5х, х0 = 1; х0 = 0; х0 = -2.

1481. f(х) = Зх4 + 2х - 10, х0 = -2; х0 = 0; х0 = .

1482. f(х) = -8х 1 + 3, х0 = -2; х0 = 1; х0 = .

Рівень Б

Визначте двома способами похідну функції (1483-1484).

1483.

1484.

Напишіть рівняння дотичної до графіка даної функції в його точці з абсцисою х0 (1485-1486).

1485.

1486.

Знайдіть похідну функції (1487-1491).

1487.

1488.

1489.

1490.

1491.

1492. Розв’яжіть рівняння f'(х) = 0, якщо:

a) f(x) = х - 12х3;

б) f(x) = х5 - 15х3 + 4.

1493.Розв’яжіть нерівність f'(x) < 0, якщо:

a) f(x) = 2х3 - Зх2 - 12х;

б) f(x) = 12х - х3.

Рівень В

1494. Знайдіть функцію у = f(x), якщо її похідна f'(x) = 2х + 3.Скільки розв’язків має задача?

1495. Напишіть рівняння дотичної до графіка функції у = f(x) в його точці з абсцисою x0:

1496. Знайдіть абсцису точки, в якій дотична до графіка функції f(х) паралельна осі Ох:

1497. Знайдіть координати точки, в якій дотична до графіка функції у = f(х) паралельна прямій y = 4х + 3:

1498. Знайдіть абсцису точки, в якій дотична до графіка функції у = f(х) перпендикулярна прямій у = 11х + 3:

1499. Обчисліть площу трикутника, утвореного осями координат і дотичною до графіка функції у = (2х - 1)(4х2 - 4х + 1) у точці з абсцисою х0 = 1.

1500. Напишіть рівняння дотичних до графіка функції у = х2 - 5х + 7, які разом з осями координат утворюють рівнобедрений трикутник. Знайдіть площу цього трикутника.

1501. Напишіть рівняння дотичних, проведених до графіка функції у = х2 + 2х - 1 з точки А(-1; -3). Виконайте малюнок.

1502. З точки А(2; 6) до кривої у = - х2 + 2х + 2 проведені дотичні. Знайдіть відстань між точками дотику.

1503. Складіть рівняння спільних дотичних до графіків функції у = -х2 + 2х - 2 і у = х2 + 2х.

1504. Знайдіть точку перетину дотичних до графіка функції у = х2 - |5х -1|, проведених через точки з абсцисами:

а) х0 = 1, х0 = 2;

б) х0 = -2, х0 = 2;

в) х0 = -1, х0 = -2.

1505. При яких значеннях параметра а дотична до графіка функції у = х3 + ах2 у точці з абсцисою х0 = -1 проходить через точку:

а) А(0;5);

б) А(3; 4)?

Вправи для повторення

1506. Побудуйте графік функції:

а) у = sin х;

б) у = 2sin х;

в) у = 2sin х - 1.

1507. Спростіть вираз:

а) cos Зх — sin 4x - соs 5х;

б) sin 10х - sin 6х - 2sin 4х.

1508. Розв’яжіть рівняння:






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити